二次函数知识点与题型总结(最新整理)

二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c（a，b，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b，c 是常数，a是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴x0 时，y随x的增大而增大； x 0a 0向上0 ，0y 轴时，y随x的增大而减小；x0 时，y 有最小值0．x0 时，y随x的增大而减小； x 0a 0向下0，0y 轴时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， 2.y 有最大值0．y ax2c 的性质：上加下减。

a 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴x0 时，y随x的增大而增大； x 0a 0向上0 ，cy 轴时，y随x的增大而减小；x0 时，y 有最小值 c ．x0 时，y随x的增大而减小； x 0a 0向下0 ，c y 轴时，y随x的增大而增大；x0 时，3.y 有最大值 c ．2y a x h 的性质：左加右减。

a 的符开口方顶点坐对称性质号向标轴x h 时，y随x的增大而增大；x ha 0 a 0向上向下h，0h，0X=h时，y随x的增大而减小；x h 时，y有最小值0．x h 时，y随x的增大而减小；x hX=h时，y随x的增大而增大；x h 时，y有最大值0．4. y a x h 2k 的性质：a 的符开口方顶点坐对称性质号向 标 轴x h时， y 随 x 的增大而增大；x ha 0向上h ，kX=h时， y随 x 的增大而减小； xh 时，y有最小值 k．x h时， y 随 x的增大而减小；x ha 0向下h ，kX=h时， y 随 x 的增大而增大； xh时，y有最大值 k．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a xhk，确定其顶点坐标h ，k ；⑵ 保持抛物线yax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴ yax2bxc沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成y ax2bx c m （或 y ax2bx c m ）⑵ yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax2bxc变成y a( x m)2b( x m) c （或 y a(x m)2b(x m) c ）四、二次函数y a x2k 与 y ax2bx c 的比较h从解析式上看，y2k 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过a x h24ac b22y a x b h b，k4ac b2a4a．配方可以得到前者，即，其中2a4a2bx c 图象的画法五、二次函数y ax五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h) 2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与 x 轴的交点x1，0， x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数 y ax2bx c 的性质b b，4ac b 21.当a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x 2 a4a2a ，顶点坐标为．x bxb b2a 时，y随x的增大而增大；当x当 2 a 时，y随x的增大而减小；当2 a时，y有最小值4ac b24a．b b ，4ac b 22.当a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x2a4a2a ，顶点坐标为．当xb bxbx2a 时，2a 时，y随x的增大而增大；当2a 时，y随x的增大而减小；当4ac b 2y有最大值 4a ．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2. 顶点式：3. 两根式：2c（ a ， b ， c 为常数， a）；y ax bxy a( x h)2k（ a， h ， k 为常数， a0 ）；y a( x x 1 )( x x 2 ) （ a0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4 ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互 化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数yax 2bxc中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当a时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；⑵ 当a时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大．总结起来， a决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a的前提下，b当b0 ，即抛物线的对称轴在 y轴左侧；0 时， 2ab当b，即抛物线的对称轴就是 y轴；0 时， 2ab当b 0时， 2a，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在 a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即b0y 轴右侧；当b0 时， 2a，即抛物线的对称轴在b0y 轴；当b0 时， 2a，即抛物线的对称轴就是b当b 0时， 2a，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．bab的符号的判定：对称轴x，在y轴的右侧则2a 在y轴左边则 abab0，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c⑴当 c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当 c 0 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式， 才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x轴对称ya 2xb x关c 于 x轴对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；22y a x hk关于 x轴对称后，得到的解析式是y a x hk ；2. 关于 y轴对称ya 2xb x关c于 y轴对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c ；22y a x hk 关于 y轴对称后，得到的解析式是y a x hk ；3. 关于原点对称22c ；y a xb x关c于原点对称后，得到的解析式是y ax bx y2ya xh2a x hk k；关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2b x关c于顶点对称后，得到的解析式是 yax 2 bx c b 2y a x2a ；22k ．y a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是 ya xh5. 关于点m ，n对称第7页共51页22y a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与x轴的交点个数：① 当b2 4 ac 0 时，图象与x轴交于两点A x1，0，B x2，0 (x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2x1b24aca.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点 .1'当a0 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0 ；2'当a0 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c( a 0) 本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与x轴二次三项式的值一元二次方程有两个不相等实根有两个交点可正、可零、可负抛物线与x轴二次三项式的值一元二次方程有两个相等的实数根只有一个交为非负点0抛物线与x轴二次三项式的值一元二次方程无实数根 .无交点恒为正二次函数图像参考：y=2x2y=x2x2y=y=2x 2y=2(x-4) 22y=2(x-4) 2 -3y=2 x 2 +2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=2 x2 y=2 x2 -4十一、函数的应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少（二）二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y (m 2) x 2m 2m 2的图像经过原点， 则m的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是 在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，函数y kx 2k 和yk(k0)x在同一直角坐标 系中图象可能是图中的( )3.考查用待定系数法求二次函数的解析式， 有关习题出现的频率很高， 习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过 (0,3)，(4,6)两点，对称轴为x3，求这条抛物线的解析式。

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y ax2 bx c(a, b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y 2ax的性质(1)抛物线 2y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y ax2的图像与a的符号关系.①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.(3 )顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为ax2（ a0）.3.二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于(包括重合) y轴的抛物线.4.二次函数y ax2 bx c用配方法可化成：y a x h2k的形式，其中4ac b24a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2 2；② y ax k ；2 2③ yaxh :④ yaxh k ；2⑤ y ax bx c.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当0时，开口向下;a相等，抛物线的开口大小、形状相同②平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8.求抛物线的顶点、对称轴的方法2(1)公式法：y ax bx c2b2a，「顶点是(4ab 4ac b2）2a' 4a '对称轴是直线x2a(2 )配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h 2 k的形式，得到顶点为(h, k)，对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x —，故：①b 0时，对称轴为y轴；②-0 (即a、b同号)时，对称轴2a a在y轴左侧；③- 0 (即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.a(3) c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,•••抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c)：① c 0 ,抛物线经过原点；②c 0,与y轴交于正半轴；③ c 0 ,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0.10.11.(1 )一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式（2 ）顶点式：y ax h 2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式•（3 ）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x2，通常选用交点式：y ax x1 x x2. 12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为（0, c）.（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点（h , ah 2 bh c）.（3 ）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0 抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0 抛物线与x轴相切；③没有交点0 抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.（5）—次函数y kx n k 0的图像I与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的"y kx n交点，由方程组彳2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时』ax bx cI与G有两个交点；②方程组只有一组解时解时I与G没有交点.（6 ）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线A x1?0，B x2,0，由于x1> 2x2是方程axX1X2b— ,X1 X2acaAB r2: 2 X1X2弋X1X2x x1x2I与G只有一个交点；③方程组无y ax2 bx c与x轴两交点为bx c 0的两个根，故b 24c V'b24ac4x1X2 A——a H[a a第二部分典型习题1 .抛物线y = x 2+ 2x — 2的顶点坐标是(D )A. (2,— 2)B. (1,— 2)C. (1,— 3)D. (— 1 , — 3)2 .已知二次函数y ax 2 bx c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(C )A. ab >0, c >0B. ab >0, c v 0C. ab v 0, c >03 .二次函数y = ax 2+ bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(D )A. a >0, b v 0, c >0 B . a v 0, b v 0, c >0C. a v 0,b > 0,c v 0D. a v 0, b >0, c > 04 .如图，已知 ABC 中，BC=8 BC 上的高h 4 , D 为BC 上 一点，EF//BC ，交AB 于点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、B ),设E 到BC 的距离为x ,则 函数的图象大致为(D )6. 已知二次函数y = kx 2+ (2k —1)x —1与x 轴交点的横坐标为 洛、x 2 ( x v x 2),则对于下列结论：①当 x = — 2时，y = 1;②当x >x 2时，y >0;③方程kx 2+ (2k —1)x 1= 0有(1 + 4k 2两个不相等的实数根 x 1、x 2 :④x 1v 1 , x 2> —1 :⑤x 2—为=,其中所有正k确的结论是 ①③④(只需填写序号).7. 已知直线y 2x b b 0与x 轴交于点A,与y 轴交于点 B ； —抛物线的解析式为D. ab v 0, c v 0DEF 的面积y 关于x 的x 2 4x5 .抛物线y x 2 2x A B 两点，贝U AB 的长为_4______第2 , 3题图D第4题图3与x 轴分别交于29.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化, 而且在这四天中每昼夜的体温变化情况 相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变 化情况绘制成下图•请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼y x b 10 x c .(1 )若该抛物线过点 B ,且它的顶点 P 在直线y 2x b 上，试确定这条抛物线的解析 式；(2) 过点B 作直线BC 丄AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线y 2x b 的解析式•解: (1) y x 210或 y x 2 4x 6将(0, b)代入，得c b •顶点坐标为(一102b 16b 100)，由题意得b 102b 2 16b 100，解得D410,b 26.(2) y 2x 28.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2,0, 1时，相应的输出值分别为 5,3, 4 •(1) 求此二次函数的解析式；(2 )在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象 ,并根据图象写出当输出值 y 为正数时输入值x 的取值范围.解：(1)设所求二次函数的解析式为y ax 2 bx c , a( 2) b( 2) c 5 c3a 1即2ab 4 ,解得b 2 ab 1c 3则 a 02 b 0 ca b c 43 , 故所求的解析式为：y2x 2x 3.(2)函数图象如图所示由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是 x1 或 x 3 •non 由 AB AC BC , 得卑8 99a a1解得a 1.4的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少 ？ ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式.解：⑴第一天中，从 4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是 39 C1 2⑶ y x 2 2x 24 10 x 22 1610.已知抛物线y B 两点，与y 轴交于点C.是否存在实数a ,使得 △ ABC 为直角三角形.若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，得点 C 的坐标为（0, 4）.设点A B 的坐标分别为（x-i , 0） , （ x 2 , 0）,24由ax(33a )x 4,解得4点A 、B 的坐标分别为(-3 , 0) (, 0).3aAB | — 3|, ACAO 2 OC 2 5 ,3a BC •. BO 2 OC 2. | 4 |2 42 . V 3a24216 4AB 2 |3|22 2 393a 9a 2 3a2216 AC 225, BC 2 -6T 16.9a 2 16 9a 2〈i 〉当 AB 2 AC 22BC 时，/ ACB= 904 3a162 5(9616).4与x 轴交于A 、225 , BC1162625 24时，点B 的坐标八5，0)，AB -9-，AC于是 AB 2 AC 2 BC 2 .1二 当a 时，△ ABC 为直角三角形.4〈ii 〉当 AC 2 AB 2 BC 2 时，/ ABC= 90° . 亠 2 2 2 16 8 16由 AC 2 AB 2 BC 2，得 25 ( 29) ( 2 16).9a 2 a9a 24 解得a -.9 44 4当a —时，3，点B (-3 , 0)与点A 重合，不合题意. 93a 3 49〈iii 〉当 BC 2 AC 2 AB 2 时，/ BAG= 90° ., 2 2 216 16 8 由 BC AC AB ,得 2 16 25 ( 2 9).9a 2 9a 2a4解得 a —.不合题意.91综合〈i 〉、〈ii 〉、〈iii 〉，当a 时，△ ABC 为直角三角形.411. 已知抛物线 y = — x 2 + mx — m + 2.(1) 若抛物线与x 轴的两个交点 A B 分别在原点的两侧，并且 AB= ,5，试求m 的值;的面积等于27,试求m 的值. 则X 1 , X 2是方程x 2— mx+ m- 2= 0的两根.T X 1 + X 2 = m , x 1 X 2 =m- 2 v 0 即 m< 2 ;又 AB=|X 1 — x 2 1=―4x X ? ■- 5 ,/• n f — 4m + 3=0 .解得：m=1或m=3(舍去)，••• m 的值为1 . (2) M(a , b)，则 N( — a , — b).•/ M N是抛物线上的两点，a 2ma m 2 b,L ①a 2ma m 2b.L ②①+②得：一2a 2 — 2m + 4 = 0 . • a 2=— m + 2 . •••当m < 2时，才存在满足条件中的两点 M N.(2)设C 为抛物线与y 轴的交点, 若抛物线上存在关于原点对称的两点 M N,并且△ MNC400~9~解：(1) A( X 1, 0) ,B (X 2, 0).••• a 、2 m这时MN到y轴的距离均为J2 m ,又点C坐标为(0, 2 —m ,而M N C = 27 ,1 _______________• 2X X( 2—m X .. ―=27 .2•解得m=- 7 .12. 已知：抛物线y= ax2+ 4ax+1与x轴的一个交点为A (—1, 0).(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD勺面积为9，求此抛物线的解析式；(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为 5 : 2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，冋：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使厶APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.解法一：(1)依题意，抛物线的对称轴为x =—2.•/ 抛物线与x轴的一个交点为A(—1, 0),• 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(一3, 0).(2)v 抛物线y= ax2+ 4ax+1与x轴的一个交点为A (—1, 0 ),a( —1)2+ 4a( —1)+1 = 0 . • t = 3a.「. y= ax? + 4ax+ 3a .C (—4, 3a). • AB = 2, CD= 4.1 1梯形ABCD勺面积为9,「. (AB CD) OD =9 . •(2+4)3a =9 .-a ± 1.D ( 0, 3a). 梯形ABCD中, AB// CD 且点C在抛物线y= ax2+ 4ax + 3a上,y。

中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。

一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。

在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。

二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。

3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。

三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。

2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。

四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。

2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。

3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。

4.求单调性：根据图像特征可以判断。

5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。

二次函数知识点归纳及考查重点与常见题型一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y a x b x c=++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y a x b x c=++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y a x c =+的性质：上加下减。

3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。

4. ()2y ax h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y ax h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或mc bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++的比较 从解析式上看，()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b a c b y a xa a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b a c b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y a x b x c=++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y a x b x c =++化为顶点式2()y a x h k=-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y a x b x c=++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y a x b x c=++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a xxxx =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y a x b x c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c=++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=---； ()2y ax h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c=++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+； ()2y ax h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+-；()2y ax h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by a x b x c a=--+-； ()2y ax h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y ax h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20a x b x c ++=是二次函数2y a x b x c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b a c ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A xB x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200a x b xc a ++=≠的两根．这两点间的距离21A B x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y a x b x c=++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y a x b x c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)a xb xc a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：2y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。