专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （a b1ab++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维：抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
微专题21抽象函数的处理技巧【方法技巧与总结】常见抽象函数的模型()()()()(1)f x y f x f y f x f x+=+⇔=()()()()log a f xy f x f y f x x=+↔=()()()()xf x y f x f y f x a +=↔=()()()()kf xy f x f y f x x =↔=2()()()()f x y f x f y kxy f x ax bx+=++↔=+()()2()()f x y f x y f x f x ax b++-=↔=+【题型归纳目录】题型一：求抽象函数的解析式及函数值题型二：抽象函数的奇偶性问题题型三：抽象函数的单调性问题【典型例题】题型一：求抽象函数的解析式及函数值例1．设函数:f R R →满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则(2017)(f =)A ．0B ．2018C ．2017D ．1例2．设函数()f x 满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈，都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则f （1）(=)A ．2B ．2-C ．1D ．1-例3．设函数:f R R →满足(0)1f =，且对任意x ，y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则(2020)(f =)A ．0B ．1C ．2019D ．2021变式1．若函数()f x 对定义域内任意两个自变量x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，则()f x 可以是()A ．()21f x x =+B ．2()f x x =C ．1()f x x =D ．()2xf x =变式2．函数()f x 满足对定义域内的任意x ，都有(2)()2(1)f x f x f x ++<+，则函数()f x 可以是()A ．()21f x x =+B ．2()2f x x x =-C ．()x f x e =D ．()f x lnx =变式3．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()f a b f +=（a ）f （b ）且f （1）2=，则下列判断正确的有()A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当(0,)x ∈+∞时，函数()1f x >D ．(2)(4)(6)(2016)(2018)(2020)2020(1)(3)(5)(2015)(2017)(2019)f f f f f f f f f f f f +++⋯++=变式4．已知函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且f （1）0=，则(0)f =，()f x =．变式5．若函数()f x 对任意实数x ，y 均有22()2()233f x y f y x xy y x y +=++-+-，则()f x 的解析式为．变式6．对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，f （9）4=，则f =．变式7．（1）已知()2()1f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．（2）设()f x 是R 上的函数，且(0)1f =，并且对任意实数x ，y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式．题型二：抽象函数的奇偶性问题例4．（2022·重庆市辅仁中学校高一期中）已知()f x 定义域为R ，对任意,x y ∈R 都有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1,(1)0f x f <=．(1)求(1)f -;(2)试判断()f x 在R 上的单调性，并证明;(3)解不等式：2(232)2()4f x x f x --+>．例5．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x x f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．例6．（2022·广西梧州·高一阶段练习）（1）已知函数()f x 对任意的,a b ∈R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >，求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若()f x 是R 上的增函数，且()(),(2)1x f f x f y f y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解不等式1()23f x f x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭．变式8．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的0x ≠函数()f x 满足对任意的a ，b 都有()()()f ab f a f b =+，且当1x >时，()0f x >.(1)判断()f x 的奇偶性，并加以证明；(2)判断()f x 的单调性，并加以证明；(3)对任意的0t ≠都有不等式()()20f t t f k --<恒成立，求k 的取值范围.变式9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数a 、b 都有()()()1f ab f a f b +=+，且当1x >时，()1f x >．求证：函数()f x 是()0,∞+上的增函数．变式10．（2022·全国·高一专题练习）定义在()0∞+，上的函数()f x 满足下面三个条件：①对任意正数a b ，，都有()()()f a f b f ab +=；②当1x >时，()0f x <；③()21f =-(1)求()1f 和14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)试用单调性定义证明：函数()f x 在()0∞+，上是减函数；(3)求满足()()32412218f x x f x -+>的x 的取值集合．变式11．（2022·全国·高一期中）已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2.(1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性；(2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.变式12．（2022·全国·高一单元测试）已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有()()f a f b a b++＞0成立.(1)判断f (x )在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.题型三：抽象函数的单调性问题例7．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）定义在()1,1-上的函数()f x 满足对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当(0,1)x ∈时，()0f x <．(1)求证：函数()f x 是奇函数；(2)判断()f x 在()1,1-上的单调性，不需证明；(3)解不等式()()10f x f x -+<．例8．（2022·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()(),(1) 4.f x y f x f y f +=+=(1)求(0)f 的值.(2)判断函数()f x 的奇偶性.(3)若(23)()8f x f x +-＜，求x 的取值范围.例9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，证明：()f x 为奇函数．变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当x y ≠时，()()0f x f y x y->-成立，且(1)2f =．(1)求(0)f ，并证明函数()()1g x f x =-的奇偶性；(2)当[0,9]x ∈，不等式()(3f x f m +-≤恒成立，求实数m 的取值范围．变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.(1)证明：()f x 为奇函数；(2)证明：()f x 在[1,1]-上是增函数；(3)设(1)1f =，若()22f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.变式15．（2022·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数()f x 是增函数，对于任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=+．(1)写一个满足条件的()f x ；(2)证明()f x 是奇函数；(3)解不等式()211()(3)22f x f x f x ->．变式16．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ).(1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值.变式17．（2022·全国·高一课时练习）函数f （x ）对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f （x ）+f （y ）成立，且当x ＞0时f （x ）＜0恒成立．(1)证明函数f （x ）的奇偶性；(2)若f （1）=－2，求函数f （x ）在[－2，2]上的最大值；(3)解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->--变式18．（2022·河南焦作·高一期中）已知f (xy )＝f (x )＋f (y ).(1)若x ，y ∈R ，求f (1)，f (－1)的值；(2)若x ，y ∈R ，判断y ＝f (x )的奇偶性；(3)若函数f (x )在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x )＋f (x －6)≤4，求x 的取值范围.【过关测试】一．单选题1．若对任意x ，y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数22()()1x g x f x x =++，则g （2）(2)g +-的值等于()A ．0B ．4C ．6D ．82．若对x ∀，y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数2()()1x g x f x x =++，则g （2）(2)g +-的值()A ．0B ．4C ．6D ．93．已知定义在(0,)+∞上的减函数()f x 满足条件：对任意x ，(0,)y ∈+∞，总有()()()1f xy f x f y =+-，则关于x 的不等式(1)1f x ->的解集是()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(,2)-∞D ．(0,2)二．填空题4．函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且对于定义域内的任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+，且f （2）1=，则f 的值为．5．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，满足f （2）1=，且对于定义域内任意x ，y 都有()()()f xy f x f y =+成立，那么f （1）f +（4）=．6．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，f （2）1=．如果对于0x y <<，都有()()f x f y <，则不等式(1)(1)2f x f x -++<的解集为（表示成集合）．7．已知定义在正实数集上的函数()f x 满足①若1x >，则()0f x <；②1()12f =；③对定义域内的任意实数x ，y ，都有：()()()f xy f x f y =+，则不等式()(5)2f x f x +-- 的解集为．三．解答题8．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，f （1）1=，求(0)g ，g （1），g （2）的值．9．若函数()f x ，()g x 满足()()()()()g x y g x g y f x f y -=+，并且(0)0f =，(1)1f -=-，f（1）1=．（1）证明：22()()(0)f x g x g +=．（2）求(0)g ，g （1），(1)g -，g （2）的值．（3）判断()f x ，()g x 的奇偶性．10．（2022·北京市第五中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意实数x ，y ，均有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=；②(1)0f =；③对任意[0,1)x ∈，()0f x >．(1)求(0)(2)f f -的值，并判断()f x 的奇偶性；(2)对任意的x ∈R ，证明：(4)()f x f x +=；(3)直接写出()f x 的所有零点(不需要证明)．11．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在R 上的函数()f x 对任意实数1x ，2x ，都有()()()12122f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()2f x >.(1)求证：()2f x -为奇函数；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并说明理由；(3)若()45f =，解不等式()2328f m m --<.12．（2022·福建·泉州市第六中学高一期中）设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <.(1)证明：()f x 为奇函数；(2)证明：()f x 为减函数，(3)若()11f -=，试求关于m 的不等式()()22213f m f m m +-+>-的解集.13．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对任意实数x ､y 恒有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当0x >时，()0f x <，且()12f =-.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)证明函数单调性并求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；(3)若()222f x m am <-+对所有的][1,1 ,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.14．（2022·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）已知函数()f x 对一切实数x ，R y ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，又()32f =-．(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R 上的单调性；(3)若()()22240f x f x ++--<，求x 的取值范围．15．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()f x 的定义域为{}|0D x x =≠，且满足对于任意1x ，2x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+．(1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；(2)如果()41f =，()12f x -<，且()f x 在()0,∞+上是增函数，求x 的取值范围．16．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知函数()f x 定义域为[11]-，，若对于任意的[11]x y ∈-、，，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)判断并证明函数()f x 在[11]-，上的单调性；(3)若f （1）=1，2()21f x m am <-+，对所有[11]x ∈-，，[11]a ∈-，恒成立，求m 的取值范围；17．（2022·四川·攀枝花市第十五中学校高一期中）函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <(1)判断()f x 的奇偶性；(2)求证∶()f x 是R 上的减函数∶(3)若a R ∈，求关于x 的不等式()()()()222f ax f x f x f ax ++<-的解集.。
高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )A.B. C. D.2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. B. C. [0,4] D. [1,3]5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)B. (−1 , 2)C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是A. f(−1)<f(0)=f(2)B. f(0)<f(−1)<f(2)C. f(0)=f(2)<f(−1)D. f(−1)<f(0)<f(2)8. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ⩾03x +4,x <0，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6) 9. f(x)是定义域在(−2,2)上单调递减的奇函数，当f(2−a)+f(2a −3)<0时，a 的取值范围是( )A. (0,4)B. (0,52)C. (12,52)D. (1,52) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( ) A. (13,23). B. [13,23) C. (12,23) D. (12,23] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +13)的定义域为( )A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ⩾0)4x −x 2(x <0)，若f (2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是_____．16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是 ．17. 奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)=______．三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)；(2)证明f(x)奇函数；(3)解不等式．20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)．(Ⅰ)求f(1 )的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x−6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+bx ，且f(1)=2，f(2)=52．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；(Ⅲ)求满足f(1+2t2)−f(3+t2)<0的实数t的取值范围．22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈[12,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.25.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[−1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(1)用定义证明函数f(x)在[−1,1]上是增函数;)<f(1−x);(2)解不等式：f(x+12(3)若f(x)≤m2−2m+1对所有x∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1，f(4)=1．16(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>14)=1，如果对于0<x<y，都有f(x)> 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(−x)+f(3−x)≥−2。
数学必修1专题1：抽象函数的单调性1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析(1） 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-在R 上任取21x x ，,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数（2） 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明:令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f xf -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <0)()1()()()(121212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f yx f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)()()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数2. 简短评价(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；（2） 其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或xy 1=针对练习：1。
