函数的基本性质【教学目标】
【教学重点】
函数的基本性质及应用
【教学难点】
函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。
【教学过程】：
一.知识整理
1. 基本思想
(1)函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，
大多可用函数的观点来解决。
(2)研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质(以图象说明性质) 。
2. 主要问题：
(1)函数图象的基本作法： a.分段b.平移c.对称d.伸缩
(2)函数单调性的求法： a.图象b.单调运算c.复合函数d.定义
(3)函数最值(或范围)的求法： a.图象b.单调性c.不等式d.复合函数e.换元
f.数形结合
(4)反函数求法：①解出x =© (y)，②调换x,y,③写出反函数定义域
3. 函数的基本性质
函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f, y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x), x€ D, x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的相等：定义域相同，对应法则相同
函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y =f (x), x€ D}
a. 定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合
b. 值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合
c. 奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(- a)= f(a)，则称函数
f(x)为偶函数；
如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(- a)=- f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；
判断准则：1•定义域关于原点对称，2.f(X)f(x)；奇
f ( x) f (x);偶
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称
d. 单调性：存在定义域的子集M，对于M内的任意两个值x1 ,x2,当x1 x2时，总有
f(xj f(x2)(或f(xj f (x2))成立，则称函数f(x)在集合M上单调递增
(或递减)。
e. 最值：定义域内的函数值的最大(小)值。亦即函数图象上最高(低)点的纵坐标。
f. 周期性：对于函数y=f(x),若存在一个常数T 0，使得当x取定义域内的每一个值时,
都有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，常数T叫做f(x)的周期。
4. 基本函数：常数函数；正比例函数；反比例函；数一次函数；二次函数;
5. 函数构成
在基本函数的基础上:
(b)复合：y = f(g(x))
b y ax —
x
(a)运算：以和、差、商、积函数为代表，如:
b y ax —
x
:■•例题精析
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，易，逻辑思维能力。
力。
设a 为实数，函数f(x) 2x 2 (x a) |x a|.
(1)若f (0) 1，求a 的取值范围;
⑵求f (x)的最小值;
【解答】 【题目】函数f(x)
log 5(2x 1)的单调增区间是 【解答】答案为
1 1
T 。由
2x10
，得x 2，所以函数的单调增区间是
1 2’
。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例
函数、指数函数、对数函数和幕函数。
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的单调性，填空题，中，分析问题与解决问题
能力。
2
【题目】已知函数f(x) x ，
(x 1)3
,x
2
，若关于x 的方程f(x) k 有两个不同的实根,
2
则实数k 的取值范围是
【解答】
f (x) 2
(x 2)单调递减且值域为(0,1］， f (x)
x
3
(x 1) (x 2)单调递增且值域
【属性】
为(，1)， f (x) k 有两个不同的实根，则实数
高三复习，函数的基本性质，函数的性质，解答题，难, k 的取值范围是(0,1)。
分析问题与解决问题能 【题目】 ⑶设函数 h(x) f (x),x (a,
直接写出 (不需给出演算步骤 )不等式h(x) 1的解集.
(1 )若 f (0)
1，则 a|a|
a 0 a 2 1
(2)当 x a 时，f(x) 3x 2
2ax
2
a
，f (x)min
f (a),a
2a 2, a 0 2a 2 ,a 0
3
【属性】高三复习，函数的基本性质，函数的实际应用问题，解答题，难，分析问题与解 决问题能
力。
【题目】 有时可用函数
0.1 15l n-^,(x 6)
a x x 4.4 /
,(x 6) x 4
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数( x N *) 示对该学科知识的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关。
(1) 证明：当x 7时，掌握程度的增加量 f(x 1) f (x)总是下降；
(2)
根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间
(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识 6次时，掌握程度是 确
定相应的学科。
2 2
当 x a 时，f(x) x 2ax a , f(x)min
2
f( a),a 0 2a ,a 0 f(a), a 0
2a 2,a 0
综上 f (x)min
2a 2, a 0
2a 2 -
訂0
(3)
(a,
)时，h(x)
1 得 3x 2
2 ax a 2 1
4a 2
2
12(a
1)
12 8a 2
讨论得:
£时，
2 0,x
(a,)
时，△ >0,得：(x
2
a 3 2a )
3
时，解集为 (a,)；
时，解集为(a,
3
.3 2a 2
3
)；
.2
a ..3 2a 2
宁时，解集为
).
f(x)
，f (x)表
分另U 为 85%，请
