力学的变分原理复习进程

比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严 格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。
不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身 只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝 尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则 称为积分原理（如机械能守恒原理）。
力学的变分原理
人们为了追求自然规律的统一、和谐，按照科学的审美观点，总 是力图用尽可能少的原理（公理）去概况尽可能多的规律。
力学原理是指不需要经过证明而在实践基础上靠归纳得到的力学 的最基本、最普遍的规律。原理的正确性和适用范围是由通过它 导出的定理、方程及其解与实践的比较来证实的。力学原理是构 成力学理论体系的基础与核心。
（2）泛函的概念
给定一个由任何对象组成的集合 D ，这里所说的任何对象可以是
数、数组、几何图形，也可以是函数或某系统的运动状态等。设
集合 D 中的元素用 x ห้องสมุดไป่ตู้示，如果对于集合中的每一个元素 x
对应一个数 y ，则称 y 是 x 的泛函，记作 y F (x) 。有时
泛函可以看做函数，函数也可以看做泛函。
如果 0 ，即得函数q(t) ；如果取
其他值，即得一些与q(t) 非常相近的
, q=q(t)+εη(t)
p δq dq q=q(t)
p dt
函数。因此上式表示的是一族依赖于 o
参数 的函数q%(t) ，相应的是一族非常
t t+dt
t
接近的曲线。式中，(t) 是t的连续可微函数。
在瞬时t，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主
dq称为函数的微分，记为
dq q '(t)dt
(1)
或:
dq
q' (t)
o
dt
, q=q(t)+εη(t)
p δq dq q=q(t)
p dt t
t t+dt
如果自变量t保持不变，而函数q=q(t)本身形式发生微小变 化，则得另一条曲线 q%(t)，如图中虚线所示，显然这种曲线有 无数条。令
q%(t) q(,t) q(t) (t) (2) q 式中 是一个参数，为无穷小量。
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
p dt t
t t+dt
变分的运算法则：
由于函数取等时变分时，自变量t保持不变，变分运算与 时间无关，则 (a)任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以交换：即
( dq) d (q)
dt dt
(b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分 的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。
哈密顿原理是分析力学的基本原理。它潜藏着经典力学的全部内 容并把这门学科的所有命题统一起来。也就是说，由它出发，也 可得到经典力学的整个框架。
变分原理的思想，不仅在力学中，而且在物理学科的其他领域中 ，都具有重要的意义和应用价值。 力学的变分原理是变分法在力学中的应用。先介绍泛函和变分法 的基本知识。
1.泛函的概念
变分法简介
（1）函数的概念
设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对D 中的每一 个数 x ，变量 y 按确定关系总有一个确定的数值与之对应，则称
y 是 x 的函数，记作 y f (x) ， x 称为自变量， y 称为 因
变量。对于多元函数，记作 y f (x1, x2 , , xn ) 。
t2 qdt t2 qdt
t1
t1
总之，变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分
的变分。
（3）变分法
设泛函J 为定积分
,
M (q j+δqj,t ) δq j
B
J = t2 F (q, q&, t)dt t1
如何求泛函的极值？先介绍变分的概念。
（2）变分的概念
变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。我们这 里主要介绍等时变分。
设集合D中的元素是表示某一力学系统运动的函数q q(t),
其中t为自变量，q为力学系统的广义坐标，此函数关系
如图中曲线所示。当自变量
t有微小增量dt时，对应的
q
函数q的微小增量的线性主部
而变分原理则不同。它提供一种准则，根据这种准则，可以把力 学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别 开来，从而确定系统的真实运动。 如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理 （如虚位移原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和 约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则。动力学普遍方程也是 微分变分原理）。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原 理称为积分变分原理（哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理）
函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数 的一一对应的关系。函数概念可作为泛函概念的特殊情况。
2.变分法简介
（1）变分法的研究对象 变分法是研究求泛函的极值的方法。凡有关求泛函极值的问题都 称作变分问题。
最速落径问题
铅直平面内在所有联结二个定点 A 和 B o A
x
的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为
零的质点，在重力作用下，自 A 点沿它无摩
擦地下滑时，以最短时间到达 B 点。
解：这是泛函极值问题。
B
Q 速度 v 与坐标 y(x) 的关系 : v 2gy , y
而 v ds
(dx)2 (dy)2
1 y '2 dx,
dt
dt
dt
最速落径问题
ds (dx)2 (dy)2
v
dt
dt
oA x
1 y '2
dx
dt
质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为
T
xB dt
xB
1 y '2 dx
xA
xA 2gy
y
B
上式中，时间t是用定积分（函数的集合）来表示的，这种
关系即泛函，其数值取决于式中未知函数y f (x)和y f (x)。
显然求此泛函的极小值就是求所用的最小时间t，也就是求出
函数y f (x)中的哪个函数表示的曲线是最速降线。
部 q 称为函数的变分：
q q% q (t)
(3)
由于是在瞬时t，不考虑时间t的变化，这种变分称为等时
变分。图中的 q和dq 表示了函数的变分与微分的区别。
变分与微分的区别
变分：自变量不变，仅由于函数本身形式
的微小改变而得到的函数的改变；
微分：由于自变量的
q
微增量而引起 的函数的微增 量。
o