浙江省宁波市镇海区外语实验学校高中数学史资料集 概率中的故事与故事中的概率素材

2023年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在−3，−1，0，2这四个数中，最小的数是( )A. −3B. −1C. 0D. 22. 计算−a3÷a结果是( )A. −3B. −2aC. a2D. −a23. 2022年3月12日是第44个中国植树节，广大市民以多种方式参与到植树、护绿中来．据成都市公园城市建设管理局初步统计，今年截至3月12日，全市约76.4万人参与活动，义务植树268.4万株．将数据268.4万用科学记数法表示为( )A. 2.684×102B. 268.4×104C. 2.684×105D. 2.684×1064.如图所示是一个钢块零件，它的左视图是( )A.B.C.D.5. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s2甲=0.12，s2乙=0.25，s2丙=0.35，s2丁=0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6. 要使分式x+1x−1有意义，则x应满足的条件是( )A. x≠−1B. x≠1C. x>−1D. x>17.如图，m//n，直角三角尺ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β.若α=35°，则β的值为( )A. 55°B. 35°C. 45°D. 50°8. 《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题.如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺.木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺.问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程组( )A. {y=x+4.5y=2x−1 B. {y=x−4.5y=2x−1 C.{y=x−4.50.5y=x+1 D.{y=x+4.50.5y=x−19. 若把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向左平移4个单位或向右平移1个单位后都会经过原点，此二次函数图象的对称轴是( )A. 直线x=−2.5B. 直线x=2.5C. 直线x=−1.5D. 直线x=1.510.如图，以直角三角形的各边为边向外作正方形，再把较小的两个正方形放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出哪个图形的面积( )A. S1B. S2C. S3D. S4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. |−2023|=______ ．12. 把多项式2x2−2分解因式的结果是．13. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______ ．14. 有一个圆心角为120°，半径长为9cm的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______ cm．15. 在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点P(x,y)，我们把点P′(x+y,x−y)称为点P的“和差点”.若直线y=−2x+1上有两个点A和B，它们的和差点A′和B′均在反比例函数y=−3x上，则△OAB的面积为______ ．16.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，FG 垂直平分AE 且分别交AB 、AE ，BD ，CD 于点F ，H ，I ，G .若FH =2，IG =6，则HI 的长度为______ ，sin ∠FIB 的值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1.若1xy ≠−，且2249303940x x y y ++= −+=，则xy =________.2.11111212312341232024++++=++++++++++ __________.3.已知正实数a ，b ，c 满足6a b c ++=，则_________.4.已知函数223y x x a =+−+，当21x −≤≤时，y 有最大值5，则a 的值为__________.5.已知ABC △中，BC 上的一点D ，2BD CD =，30DAC ∠=，则ABD ∠的最大值为_________.6.若点T 为线段BC 中点，AT DT ⊥，且2AT =，1DT =，AB CD ∥，BC =，则ABCD=_______.7.如图，在ABC △中，G ，E 分别在AB ，AC 上，连结BE 交AF 于O ，若92BO OE =，12AE EC =，G ，O ，C 共线，GEF △的面积为11，则OBC △的面积为________.8.已知整数x ，y ，z 满足118xy yz zx ++=，则222x y z ++的最小值为________.9.已知x ，y ，z 是大于1的正整数，且111x y z y z x+++   为整数，则x y z ++=_______. 10.已知EA 、EC 为圆O 的两条切线，连结DE 交圆于点B ，若6BC =，3AB =，30ABD ∠=，则BD =__________.二、解答题：本题共2小题，共16分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.（本小题8分）已知()3,4P ，矩形OAPB 的A ，B 顶点分别在x 轴，y 轴上，反比例函数()0,0ky x k x=>>与矩形的BP ，AP 分别交于D ，C ，COD △的面积为4.5.（1）判断并证明直线CD 与AB 的关系.（2）求k 的值.（3）若E ，F 分别为直线AB 和反比例函数上的动点，M 为EF 中点，求OM 的最小值.12.（本小题8分）如图，在ABC △中，60BAC ∠=，D 是垂心，O 是外心，延长AD 交BC 于E ，OH BC ⊥于H .（1）求证：2OH AD =.（2）证明：B ，O ，D ，C 四点共圆.（3）若22BE CE ==，求DE .答案和解析1.【答案】34−【解析】解：2249303940x y y y ++= −+=，224930113940x y y y ++= ∴ +−+−=，224930114930x y y y ++=∴−+−+=，1xy ≠− ，x ∴，1y−是方程24930m m ++=的两个根，134x y ∴⋅−= ，34x y ∴=−. 故答案为34−.根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成24930m m ++=的形式，其中x ，1y−是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果.本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用.关键是观察方程组的系数特点，得到x ，1y−是方程24930m m ++=的两个根，得到结果. 2.【答案】20232025【解析】解：原式222223344520242025=++++××××11111111222223344520242025 =×−+×−+×−++×−11111111223344520242025 =×−+−+−++−11222025 =×−202324050=×20232025=. 故答案为：20232025.将112+改写为223×，1123++改写为234×， ，再利用裂项相消法即可解决问题.本题主要考查了数字变化的规律，能将112+改写为223×，1123++改写为234×， ，及熟知裂项相消法是解题的关键. 3.【答案】18【解析】解：构造图示的三个直角三角形，即Rt ABC △，Rt CDE △，Rt EFG △，满足AB a =，CD b =，EF c =，BC =，DE =，FG =则由勾股定理可知AC=AC =同理可得CE =，EG =，AC CE EG ++可知当A ，C ，E 四点共线时，AC CE EG ++最小，即为AG 长，当当A ，C ，E ，G 四点共线时6AO a b c =++=，OG =++=在Rt AOG △中18AG =.故答案为18.本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即Rt ABC △，Rt CDE △，Rt EFG △，则由勾股定理可知AC=AC =同理可得CE =，EG =，AC CE EG ++可知当A ，C ，E ，G 四点共线时，AC CE EG ++最小，即为AG 长，本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键. 4.【答案】1或7【解析】解：由题意，223y x x a =+−+的对称轴是直线212x =−=−， ∴当1x =−时，2y a =−.又当2x =−时，3y a =−，当1x =时，6ya =−，∴①当最大值为25a −=，7a ∴=或3a =−（不合题意）；②当最大值为35a −=，8a ∴=或2a =−，均不合题意；③当最大值为65a −=，11a ∴=（不合题意）或1a =.综上，1a =或7. 故答案为：1或7.依据题意，由223y x x a =+−+的对称轴是直线212x =−=−，结合当1x =−时，2y a =−，又当2x =−时，3y a =−，当1x =时，6ya =−，进而分类讨论即可判断得解. 本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. 5.【答案】90【解析】解：如图，以CD 为边作等边三角形CDO ，连接AO ，过点O 作OE CD ⊥于E ，2BD CD = ，∴设BD x =，则2CD x OD OC ===，30DAC ∠= ，60DOC ∠= ，∴点A 在以O 为半径，OC 为半径的圆上运动， ∴当AB 与圆O 相切时，ABD ∠有最大值，此时：90DAB BEO ∠∠==，ODC △是等边三角形，OE BC ⊥， DE CE x ∴==，2BE x ∴=， 2OA BE x ∴==，又OB BO = ，()Rt Rt ABO EOB HL ∴△≌△，AB OE ∴=，∴四边形AOEB 是平行四边形，又90DAB ∠=，∴四边形AOEB 是矩形，90ABD ∠∴= ，故答案为：90.由题意可得点A 在以O 为半径，OC 为半径的圆上运动，则当AB 与圆O 相切时，ABD ∠有最大值，由“HL ”可证Rt Rt ABO EOB △≌△，可得AB OE =，可证四边形AOEB 是矩形，可得90ABD ∠=，即可求解.本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A 的运动轨迹是解题的关键. 6.【答案】3【解析】解：如图，过T 作TM AB ⊥.延长DT 交AB 于E .AB CD ∥，B C ∠∠∴=，T 为线段BC 中点，12TB TC BC ∴===，在EBT △和DCT △中，B C TB TCETB DTC ∠∠∠∠== =，()EBT DCT ASA ∴△≌△，1TE TD ∴==，AE ∴=，ATE △面积1122AE TM AT TE =⋅=⋅，TM ∴AM ∴=，EM ==BM ∴=BE BM EM CD ∴=−==，AB AM BM =+=3AB CD ∴==. 故答案为：3.先画出图形，过T 作TM AB ⊥.延长DT 交AB 于E .由AB CD ∥，得B C ∠∠=，再证明EBT DCT △≌△，得1TETD ==，AE =，由ATE △面积1122AE TM AT TE =⋅=⋅，得TM =，AM =，EM =BM =，BE CD =，AB =，最后再计算即可. 本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键. 7.【答案】30【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，1AG BC FOGB CF OA⋅⋅=， 证明：过A 作AM CG ∥交BC 延长线于点M ， 则AG MC GB CB =，FO FCOA CM=，1AG BC FO MC BC GB CF OA CB CF ∴⋅⋅=⋅=；塞瓦定理：如图，1AG BF CEGB FC EA⋅⋅=， 证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在ABF △中，COG 是梅涅线，1AG BC FOGB CF OA ⋅⋅=① 在ACF △中，BOE 是梅涅线，1AE CB FO EC BF AO⋅⋅=②1AG BC FO EC BF AO AG BC FO GB CF OA AE CB FO GB CF OA∴=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=①②.根据梅涅劳斯定理，在BGE △中，COG 是梅涅线，1BG AC EOAG CE OB∴⋅⋅=， 91,22BO AE OE CE == ， 23,92EO AC OB CE ∴==， 3BGAG ∴=， 13AG BG ∴=， 根据塞瓦定理可得1AE CF BG EC FB GA⋅⋅=， 23CF FB ∴=， 99261111311OBC BCE BCE ABC S S S S ∴==×=△△△△，而1115GEF ABC AGE BGF CEF ABC S S S S S S =−−−==△△△△△，55ABC S ∴=△，63011OBC ABC S S ∴==△△. 故答案为：30.根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出13AG BG =和23CF FB =，从而得出611OBC ABC S S =△△，再利用15GEF ABC S S =△△即可得解.本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容. 8.【答案】118【解析】解：()22220a b a b ab −=+−≥ ，222a b ab ∴+≥，222x y xy ∴+≥，222x z xz +≥，222y z yz +≥， 222222222x y z xy xz yz ∴++≥++，即222118x y z xy xz yz ++≥++=， 故答案为：118.根据()22220a b a b ab −=+−≥，得出222a b ab +≥，从而得出结论.本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质. 9.【答案】12【解析】解：x 、y 、z 是大于的正整数，1x ∴，1y ，1z 是分数，1x y ∴+，1y z +，1z x+为假分数，111x y z y z x +++   为整数，且分子分母能互相约分，x y z ∴≠≠，①当2x =，3y =时，分子中定有7，∴分母中有7才能进行约分，∴当7z =时，111111237372x y z y z x   +++=+++       7221555372=××=，故符合题意，12x y z ∴++=，②3x =，4y =时，分子中定有13，∴分母中有13才能进行约分，∴当13z =时，11111134134133x y z y z x    +++=+++        1353404133=××不是整数，故不符合题意， ③4x =，5y =时，分子中定有21，∴分母中有21才能进行约分，∴当21z =时，11111145215214x y z y z x    +++=+++        21106855214=××不是整数，故不符合题意， 其余情况依次讨论均不符合题意故答案为：12.根据x 、y 、z 的条件和三个分数的乘积为整数，得出x 、y 、z 的值，进而求和.本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x 、y 、z 的值.10.【答案】【解析】解：连接OA ，OD ，OC ，作AF BD ⊥，设DF m =，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，30ABD ∠= ，260AOD ABD ∠∠∴ ，OA OD = ，AOD ∴△是等边三角形，60OAD ∠∴= ，AD OA =，AE ，CE 是O 的切线，90OAE ∠∴= ，90ECO ∠= ，AE CE =，150EAD OAE OAD ∠∠∠∴=+= ，180ABE ABD ∠∠+= ，150ABE ∠∴= ，ABE EAD ∠∠∴=，AEB DAE ∠∠= ，EAB EDA ∴△∽△，AE AB ED AD∴=，同理可证：EBC ECD △∽△， 得出：CE BC DE CD=，AB BC AD CD∴=，3AB = ，6BC =，2CD AD ∴=，CD ∴是直径，90CBD ∠∴= ，AF BD ⊥ ，3AB =，30ABD ∠= ，1.5AF ∴=，BF =，AD ∴=CD ∴222BD BC CD += ，2226m ∴++= ，m ∴BD ∴. 连接OA ，OD ，OC ，作AF BD ⊥，设DF m =，证AOD △是等边三角形，得出AD AO =，证EAB EDA △∽△，EBC ECD △∽△，得出2CD AD =，得出CD 是直径，再解直角三角形，求出m ，即可.本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识.作辅助线构造相似三角形是解题的关键.11.【答案】解：（1）如图1，CD AB ∥，理由如下： 由题意得，3,3k C ，,44k D ，4k BD ∴=，3k AC =，12344k k PD PB BD −∴=−=−=，12433k k PC PA AC −=−=−=，34PD PC ∴=， PD PB PC PA ∴=，P P ∠∠= ，PCD PAB ∴△∽△，PDC PBA ∠∠∴=，CD AB ∴∥；（2）如图2，图2作DG OA ⊥于G ，12AOC DOG S S k == △△，()COD AOC DOG AOC AOCD ACDG ACDG S S S S S S S ∴=−=+−=△△△△四边形梯形梯形，()1 4.52AC DG PD ∴+⋅=，43934k k ∴+⋅−=，16k ∴=，26k =−（舍去），6k ∴=；（3）如图2，取点()3,0A ′−，()0,4B ′−，则直线A B ′′与直线AB 关于O 对称，连接EO ，并延长交A B ′′于H ，连接FH ，则OE OH =，M 是EF 的中点，12OM FH ∴=， ∴当FH 最小时，OM 最小，作直线QH AB ∥，交y 轴与Q ，且使QR 与双曲线6y x=在第一象限的图象相切，切点为F ′，作B R QR ′⊥于R ，作F T ′，则FH 的最小值是F T ′的长，直线AB 的解析式为：443y x =−+，∴设直线QR 的解析式为：43y x m =−+， 由463x m x−+=整理得，243180x mx −+=，()2344180m ∴=−−××=△，1m ∴，2m =−（舍去），OQ ∴，4QB ∴′=， 90AOB ∠= ，3OA =，4OB =，5AB ∴=，4sin sin 5OB RQB ABO AB ∠∠=′∴==，sin F H B R BQ RQB ∠∴′==⋅′′，12OM F H ′∴=最小【解析】（1）可表示出3,3k C ，,44k D ，从而得出4k BD =，3k AC =，进而表示出PD 和PC ，进而得出PD PB PC PA=，进而证得PCD PAB △∽△，从而PDC PBA ∠∠=，从而得出CD AB ∥；（2）作DG OA ⊥于G ，可推出COD ACDG S S =△梯形，从而()1 4.52AC DG PD +⋅=，进一步得出结果；（3）取点()3,0A ′−，()0,4B ′−，则直线A B ′′与直线AB 关于O 对称，连接EO ，并延长交A B ′′于H ，连接FH ，则OE OH =，可得出当FH 最小时，OM 最小，作直线QH AB ∥，交y 轴与Q ，且使QR 与双曲线6y x=在第一象限的图象相切，切点为F ′，作B R QR ′⊥于R ，作F T ′，则FH 的最小值是F T ′的长，可设直线QR 的解析式为：43y x m =−+，由463x m x −+=整理得，243180x mx −+=，从而得出()(2344180m =−−××=△，求得m 的值，进一步得出结果.本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线.12.【答案】解：（1）根据题意，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，延长BO 交圆于点F ，延长BD 交AC 于点M ，连接OC ，CD ，AF ，FC ，BF 是直径，FA AB ∴⊥，FC BC ⊥，D 为垂心，BD AC ∴⊥，CD AB ⊥，AD BC ⊥，FA CD ∴∥，FC AD ∥，AFCD ∴是平行四边形，AF CD ∴=，60BAC ∠= ，OB OC =，30OBC OCB ∠∠∴== ，12OH OB ∴=，设半径为r ，BM =，BC ∴， 又12OH CF = ， 2AD OH ∴=；（2）D 为垂心，BD AC ∴⊥，CD AB ⊥，AD BC ⊥，30ACD ∠∴= ，60CDM ∠∴=， 120BDC ∠∴=， 120BOC ∠= ，30OBC OCB ∠∠==， B ∴、C 、D 、O 四点共圆；（3）设DE x =，22BE CE == ，1CE ∴=，在直角BFC △中，30OBC ∠= ，3BC =，222BFFC BC =+，CF ∴BF =，AD ∴，在直角ABE △中，222AB AE BE =+，即：(2222AB x =++，在直角CDE △中，222CD DE CE =+，即：2221CD x =+， CD AF = ，221AF x ∴=+，在ABF △中，222BF AF AB =+，即：(()(222212x x =++++ ，220x ∴+−=，x ∴x =（舍去），DE ∴【解析】（1）由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为60 ，得到圆心角的度数，得到AFCD 是平行四边形，从而得到结果；（2）先求出120BDC ∠= ，再结合120BOC ∠= ，30OBC OCB ∠∠== ，得到四点共圆；（3）设DE x =，用x 表示出ABF △的各边，利用勾股定理222BF AF AB =+，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果.本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆.。

2020-2021学年浙江省宁波市镇海区骆驼中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题）1．下列事件中，属于必然事件的是（）A．2020年的元旦是晴天B．太阳从东边升起C．打开电视正在播放新闻联播D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球2．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）3．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个4．已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定5．圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为（）A．6B．9C．18D．366．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．如图，A、B是两座灯塔，在弓形AmB内有暗礁，游艇C在附近海面游弋，且∠AOB＝80°，要使游艇C不驶入暗礁区，则航行中应保持∠ACB（）A．小于40°B．大于40°C．小于80°D．大于80°8．在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（）A．1：2：3：4B．4：2：1：3C．4：2：3：1D．1：3：2：4 9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．7C．7D．二、填空题（本大题有6小题）11．在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是．12．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为．13．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm．14．如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB＝．15．如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC＝8cm，DE ＝2cm，则AD的长为cm．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD ＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．三、解答题（本大题有8小题）17．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．18．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．19．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（1）画出△A1B1C；（2）求在旋转过程中，CA所扫过的面积．20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．21．如图，已知直线y＝﹣2x+3与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求点A和B的坐标；（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．22．浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）每月销售260件，则每件利润是多少？（2）如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？（3）设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？23．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O．（1）连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为．（2）在（1）的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若＝，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+PA．参考答案一、选择题（本大题有10小题）1．下列事件中，属于必然事件的是（）A．2020年的元旦是晴天B．太阳从东边升起C．打开电视正在播放新闻联播D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．解：A.2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故本选项不合题意；B．太阳从东边升起，属于必然事件，故本选项符合题意；C．打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故本选项不合题意；D．在一个没有红球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故本选项不合题意；故选：B．2．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．3．在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.35，然后根据概率公式计算即可．解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：＝0.35，解得：x＝14，即布袋中黄球可能有14个，故选：B．4．已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O外C．点A在⊙O上D．无法确定【分析】点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．据此作答．解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为3cm，即点A到圆心的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：A．5．圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为（）A．6B．9C．18D．36【分析】根据弧长的公式l＝进行计算．解：设该扇形的半径是r．根据弧长的公式l＝，得到：12π＝，解得r＝18，故选：C．6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．解：由题意知△ABC≌△DEC，则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝＝＝75°，故选：D．7．如图，A、B是两座灯塔，在弓形AmB内有暗礁，游艇C在附近海面游弋，且∠AOB＝80°，要使游艇C不驶入暗礁区，则航行中应保持∠ACB（）A．小于40°B．大于40°C．小于80°D．大于80°【分析】先根据圆周角定理求出点C在弧上时的圆周角度数，再根据三角形外角性质只要小于圆周角即可．解：若点C在弧AmB上，根据圆周角定理得∠ACB＝40°，要使游艇C不驶入暗礁区，则航行中应保持在圆外，根据三角形的外角的性质知必须小于40°．故选：A．8．在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（）A．1：2：3：4B．4：2：1：3C．4：2：3：1D．1：3：2：4【分析】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴负半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误；②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；③由x＝1时对应的函数值y＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，x＝﹣1时，y＞0，可得出a﹣b+c＞0，得到|a+c|＜|b|，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，选项③正确；④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确．解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，①错误；②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b，当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，∴|a+c|＜|b|∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，∴a+b+c≤am2+mb+c，即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选：C．10．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．7C．7D．【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，∴AD的最大值为，故选：D．二、填空题（本大题有6小题）11．在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：根据题意可得：一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球，共12个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率＝．故答案为：．12．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为y3＜y1＜y2．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣2＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．13．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为8mm．【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm，在Rt△AOD中，∵AD＝＝＝4mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．故答案为：8．14．如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB＝100°．【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，由圆内接四边形的性质求出∠ADB＝50°，根据圆周角定理即可得出结论．解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，如图所示：∵∠ACB＝130°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ADB＝100°．故答案为：100°．15．如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC＝8cm，DE ＝2cm，则AD的长为cm．【分析】连接AC，把AD化到直角三角形中运用勾股定理求解．解：连接AC，则∠ACB＝90°．∵E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥CD，CD＝BD＝BC＝×8＝4cm．设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣2，OB＝r．故OB2＝OD2+BD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．故AB＝2r＝2×5＝10cm．在Rt△ABC中，AC＝＝＝6cm．在Rt△ADC中，AC＝6cm，CD＝4cm，故AD＝＝＝2（cm）．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD ＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．∵AB⊥CH，∴EC＝EH，∵CF＝FD，∴EF＝DH，∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°，∴CH＝＝＝，∴CE＝，∴EF最大时，EC的长为，故答案为．三、解答题（本大题有8小题）17．已知二次函数y＝ax2+2x的图象过点（﹣2，﹣1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断点（﹣1，﹣）是否在抛物线上．【分析】（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x，求出a的值，即可确定函数的关系式，（2）代入验证即可，当点的坐标满足关系式时，此点在函数的图象上，否则就不在函数的图象上．解：（1）把点（﹣2，﹣1）代入二次函数y＝ax2+2x得，﹣1＝4a﹣4，解得，a＝，∴二次函数的关系式为y＝x2+2x；（2）当x＝﹣1时，y＝×1+2×（﹣1）＝﹣≠﹣，∴点（﹣1，﹣）不在抛物线上．18．箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果；（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为＝．19．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．（2）求在旋转过程中，CA所扫过的面积．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用扇形的面积公式计算即可．解：（1）则△A1B1C为所求作的图形．（2）∵AC＝，∠ACA1＝90°，∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为：S扇形CAA1＝．20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．【分析】（1）利用垂径定理得到＝，则根据圆周角定理得到∠ACD＝∠B，加上∠B＝∠BCO，从而得到∠BCO＝∠ACD；（2）先计算出OA＝10，OE＝6，再利用勾股定理计算出CE＝8，然后利用垂径定理得到CE＝DE，从而可求出CD的长．∴＝，∴∠ACD＝∠B，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∴∠BCO＝∠ACD；（2）∵AE＝4，BE＝16，∴OA＝10，OE＝6，在Rt△OCE中，CE＝＝8，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2CE＝16，答：弦CD的长为16cm．21．如图，已知直线y＝﹣2x+3与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求点A和B的坐标；（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．【分析】（1）由直线y＝﹣2x+3与抛物线y＝x2相交联立方程，解方程即可求得A、B 两点坐标；（2）由A、B两点向x轴作垂线，利用梯形及三角形面积计算方法即可解答．解：（1）如图，直线y＝﹣2x+3与抛物线y＝x2相交，即x2＝﹣2x+3，解得x1＝1，x2＝﹣3，因此交点坐标为A为（1，1），B为（﹣3，9）；（2）作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB＝S梯形AA1B1B﹣S△AA1O﹣S△BB1O，＝×（1+9）×（1+3）﹣×1×1﹣×9×3，＝6．22．浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）每月销售260件，则每件利润是多少？（2）如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？（3）设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？【分析】（1）由题意得，y＝260，进而得出x的值，即可得出答案；（2）利用利润＝销量×每件利润＝2160，进而解方程得出答案；（3）首先得出二次函数解析式，进而根据二次函数最值求法得出答案．解：（1）令y＝260，则260＝﹣10x+500，解得：x＝24，所以每件利润是24﹣20＝4（元）；（2）由题意可得：（﹣10x+500）（x﹣20）＝2160，﹣10x2+700x﹣10000＝2160，解得：x1＝32，x2＝38，当x1＝32时，y＝﹣10×32+500＝180，成本为：180×20＝3600（元），当x2＝38时，y＝﹣10×38+500＝120，成本为：120×20＝2400（元），∴专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为38元；（3）由题意可得：w＝（x﹣20）•y＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝35时，w最大＝2250（元），∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元．23．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，得到∠E＝∠ABD，根据圆周角定理证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；（2）∵∠ACB＝∠ABC，∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，又∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠AEB．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O．（1）连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为等边三角形．（2）在（1）的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若＝，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+PA．【分析】（1）利用圆周角定理证明三个内角等于60°即可．（2）结论：AC＝AB+AD．在AC上截取AE＝AD，连接DE．证明△ADB≌△EDC即可．（3）如图2中，在PD上取DE＝BP．证明四边形ABCD是正方形，△DAE≌△BAP（SAS）即可解决问题．解：（1）如图1中，∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形．故答案为等边三角形．（2）结论：AC＝AB+AD．理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE．∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC，∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC（SAS），∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB．（4）如图2中，在PD上取DE＝BP，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵＝，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP（SAS），∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠PAE＝∠BAD＝90°，∴PE＝PA，∴PD﹣PB＝PD＝DE＝PE＝PA．。

高三数学总复习讲义--概率第一讲：随机事件的概率随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

必然事件：在一定条件必然要发生的事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

事件A的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。

由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。

如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。

在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：（古典概型）这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。

题型一：与排列组合综合例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。

题型二：与两个计数原理综合例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是大于20000的偶数的概率是________________；题型三：有、无放回抽样问题例3.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有1件次品的概率。