《二次函数y=ax2+k的图象和性质》教案、导学案、同步练习

22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 《第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质》教案

【教学目标】 1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象． 2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系． 【教学过程】 一、情境导入

在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别 若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A．a＝2 B．当x＜0，y随x的增大而减小 C．顶点坐标为(2，0) D．图象有最低点 解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C. 方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴． 【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( ) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的． 方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线． 【类型三】识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )

解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B. 【类型四】确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系 抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－

5x2向上平移3个单位得到的． 方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到． 探究点二：二次函数y＝ax2＋k的应用 【类型一】y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________． 解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方

形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－c2，c2)、C(c2，c2)，因为C(c2，c2)在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C坐标代入关系式即可求出ac的值． 解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点坐

标为(c2，c2)．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴c2＝a(c2)2＋c，即ac＝－2. 方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性． 【类型二】二次函数y＝ax2＋k的实际应用

如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－15x2＋72运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m. (1)球在空中运行的最大高度为多少？ (2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 解：(1)∵y＝－15x2＋72的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m. (2)在y＝－15x2＋72中，当y＝3.05时，3.05＝－15x2＋72，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25 ＝－15x2＋72，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)． 三、板书设计

【教学反思】 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别.

22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 《第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质》教案

【教学目标】： 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。 2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。 【重点难点】： 会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性

质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。 正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。 【教学过程】： 一、提出问题 1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较) 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。 2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … y＝x2＋1 … 19 9 3 l 3 9 19 … (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。 （图象略） 问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值 之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。 问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗? 完成填空： 当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 以上就是函数y＝2x2＋1的性质。 三、做一做 问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 教学要点 1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导； 2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。 问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗? 教学要点 1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)； 2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数 值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得 最小值，最小值y＝－2。

问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－13x2＋2图象与函数y＝－13x2的图象有什么关系? 要求学生能够画出函数y＝－13x2与函数y＝－13x2＋2的草图，由草图观察得

出结论：函数y＝－131/3x2＋2的图象与函数y＝－13x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－13x2＋2的图象可以看成将函数y＝－13x2的图象向上平移两个单位得到的。 问题10：你能说出函数y＝－13x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? [函数y＝－13x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)] 问题11：这个函数图象有哪些性质?