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弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

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标准 文案 【2-9】【解答】图2-17： 上（y=0） 左(x=0) 右（x=b） l 0 -1 1

m -1 0 0

 xfs 0

1gyh 

1gyh

 yfs

1gh

0 0

代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件： 100(),0;xxyxxgyh1bb(),0;xxyxx

gyh

②在小边界0y上，能精确满足下列应力边界条件：00,0yxyyygh ③在小边界2yh上，能精确满足下列位移边界条件：220,0yhyhuv 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：

10,,0sNFFghbM

由于2yh为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： 

2

22

100000byyhbyyhbxyyhdxghbxdxdx













 ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l m xf(s)

y

f(s)

2hy 0 -1 0

q

2hy 0 1 -1q 0

-/2()yyhq，-/2()0yxyh，/2()0yyh，/21()yxyhq ②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力标准 文案 与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()hxyxShhxxNhhxxhdxFdxFydxM ③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件0,0lxlxvu这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

110,xNNNNFFFqlFqlF

0,0ySSSSFFFqlFqlF 221

1110,'02222ASS

qlhql

MMMFlqlqlhMMFl

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故 /21/22/21/2/2/2()()22()hxxlNNhhxxlShhxyxlSShdyFqlFqlhqlydyMMFldyFqlF















 【2-10】【解答】由于hl?，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

(a)上端面OA面上面力qbxffyx,0 由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有 



0000200000022120bbbyyybbbyyybyxyxqbdxfdxqdxbxbqbxdxfxdxqxdxbdx













(对OA中点取矩)

(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则



00200002120byNybyybxyyqbdxFqbxdxMdx













MNFSF标准

文案 综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。 【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0xyff

0yxxxy



0yxyyx

 显然满足

（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有 等式左=2222xyxy=220qb=右 应力分量不满足相容方程。 因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式 在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对中性

轴（Z轴）的惯性矩312hI，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

23(),62qqxMxxFx

ll。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

3

32xMxxyyqIlh

22

22

23

3431.424sxyFxyqx

hy

bhhlh

。

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。 0yxyyx



得： 333.22yqxyxyqAlhlh

根据边界条件/20yyh得 q.2xAl故333.2.22yqxyxyqxqlhlhl 将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：

22336.60xyxyqqlhlh左右 满足

第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）

22223312.12.0左右xyxyxyqqxylhlh

应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。 标准 文案 【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()MxFx，横截面对中性轴的惯性矩为3/12zIh，根据材料力学公式

弯应力3()12xzMxFyxyIh；该截面上的剪力为sFxF，剪应力为 *2

2

33

()/262241/12sxyzFxSFhhyFhybyybIhh











取挤压应力0y（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：2312120FFyyhh左右 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。 （3）将应力分量代入应力表示的相容方程

2()0xy左右

满足相容方程

（4）考察边界条件 ①在主要边界/2yh上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l m xf

yf

2hy上 0 -1 0 0

2hy上 0 1 0 0

代入公式（2-15），得 -/2/2/2/20,0;0,0yxyyyxyhyhyhyh

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩 /20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4hxxhhxxhhhxyxhhdyxydyFhdyydyFyh





向面力主矢

面力主矩向面力主矢 满足应力边界条件 ③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、

主矩，0,,NSFFFMFl 其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效： /2/23/2/212()0hhxxlNhhFdylydyFh



MNFSF

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杨桂通《弹性力学简明》课后习题提示和参考答案

杨桂通《弹性力学简明》课后习题提示和参考答案

《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章 习题的提示与答案2－1 是 2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。

第三章 习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在 边界上无剪切面力作用。

《弹性力学简明》习题提示和参考答案

《弹性力学简明》习题提示和参考答案

题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解

弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解

第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。

如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角α0max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。

最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成π4方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。

这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。

由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中α为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在ρ=α处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当φ=0，π时，孔边最小正应力为(σφ)min=−4q ，当φ=±π2时，孔边最大正应力为(σφ)max=4q 。

分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。

也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

弹性力学简明习题提示与参考答案

弹性力学简明习题提示与参考答案

题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。