离散数学期末试题

1 离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）求(PQ)(P∧(Q∨R))的主析取范式 解：(PQ)(P∧(Q∨R))(( P∨Q))∨(P∧Q∧R)) (P∨Q)∨(P∧Q∧R)) (P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R) (P∨Q)∧(P∨Q∨R) (P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) 0M∧1M 2m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：P∧Q 乙：Q∧P 丙：Q∧R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有Q∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((P∧Q)∧((Q∧R)∨(Q∧R)))∨((Q∧P)∧(Q∧R)) (P∧Q∧Q∧R)∨(P∧Q∧Q∧R)∨(Q∧P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) P∧Q∧R T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr(R)是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R是非空集合A上的二元关系，则tsr(R)是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r(R)'R。则 2

sr(R)s('R)＝'R，进而有tsr(R)t('R)＝'R。 综上可知，tsr(R)是包含R的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A＝{a，b，c，d，e}上的二元关系R为R＝{，，，，，，，，，，，，，}， (1)写出R的关系矩阵。 (2)判断R是不是偏序关系，为什么？ 解 (1) R的关系矩阵为：





1000011000101001011011111)(RM

(2)由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R是自反的；ijr＋jir≤1，故R是反对称的；可计算对应的关系矩阵为：

)(1000011000101001011011111)(2RMRM 由以上矩阵可知R是传递的。 五、（10分）设A、B、C和D为任意集合，证明(A－B)×C＝(A×C)－(B×C)。 证明：因为 ∈(A－B)×Cx∈(A－B)∧y∈C (x∈A∧xB)∧y∈C (x∈A∧y∈C∧xB)∨(x∈A∧y∈C∧yC) (x∈A∧y∈C)∧(xB∨yC) (x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈C) ∈(A×C)∧(B×C) ∈(A×C)－(B×C) 所以，(A－B)×C＝(A×C－B×C)。 六、（10分）设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1。 解 因IA恒等函数，由hgf＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fhg＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gfh＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。 由hgf＝IA，得f－1＝hg；由fhg＝IB，得g－1＝fh；由gfh＝IC，得h－1＝gf。 3

七、（15分）设是一代数系统，运算*满足交换律和结合律，且a*x＝a*yx＝y，证明：若G有限，则G是一群。 证明 因G有限，不妨设G＝{1a，2a，…，na}。由a*x＝a*yx＝y得，若x≠y，则a*x≠a*y。于是可证，对任意的a∈G，有aG＝G。又因为运算*满足交换律，所以aG＝G＝Ga。令e∈G使得a*e＝a。对任意的b∈G，令c*a＝b，则b*e＝(c*a)*e＝c*(a*e)＝c*a＝b，再由运算*满足交换律得e*b＝b，所以e是关于运算*的幺元。对任意a∈G，由aG＝G可知，存在b∈G使得a*b＝e，再由运算*满足交换律得b*a＝e，所以b是a的逆元。由a的任意性知，G中每个元素都存在逆元。故G是一群。 八、（20分）（1）证明在n个结点的连通图G中，至少有n－1条边。 证明 不妨设G是无向连通图（若G为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图）。 设G中结点为1v、2v、…、nv。由连通性，必存在与1v相邻的结点，不妨设它为2v（否则可重新编号），连接1v和2v，得边1e，还是由连通性，在3v、4v、…、nv中必存在与1v或2v相邻的结点，不妨设为3v，将其连接得边2e，续行此法，nv必与1v、2v、…、1nv中的某个结点相邻，得新边1ne，由此可见G中至少有n－1条边。 （2）给定简单无向图G＝，且|V|＝m，|E|＝n。试证：若n≥21mC＋2，则G是哈密尔顿图。 证明 若n≥21mC＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。 若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)＋d(v)＜m，则有2n＝Vwwd)(＜m＋(m－2)(m－3)＋m＝m2－3m＋6，与（1）矛盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)＋d(v)≥m。由定理10.26可知，G是哈密尔顿图。 4

离散数考试试题（B卷及答案） 一、（10分）使用将命题公式化为主范式的方法，证明(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。 证明：因为(PQ)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q) (QP)∧(P∨Q)(Q∨P)∧(P∨Q) (P∧Q)∨(Q∧Q)∨(P∧P) ∨(P∧Q) (P∧Q)∨P (P∧Q)∨(P∧(Q∨Q)) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q) 所以，(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。 二、（10分）证明下述推理： 如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，则D不愉快。 解 设A：A努力工作；B、C、D分别表示B、C、D愉快；则推理化形式为： AB∨C，BA，DCAD (1)A 附加前提 (2)AB∨C P (3)B∨C T(1)(2)，I (4)BA P (5)AB T(4)，E (6)B T(1)(5)，I (7)C T(3)(6)，I (8)DC P (9)D T(7)(8)，I (10)AD CP 三、（10分）证明xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))。 xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y)) x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y)) 四、（10分）设A＝{，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)B。 解 P(A)＝{，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}} 5

P(B)B＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}＝{，0，{{0}}，{0，{0}} 五、（15分）设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R的关系图。 (2)写出R的关系矩阵。 (3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。 解 (1)R的关系图如图所示： (2) R的关系矩阵为：





0111011100000111)(RM

(3)对于R的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R不是自反的；由于对角线上存在非0元，R不是反自反的；由于矩阵不对称，R不是对称的； 经过计算可得

)(0111011100000111)(2RMRM，所以R是传递的。

六、（15分）设函数f：R×RR×R，f定义为：f()＝。 (1)证明f是单射。 (2)证明f是满射。 (3)求逆函数f－1。 (4)求复合函数f－1f和ff。

证明 (1)对任意的x，y，x1，y1∈R，若f()＝f()，则＝，x＋y＝x1＋y1，x－y＝x1－y1，从而x＝x1，y＝y1，故f是单射。

(2)对任意的∈R×R，令x＝2wu，y＝2wu，则f()＝<2wu＋2wu，2wu－

2wu>＝，所以f是满射。

(3)f－1()＝<2wu，2wu>。 (4)f－1f()＝f－1(f())＝f－1()＝<2yxyx，2)(yxyx>＝ ff()＝f(f())＝f()＝＝<2x，2y>。 七、（15分）给定群，若对G中任意元a和b，有a3*b3＝(a*b)3，a4*b4＝(a*b)4，a5*b5＝(a*b)5，