外微分尹小玲(以下仅在三维空间中讨论)一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用Ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx Ù，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx Ù=Ù，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx Ù+Ù=+Ù)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx Ù-=Ù；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=Ùdx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ÙÙ=ÙÙ)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ÙÙÙ,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ÙÙ在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ´相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a r r ´在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =Ù||，dzdx dx dz =Ù||，dxdydy dx =Ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F（1）RdzQdy Pdx ++（2）dyCdx dx Bdz dz Ady Ù+Ù+Ù（3）dz dy Fdx ÙÙ（4）例p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
考研数学二-400(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中．只有一个选项是符合题目要求的．1.设，那么与对角矩阵相似的矩阵是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析] 矩阵A的特征值是1，3，5，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A～Λ．矩阵B的特征值是2，2，5，由于秩所以，λ=2只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵曰不能相似对角化．矩阵C是实对称矩阵，故必有C～Λ．矩阵D的特征值也是2，2，5，由于所以，λ=2有两个线性无关的特征向量，因而矩阵D可以相似对角化．故应选(B)．评注本题归纳了判断相似对角化的基本思路与方法．当A T=A或A有n个不同的特征值时，矩阵A必可相似对角化；而当特征值有重根时，要通过秩来判断．2.设可导函数x=x(t)由方程所确定，其中可导函数f(u)＞0，且f(0)=f'(0)=1，则x"(0)=SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[分析] 令t=0，由题设方程可得x(0)=0．在题设方程两边对t求导，得cost-f[x(t)]x'(t)+f(t)=0，(*)在(*)式中令t=0，可得x'(0)=2．在(*)两边再对t求导，得-sint-f'[x(t)][x'(t)]2-f[x(t)]x"(t)+f'(t)=0，(**)在(**)式中令t=0，可得x"(0)=-3．故选(C)．3.设函数F(x，y，z)具有连续偏导数，若从方程F(x，y，z)=0能分别解出函数x=f(y，z)，y=g(z，x)与z=h(x，y)，则未必有SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析一] 把F(x，y，z)=0看成关于(x，y)的恒等式，并将恒等式两边求微分，由一阶全微分形式不变性即得F'x dx+F'ydy+F'zdz=0．(*)从而不选(A)．由(*)式可得，从而计算可得从而也不选(C)与(D)．即应选(B)．[分析二] 用举例法即可选出正确选项．考虑函数F(x，y，z)=x+y+z，于是F'x =1，f'z=1，又由z=-(x+y)知z'x=-1．这表明F'x=F'z≠z'x．应选(B)．4.设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)A n x=0和(Ⅱ)A n+1x=0，则必有SSS_SINGLE_SELA (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[分析] 若α是(Ⅰ)的解，即A nα=0，显然A n+1α=A(A nα)=A0=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．若η是(Ⅱ)的解，即A n+1η=0．假若叼不是(Ⅰ)的解，即A nη≠0，那么对于向量组η，Aη，A2η，…，A nη，一方面这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knA nη=0，用A n左乘上式，并把A n+1η=0，A n+2η=0，…，代入，得kA nη=0．由于A nη≠0，必有k=0．对k 1Aη+k2A2η+…+knA nη=0，用A n-1左乘上式可推知k1=0．类似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量组η，Aη，A2η，…，A nη线性无关，两者矛盾．所以必有A nη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故应选(A)．5.以y1=e x cos2x，y2=e x sin2x与y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是SSS_SINGLE_SELA y'"+y"+3y'+5y=0．B y"'-y"+3y'+5y=0．C y'"+y"-3y'+5y=0．D y'"-y"-3y'+5y=0．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B[分析] 线性无关特解y1=e x cos2x，y2=e x sin2x与y3=e-x对应于特征根λ1=1+2i，λ2=1-2i与λ3=-1，由此可得特征方程是(λ-1-2i)(λ-1+2i)(λ+1)=0λ3-λ2+3λ+5=0．由此即知以y1=e x eos2x，y2=e x sin2x与y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是y'"-y"+3y'+5y=0．应选(B)．6.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，则SSS_SINGLE_SELA 当时不是曲线y=f(x)的水平渐近线．B 当时x=0不是曲线y=f(x)的垂直渐近线．C 当时曲线y=f(x)必有斜渐近线．D 当且时y=kx+b一定是曲线y=f(x)的渐近线．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 用排除法．取f(x)=arctanx，则(A)不对．取则(B)不对．取f(x)=x+sinx，则(C)不对．由排除法可知，应选(D)．或直接证明(D)正确，留作考生自己练习．7.设函数f(x)在点x=0处二阶可导，当x≠0时f(x)≠0，且在点x=0处连续，则SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A[分析] 由F(x)在点x=0处连续知，即．这表明f(x)与cosx-1当x→0时是等价无穷小量，从而当x→0时上式又可以表成其中o(x2)是当x→0时比x2高阶的无穷小量．与f(x)的二阶麦克劳林公式对比即知f(0)=f'(0)=0，f"(0)=-1．故应选(A)．8.设函数z=f(x，y)在点(x0，y)处有f'x(x，y)=a，f'y(x，y)=b，则SSS_SINGLE_SEL A极限一定存在，但f(x，y)在点(x0，y)处不连续．Bf(x，y)在点(x0，y)处必连续．Cdz|(x0，y0)=adx+bdy．D 及存在且相等．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[分析] 由f'x (x，y)存在即知一元函数f(x，y)在x=x处连续，故．类似由f'y (x，y)存在即知一元函数f(x，y)在y=y处连续，故．即(D)正确．或举反例用排除法．取，计算可得f'x(0，0)=f'y(0，0)=0，同时可证明存在，f(x，y)在点(0，0)处连续，f(x，y)在点(0，0)处不可微分，这样可排除(A)，(C)．取计算可得f'x (0，0)=f'y(0，0)=0，同时可证明f(x，y)在点(0，0)处不连续，这样可排除(B)．由排除法可知，应选(D)．二、填空题9.=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] 令被积函数，注意f(x)是偶函数，且当x2≤2时，有利用夹逼定理可得，当x2≤2时，有f(x)=2．类似可得当x2＞2时，有f(x)=x2．故10.设函数f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足f'(0)=1，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] 所求极限是“∞-∞”型未定式，可通分化为型未定式求极限．11.已知a，b满足，则曲线y=x2+ax与直线y=bx所围区域的最大面积与最小面积分别为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] 因为故常数a与b除满足a≤0≤b外还满足a2+b2=1．又曲线y=x2+ax与直线y=bx交于x=0与x=b-a，从而它们所围图形的面积为应用拉格朗日乘数法，令，则由解得驻点此时又弧a2+b2=1且a≤0≤b的两个端点处a分别为0与-1，当a=0时b=1，此时当a=-1时b=0，此时故所求面积的最大值为最小值为12.=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析]而于是原积分=13.微分方程的通解是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:x+e-(x+y)=C．[分析] 原方程可改写为令u=x+y，则有上式两边积分得-e-u=x-C，将u=x+y代入得通解为x+e-(x+y)=C．14.已知ABC=D．其中则B*=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[分析] A、C都是初等矩阵，它们可逆，故B=A-1DC-1．我们可以求出B，然后按定义法求B*．这样计算量较大，若注意到D可逆，于是B可逆，而由因此亦可通过求B-1来达到求B*．易见，|B|=|A-1||D||C-1|=-6．又B-1=(A-1DC-1)-1=CD-1A故三、解答题确定常数A与B的值，使得函数当x→0时满足f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:改写函数f(x)可得其中．利用ln(1+x)的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式ln(1+x)=可得当x≠0时代入e g(x)的关于g(x)的二阶麦克劳林公式就有从而故所求常数16.设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y，(Ⅰ) 确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；(Ⅱ) 求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；(Ⅲ) 求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ) 方法1° 由得ay+y2=2y，解得y=0，y=2-a．由0＜y=2-a＜2可得，0＜a ＜2．方法2° C1，C2交于三点O，M，P的充要条件是a＞0，且抛物线C1在原点处的曲率K＞1(圆C2的曲率为1)．由于，所以C1在原点处的曲率为因此，当0＜a＜2时，C1，C2交于三点O，M，P．(Ⅱ) 两曲线x2=ay，x2+y2=2y的交点为O(0，0)，，由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大．由于S'(a)=2(2-a)2(1-2a)，f"(a)=-4(2-a)(1+a)＜0，令f'(a)=0，解得唯一驻点，所以点为最大值点，此时，所求面积的最大值为(Ⅲ) 由定积分的几何意义可得所求旋转体的体积(圆柱体的体积减去二倍抛物旋转体的体积，如图)为17.设x＞0时，，其中函数f(x)在区间(0，+∞)上连续且单调增加．试证：F(x)在(0，+∞)也单调增加．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:自然的想法是求F'(x)．由于F(x)中的第一项变限积分中被积函数除依赖于积分变量t外，还依赖于x，所以要通过变量替换把积分化为只有积分限含有x 的变限积分，然后再求导．于是，令，则由变限积分求导法得为比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得当0＜x＜1时，由得当时有当x＞1时，由得当时有代入即得F'(x)＞0(x＞0，x≠1)，此外还有F'(1)=0．因此，F(x)在(0，+∞)单调增加．18.设对任意的x和y，有，用变量代换将f(x，y)变换g(u，v)，试求满足中的常数a和b．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:由题意，两边分别对u，v求偏导数得因此有利用(f'1)2+(f'2)2=4，即(f'2)2=4-(f'1)2得(a+b)(v2-u2)(f'1)2+2(a+b)uvf'1·f'2+4au2-4bv2=u2+v2，由此得a+b=0，4a=1，-4b=1，故19.设计算二重积分，其中积分区域D=(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:用1-x2-y2=0把D分成D1与D2两部分，如图所示，则20.设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明：至少存在一点ξ∈[0，a]，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 9答案:[证明一] 利用f(x)=f(0)+f'(ξ1)(x-0)=f(0)+f'(ξ1)x可得因f'(x)在[0，a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在m和M，使m≤f'(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf'(ξ1)≤Mx，故即由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得即，于是[证明二]因为f'(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a])，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得于是[证明三] 令则F(x)可用麦克劳林公式表示为即令x=a得[分析] 所给问题为f(x)的定积分与f'(ξ)之间的关系．可以考虑成原函数与F"(ξ)之间的关系，从而可利用二阶泰勒公式来证明．如果认定为考察f(x)与f'(ξ)之间关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．也可以利用积分中值定理来证明．21.求微分方程满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，其中常数k＞0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:令p=y'，则y"=p'，故有两边积分得由上式得，所以由y'(0)=0得C1=1或C1=-1．由题意知x+1≥1，k＞0，故y"＞0y'单调增加，又y'(0)=0x＞0时y'＞0C1=1．于是当k=1时，，由y(0)=0得C2=，故所求特解为当k＞0，k≠1时，由y(0)=0得，故所求特解为22.已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求A n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值是1，1，2．因为A有3个线性无关的特征向量，所以秩r(E-A)=1．又故a=1．由(E-A)x=0，即得基础解系α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，0)T．由(2E-A)x=0，即得基础解系α3=(2，-1，3)T．那么令P=(α1，α2，α3)，有从而A=PΛP-1．于是A n=PΛn P-1评注要搞清相似对角化的充分必要条件，掌握相似对角化的应用求A n．23.已知三元二次型x T Ax的平方项系数均为0，并且α=(1，2，-1)T满足Aα=2α．(Ⅰ) 求该二次型表达式；(Ⅱ) 求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；(Ⅲ) 若A+kE正定，求k的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:(Ⅰ) 据已知条件，有，即解出a12=2，a13=2，a23=-2，所以x T Ax=4x1x2+4x1x3-4x2x3．(Ⅱ) 由得矩阵A的特征值为2，2，-4．由(2E-A)x=0，得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；由(-4E-A)x=0，得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T．将α1，α2正交化．令β1=α1，则再对β1，β2，α3单位化，有那么令(Ⅲ) 因为A+kE的特征值为k+2，k+2，k-4，所以当k＞4时，矩阵A+kE 正定．1。
