《一元二次方程的应用》教学设计合肥市第三十八学徐晶第1课时：行程问题及几何问题教材分析:本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。
但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。
因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。
显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。
教学目标：【知识与技能】通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
【过程与方法】1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；【情感态度与价值观】在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。
教学重难点：【教学重点】重点：掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.【教学难点】难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．课前准备：多媒体教学过程：一、复习引入问题：如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？【设计意图】用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。
二、讲授新课活动1：典例精析例1 ：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile处有一目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1)小岛D与小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？【设计意图】该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。
24.4 第1课时面积问题教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1． 重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2． 难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2， 上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2， 渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm，则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m.依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6，整理，得：5x2+6x-8=0.解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）.∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048=25天.答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7， 由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm ， 则左、右边衬的宽均为7xcm ，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x ）cm ，宽为（21-14x ）cm ． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的34． 所以（27-18x ）（21-14x ）=34×27×21，整理，得：16x 2-48x+9=0. 解方程，得：，即 x 1≈2.8，x 2≈0.2. 所以：9x 1=25.2cm （舍去），9x 2=1.8cm ，7x 2=1.4cm.因此，上下边衬的宽均为1.8cm ，左、右边衬的宽均为1.4cm ．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展 例3．如图（a ）、（b ）所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过几秒钟，使S PBQ =8cm 2．（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 后又继续在BC 边上前进，Q 到C 后又继续在CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．（友情提示：过点Q 作DQ ⊥CB ，垂足为D ，则：DQ CQAB AC=） 分析：（1）设经过xs ，使S PBQ =8cm 2，那么AP=x ，PB=6-x ，QB=2x ，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过ys ，这里的y>6使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．因为AB=6，BC=8，由勾股九 年级 练数 学 习同步(a)BACQ P (b)B A CQD P定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：12（6-x）·2x=8，整理，得：x2-6x+8=0.解得：x1=2，x2=4.∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P 到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有DQ CQ AB AC=.∵AB=6，BC=8，∴由勾股定理，得：=10.∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=.则：12（14-y）·6(4)5y-=12.6，整理，得：y2-18y+77=0.解得：y1=7，y2=11.即经过7s，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ= 2y-8=6），使△PCD的面积为12.6c m2．经过11s，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P48 习题．2．《学练优》或《新领程》课时作业.一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A B．5 C D．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块的宽的3倍，宽比第一块的长少2m，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，则这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长27m，宽16mB．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长18m，宽10mC．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7mD．以上都不对3．从正方形铁片上，延边截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8c m2D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．3．如图是某长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：1，迎水坡度为1：2，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为4500m 3，问水坝的高应是多少?（说明： 背水坡度CF BF =12，迎水坡度11DE AE ）（精确到0.1m ）2．在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m 2 的长方形花坛，要使花坛四周空地的宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图，有矩形地ABCD 一块，要在中央修一矩形花圃EFGH ，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:C一、1．B 2．B 3．D二、1．和2．32cm3．20m 和7.5m 或15m 和10m 三、1．设水坝的高DE=xm ，则AE=xm ，BF=2xm ，AB=(3+3x)m.依题意，得：12（3+3+3x ）x ×30=4500， 整理，得：x 2+2x -100=0.解得≈9.0.故水坝的高约为9.0m. 2．设宽为xm ，依题意，得：(12-2x)(8-2x)=8，整理，得：x 2-10x+22=0.解得：x 1（舍去），x 2=5.故所求宽度为(5)m. 3．设道路的宽为x ，AB=a ，AD=b. 依题意，得：（a -2x ）（b -2x ）=12ab.解得：x=14[（a+b ）量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线，得L= AB+AD -BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽4AB AD BD +-．11.1图形的平移教学目标【知识与能力】通过生活实例认识图形的平移，会识别平移的对应点、对应角、对应线段。
专题：一元二方程的有关应用1．考点分析一元二次方程的应用是中考命题的热点，命题形式比较灵活，既可单独成题，又可综合函数来命题，本节考查的主要知识点包括增长率、利润等问题，这些与经济有关的应用题是近几年各地中考的热点，题型包括填空题、选择题、解答题，解答题中，许多题目与函数相关，综合性较高，应用题主要考查收集和处理信息的能力、分析和解决问题的能力及创新实践能力2．典例剖析例1．（2007年安徽省））据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）分析：本题属于平均增长率问题，可设每年产出的农作物秸杆总量为a，平均增长率为x，那么增长1次后的总量为30%a（1+x），增长1次后的总量为30%a（1+x）2，再根据题意就很容易列出方程了解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1+x）2=60%a，即（1+x）2=2．∴x1≈0.41，x2≈－2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41．即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%．点评：对于增长率问题，我们可选用公式：a（1+x）n=b，其中a是增长前的基数，b是增长后的数量，n是增长的次数，x当然就是增长率，当然具体问题还是要具体分析，否则会不合题意出现错误！例2．（2007南充）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图1①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图1②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．分析：只要理解题意，根据等量关系，列出方程即可．解：设金色纸边的宽为x 分米，根据题意，得：（2x +6）（2x +8）＝80． 解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）．答：金色纸边的宽为1分米．点评：本题是一道一元二次方程的实际应用问题，只要注意列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答等步骤，同时第（2）又是一个小探究说理题，只要利用根的判别式问题是不难解决的．专练：1．（2007台州）据2007年5月8日《台州晚报》报导，今年“五一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市2005年“五一”黄金周旅游总收入约6．25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ）A ．12%B ．16%C ．20%D ．25%2．（2007安徽）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．≈1.41）3．（2007宜宾）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0．2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？图1（2） 图1（1）4．桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．5．某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的20%，如果第一天的销售收入4万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1．25万元，（1）求第三天的销售收入是多少万元？（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？6．为了把一个长100m宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000 m2？如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由．7．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税．8．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个10，针对这种水产品的销售情况，月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少kg超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？参考答案：1．C；2．解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1+x）2=60%a，即（1+x）2=2，∴x1≈0.41，x2≈－2.41（不合题意舍去）．∴x ≈0.41，即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%．3．由题意得：40（1－x ）2=32.4，解得：x 1=0.1，x 2=1.9（舍去）；4．解：设台布各边下垂相同宽度为x 米，由题意得：)24)(26(462x x ++=⨯⨯ 解之得：61-=x （不符题意，舍去），所以1=x ，答：台布的长是8米和宽是6米5．（1）6.25 （2）25%6．（1）长增加100米，宽增加40米或长不增加，只把原来的宽增加140米；长增加50米，宽增加90米；不能．7．解：（1）设降低的百分率为x ，由题意得：16)1(252=+x ，∴541±=+x ∴541±-=x ，∴%202.01-=-=x ，%1808.12-=-=x （不符题意，舍去） ∴降低的百分率为%20（2）104)2.01(25=⨯-⨯（元），151025=-（元），∴60415=⨯（元）（3）略8、解：售价x 元，8000]10)50(500)[40(=⋅---x x ，=+-48001402x x 0， 0)80)(60(=--x x ，80,6021==x x ，当60=x 时，销售量为：kg 400成本：16000元>10000元（不合题意，舍），80=x 时，销售量为：kg 200，成本为8000元；答：定价为80元．。
