2017年天津市109中中考模拟数学试卷

第1页（共13页） 2017年天津市109中中考模拟数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 计算 5− −2 ×3 的结果等于   

A. −11 B. −1 C. 1 D. 11

2. 在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶=90∘，若 sin𝐴=513，则 cos𝐴 的值为   

A. 512 B. 813 C. 23 D. 1213

3. 点 𝑃 5,−3 关于原点对称的点的坐标是   

A. 3,−5 B. −5,−3 C. −5,3 D. −3,5 4. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为   

A. 44×108 B. 4.4×109 C. 4.4×108 D. 4.4×1010

5. 如图，几何体是由 3 个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是   

A. B.

C. D.

6. 下列运算中，错误的个数为   

① 125144=1512；② −4 2=±4；③ −22=− 22；④ 116+14=14+12=34．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 化简 𝑥𝑥2+2𝑥+1÷ 1−1𝑥+1 的结果是   

A. 1𝑥+1 B. 𝑥+1𝑥 C. 𝑥+1 D. 𝑥−1

8. 方程 3𝑥 𝑥−1 =5 𝑥−1 的根为   

A. 𝑥=53 B. 𝑥=1 C. 𝑥1=1，𝑥2=53 D. 𝑥1=1，𝑥2=35

9. 要使式子 2−𝑥 有意义，则 𝑥 的取值范围是   

A. 𝑥>0 B. 𝑥≥−2 C. 𝑥≥2 D. 𝑥≤2 10. 如图，在正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵=2，延长 𝐵𝐶 到点 𝐸，使 𝐶𝐸=1，连接 𝐷𝐸，动点 𝑃 从点 𝐴 出发以每秒 1 个单位的速度沿 𝐴𝐵−𝐵𝐶−𝐶𝐷−𝐷𝐴 向终点 𝐴 运动，设点 𝑃 的运动时间为 𝑡 秒，当

△𝐴𝐵𝑃 和 △𝐷𝐶𝐸 全等时，𝑡 的值为    第2页（共13页）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 3 或 7

11. 函数 𝑦=−6𝑥 的图象经过点 𝐴 𝑥1,𝑦1 ，𝐵 𝑥2,𝑦2 ，若 𝑥1<𝑥2<0，则 𝑦1，𝑦2，0 三者的大小关系是   

A. 𝑦1<𝑦2<0 B. 𝑦2<𝑦1<0 C. 𝑦1>𝑦2>0 D. 𝑦2>𝑦1>0 12. 如图，在直角坐标系中，正 △𝐴𝑂𝐵 的边长为 2，设直线 𝑥=𝑡 0≤𝑡≤2 截这个三角形所得位于此直线左方的图形的面积为 𝑦，则 𝑦 关于 𝑡 的函数图象大致是   

A. B.

C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）

13. 计算： −3𝑥2𝑦 ⋅ 13𝑥𝑦2 = ．

14. 计算： 27− 32= ． 15. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有 3 个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 0.2，那么口袋中小球共有 个．

16. 已知一次函数 𝑦=𝑎𝑥+𝑏（𝑎，𝑏 为常数），𝑥 与 𝑦 的部分对应值如表：

𝑥−2−10123𝑦6420−2−4

那么方程 𝑎𝑥+𝑏=0 的解是 ，不等式 𝑎𝑥+𝑏>0 的解是 ． 17. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=4，将 △𝐴𝐵𝐶 绕点 𝐶 按逆时针方向旋转得到 △𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶，使

𝐶𝐵ʹ∥𝐴𝐵，分别延长 𝐴𝐵，𝐶𝐴ʹ 相交于点 𝐷，则线段 𝐵𝐷 的长为 ． 第3页（共13页）

18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦=𝑎1 𝑥−2 2+2 与 𝑦=𝑎2 𝑥−2 2−3 的顶点分别为 𝐴，𝐵，与 𝑥 轴分别交于点 𝑂，𝐶，𝐷，𝐸．若点 𝐷 的坐标为 −1,0 ，则 △𝐴𝐷𝐸 与 △𝐵𝑂𝐶 的面积比为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）

19. 解不等式组： 1−2 𝑥−3 ≤3, ⋯⋯①3𝑥−22<𝑥+2, ⋯⋯② 并把解集在数轴上表示出来．

20. 已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 12，14，1 的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字 1，3，2 的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为 𝑎，𝑏．

（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；

（2）现制定一个游戏规则：若所选出的 𝑎，𝑏 能使得 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1=0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗?请用概率知识解释． 21. 如图所示，点 𝑃 为 △𝐴𝐵𝐶 的内心，延长 𝐴𝑃，交 △𝐴𝐵𝐶 的外接圆于点 𝐷，在 𝐴𝐶 延长线上有一点 𝐸，满足 𝐴𝐷2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐸．求证：𝐷𝐸 是 ⊙𝑂 的切线．

22. 已知：在 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 于 𝐷，𝐵𝐸:𝐴𝐵=3:5，若 𝐶𝐸= 2，cos∠𝐴𝐶𝐷=45，求 tan∠𝐴𝐸𝐶 的值及 𝐶𝐷 的长． 第4页（共13页）

23. 如图，𝐴 0,1 ，𝑀 3,2 ，𝑁 4,4 ．动点 𝑃 从点 𝐴 出发，沿 𝑦 轴以每秒 1 个单位长的速度向上移动，且过点 𝑃 的直线 𝑙:𝑦=−𝑥+𝑏 也随之移动，设移动时间为 𝑡 秒．

（1）当 𝑡=2 时，则 𝐴𝑃= ，此时点 𝑃 的坐标是 ．

（2）当 𝑡=3 时，求过点 𝑃 的直线 𝑙:𝑦=−𝑥+𝑏 的解析式.

（3）当直线 𝑙:𝑦=−𝑥+𝑏 从经过点 𝑀 到点 𝑁 时，求此时点 𝑃 向上移动多少秒?

（4）点 𝑄 在 𝑥 轴上，当 𝑆△𝑂𝑁𝑄=8 时，请直按写出点 𝑄 的坐标是 ． 24. 如图1，在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，点 𝐸，𝐹 分别是 𝐴𝐵，𝐶𝐷 的中点，过点 𝐸 作 𝐴𝐵 的垂线，过点 𝐹 作

𝐶𝐷 的垂线，两垂线交于点 𝐺，连接 𝐴𝐺，𝐵𝐺，𝐶𝐺，𝐷𝐺，且 ∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐵𝐺𝐶．

（1）求证：𝐴𝐷=𝐵𝐶；

（2）求证：△𝐴𝐺𝐷∽△𝐸𝐺𝐹；

（3）如图 2，若 𝐴𝐷，𝐵𝐶 所在直线互相垂直，求 𝐴𝐷𝐸𝐹 的值． 25. 如图，抛物线 𝑦=−𝑥2+2𝑥+3 与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点，与 𝑦 轴交于点 𝐶，点 𝐷 为抛物线的顶点，请解决下列问题． 第5页（共13页）

（1）填空：点 𝐶 的坐标为 ，点 𝐷 的坐标为 ；

（2）设点 𝑃 的坐标为 𝑎,0 ，当 𝑃𝐷−𝑃𝐶 最大时，求 𝑎 的值并在图中标出点 𝑃 的位置；

（3）在（2）的条件下，将 △𝐵𝐶𝑃 沿 𝑥 轴的正方向平移得到 △𝐵ʹ𝐶ʹ𝑃ʹ，设点 𝐶 对应点 𝐶ʹ 的横坐标为 𝑡（其中 0<𝑡<6），在运动过程中 △𝐵ʹ𝐶ʹ𝑃ʹ 与 △𝐵𝐶𝐷 重叠部分的面积为 𝑆，求 𝑆 与 𝑡

之间的关系式，并直接写出当 𝑡 为何值时 𝑆 最大，最大值为多少? 第6页（共13页） 答案

第一部分

1. D 2. D 3. C 【解析】点 𝑃 5,−3 关于原点对称的点的坐标是 −5,3 ．

4. B 5. D

6. D 【解析】① 125144= 169144=1312，符合题意；

② −4 2= −4 =4，符合题意；

③ −22 没有意义，符合题意；

④ 116+14= 516= 54，符合题意．

7. A 【解析】𝑥𝑥2+2𝑥+1÷ 1−1𝑥+1 =𝑥 𝑥+1 2÷ 𝑥+1𝑥+1−1𝑥+1

=𝑥 𝑥+1 2÷𝑥𝑥+1=𝑥 𝑥+1 2⋅𝑥+1𝑥=1𝑥+1.

8. C 【解析】3𝑥 𝑥−1 −5 𝑥−1 =0，

𝑥−1 3𝑥−5 =0，

𝑥−1=0 或 3𝑥−5=0，

𝑥1=1，𝑥2=53．

9. D 【解析】根据题意得，2−𝑥≥0，

解得 𝑥≤2．

10. D

【解析】在 △𝐴𝐵𝑃 与 △𝐷𝐶𝐸 中，

𝐴𝐵=𝐷𝐶,∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐷𝐶𝐸=90∘,𝐵𝑃=𝐶𝐸,

∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐷𝐶𝐸，

由题意得：𝐵𝑃=𝑡−2=1，

∴𝑡=3，

在 △𝐴𝐵𝑃 与 △𝐶𝐷𝐸 中，

𝐴𝐵=𝐶𝐷,∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐷𝐶𝐸=90∘,𝐴𝑃=𝐶𝐸,

∴△𝐴𝐵𝑃≌△𝐶𝐷𝐸，

由题意得：𝐴𝑃=8−𝑡=1，解得 𝑡=7．

∴ 当 𝑡 的值为 3 或 7 时．△𝐴𝐵𝑃 和 △𝐷𝐶𝐸 全等．

11. D 12. D 【解析】设直线 𝑥=𝑡 为 𝑙．

①∵𝑙∥𝑦 轴，△𝐴𝑂𝐵 为等边三角形，

∴∠𝑂𝐶𝐷=30∘， 第7页（共13页） ∴𝑂𝐷=𝑡，𝐶𝐷= 3𝑡 0≤𝑡≤1 ；

∴𝑆△𝑂𝐶𝐷=12×𝑂𝐷×𝐶𝐷= 32𝑡2 0≤𝑡≤1 ，

即 𝑦= 32𝑡2 0≤𝑡≤1 ．

故此时 𝑦 与 𝑡 之间的函数关系的图象应为开口向上的二次函数图象；

②∵𝑙∥𝑦 轴，△𝐴𝑂𝐵 为等边三角形，

∴∠𝐷𝐶𝐵=30∘，

∴𝐵𝐷=2−𝑡，𝐶𝐷= 3 2−𝑡 1<𝑡≤2 ，

∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=12×𝐵𝐷×𝐶𝐷= 32 2−𝑡 2 1<𝑡≤2 ，

又 𝑆△𝐴𝑂𝐵=12×2× 3= 3，

∴𝑦= 3− 32 2−𝑡 2 1<𝑡≤2 ．

故此时 𝑦 与 𝑡 之间的函数关系的图象应为开口向下的二次函数图象．

第二部分

13. −𝑥3𝑦3

14. 5 32

15. 15

16. 𝑥=1，𝑥<1

【解析】根据图表可得：当 𝑥=1 时，𝑦=0；因而方程 𝑎𝑥+𝑏=0 的解是 𝑥=1；𝑦 随 𝑥 的增大而减小，因而不等式 𝑎𝑥+𝑏>0 的解是：𝑥<1．

17. 6

18. 1

【解析】∵ 抛物线 𝑦=𝑎1 𝑥−2 2+2 经过 𝑂 0,0 ，