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函数最大值最小值函数的最大值和最小值是在数学中应用最广泛的概念之一，它是解决许多经济学、物理学和工程学问题的基石。
函数的最大值指的是函数图像上的顶峰点，也可以称为极大值；而函数的最小值则是指的谷底点，也可以称为极小值。
这两个概念对于很多实际问题的解决至关重要，它们能够帮助我们找出一些特定条件下的最优解。
比如，我们可以用函数最大值最小值的概念来解决如下问题：如何得到最大利润的生产量，如何使得某个物理量最小，如何使得某个工作量最少等等。
这些问题都需要我们通过对函数进行分析来找出最大值和最小值，然后将它们代入实际问题中，从而得到最优解。
为了找出函数的最大值和最小值，我们需要在函数的定义域内进行求解。
从定义域中的数值中寻找一个最大值或最小值，会在某种程度上影响整个函数的输出结果，因此我们更加倾向于寻找全局最大值或最小值。
全局最大值和最小值是指函数在其定义域内的所有取值中最大的值和最小的值。
而局部最大值和最小值则是指函数在某个区间内的最大值或最小值。
要想找到函数的最大值和最小值，我们需要运用一些基础知识和技巧，如一阶导数和二阶导数的概念。
一阶导数可以帮助我们确定函数变化的趋势，而二阶导数则可以帮助我们判断函数的凸性和拐点等性质。
这些性质都与函数的最大值和最小值密切相关。
当我们找到了函数的最大值和最小值后，我们可以将它们代入实际问题中，从而得到最优解。
比如，如果我们想要得到最大利润的生产量，我们可以将函数的最大值代入经济方程中，从而得到最优的生产方案。
同样的，如果我们想要使某个物理量最小，我们可以将函数的最小值代入物理方程中，从而得到最优的物理状态。
总之，函数的最大值和最小值是解决许多实际问题的利器，其掌握和运用对于学生和从事科研、工程、经济等领域的专业人士来说都是非常有必要的。
因此，我们需要深入理解其本质概念，学习其高深的分析方法，并在实际问题中勇敢地运用它们，从而取得优秀的成果。
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
函数性质2：最大值与最小值一、函数最大（小）值定义1、最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数 的性质（配方法 ）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象 求函数的最大（小）值（数形结合）○3 换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值． 例1、求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．例2、求函数1y x x =+-的最大值．例4、将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？例5、求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值．①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞例题7、已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值。
练习：已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在闭区间[]0,2上有最小值3，求实数a 的值单调性拓展：复合函数单调性判断设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
函数f(x)最大值最小值公式函数在数学中起着重要的作用，通过函数可以描述自然界和人类活动中的各种现象。
在数学中，我们常常需要找到函数的最大值和最小值，这对于解决实际问题具有重要意义。
下面将介绍函数f(x)的最大值和最小值的计算方法。
函数最大值最小值的定义对于函数f(x)，我们称f(x)在区间[a,b]上的最大值为$\\max{f(x)}$，最小值为$\\min{f(x)}$。
如果f(x)在该区间内取得最大值和最小值，则$\\max{f(x)}$ 和$\\min{f(x)}$ 就是函数f(x)的最大值和最小值。
求函数最大值最小值的方法在实际问题中，有些函数可以通过求导数来得到最大值和最小值。
我们可以通过以下步骤来计算函数f(x)在区间[a,b]内的最大值和最小值：1.首先，求出函数f(x)在区间[a,b]内的导数f′(x)。
2.然后，找出导数f′(x)的零点和间断点，并计算这些点对应的函数值。
3.将区间[a,b]的端点a和b处的函数值也计算出来。
4.将以上所有点的函数值进行比较，其中最大值即为函数f(x)在区间[a,b]内的最大值，最小值即为函数f(x)在区间[a,b]内的最小值。
通过上述方法，我们可以求得函数f(x)在给定区间内的最大值和最小值，从而更好地理解函数的性质和特点。
总结函数的最大值和最小值是我们在数学分析和实际问题中常常需要研究的内容。
通过求导数和比较函数值的方法，我们可以找到函数在给定区间内的最大值和最小值。
这对于优化问题、极值问题等具有重要意义，帮助我们更好地理解和利用函数的性质。
希望通过本文的介绍，读者能够更加清晰地理解函数的最大值和最小值的概念和计算方法。
函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法1．函数：⑴函数：一般地，设,A B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么，这样的对应叫做A B 到的一个函数，通常记为：(),y f x x A =∈其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域。
⑵值域：若()A y f x =是函数的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对立，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域。
⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法：用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。
2．函数的简单性质：⑴单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ＜那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。
如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜，都有12()()f x f x ＞那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间。
⑵最大值及最小值：一般地，设()y f x =的定义域为A ，如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有 0()()f x f x ≤那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有0()()f x f x ≥那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =⑶奇偶性：①对于函数2()f x x =，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等。
函数最值知识梳理1. 函数最大值普通地，设函数()y f x =定义域为I . 如果存在实数M 满足：①对于任意x 均有()f x M ≤.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =最大值.2. 函数最小值普通地，设函数()y f x =定义域为I . 如果存在实数M 满足：①对于任意x 均有()f x M ≥.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =最小值.注意：对于一种函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中一种元素．3. 函数最值与其单调性关系．（1）若函数在闭区间[,]a b 上是减函数，则()f x 在[,]a b 上最大值为 f (a )，最小值为 f (b )；（2）若函数在闭区间[,]a b 上是增函数，则()f x 在[,]a b 上最大值为 f (b )，最小值为 f (a )．4．二次函数在闭区间上最值．探求二次函数在给定区间上最值问题，普通要先作出()y f x =草图，然后依照图象增减性进行研究．特别要注意二次函数对称轴与所给区间位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题重要根据，并且最大(小)值不一定在顶点处获得．例题精讲【例1】求函数()3f x x =在[0,3]上最大值和最小值．解：由于函数()3f x x =在[0,3]上单调递增因此()3f x x =在[0,3]上最大值为(3)339f =⨯=；()3f x x =在[0,3]上最小值为(0)300f =⨯=；【例2】求函数12-=xy在区间[2，6]上最大值和最小值．解：函数12-=xy图象如下图所示，因此12-=xy在区间[2，6]上单调递减；因此12-=xy在区间[2，6]上最大值为2221=-；最小值为22615=-.题型一运用图象求最值【例3】求下列函数最大值和最小值.（1）25332,[,]22y x x x=--∈-（2）|1||2|y x x=+--解：（1）二次函数232y x x=--对称轴为x＝－1.画出函数图象，由下图，可知：当1x=-时，max4y=；当32x=时，min94y=-.因此函数25332,[,]22y x x x=--∈-最大值为4，最小值为94-.（2）3,2|1||2|21,123,1xy x x x xx≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩作出函数图象，如下图，可知：[3,3]y∈-因此函数最大值为 3，最小值为－3.题型二运用函数单调性求最值【例4】求函数9()f x xx=+在[1,3]x∈上最大值和最小值.分析：先判断函数单调性，再求最值.解：由于1213x x ≤<≤ 因此12121299()()()f x f x x x x x -=+-+121299()x x x x =-+-2112129()x x x x x x -=-+12129()(1)x x x x =--由于1213x x ≤<≤因此120x x -<，129x x ≤ 因此12910x x -<，因此12()()0f x f x ->,12()()f x f x > 因此9()f x x x =+在区间[1,3]上单调递减；因此求函数()f x 在[1,3]x ∈上最小值为918(3)333f =+=，最大值为9(1)1101f =+=.题型三 函数最值应用【例5】已知函数22()x x af x x ++=，[1,)x ∈+∞（1）当12a =时，求函数()f x 最小值.（2）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求a 取值范畴.解：（1）当12a =时，2122()x x f x x ++=设121x x ≤<则12121211()()(2)(2)22f x f x x x x x -=++-++21121212121221()()22x x x x x x x x x x x x --=-+=-由于120x x -<，因此1221x x >，12210x x ->因此12()()0f x f x -<，12()()f x f x <因此()f x 在区间[1,)+∞上单调递增因此最小值为17(1)1222f =++=.（2）()0f x >对[1,)x ∈+∞恒成立⇔220x x a ++>对[1,)x ∈+∞恒成立⇔22a x x >-- 对[1,)x ∈+∞恒成立．令222(1)1u x x x =--=-++，其在[1,)+∞上是减函数，∴当1x =时，max 3u =-. 因而3a >-.故实数a 取值范畴是(3,)-+∞．课堂练习仔细读题，一定要选取最佳答案哟！1．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8 C ．8,6 D ．以上都不对 2．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( )A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )3. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 取值范畴是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1] 4．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )A ．最大值4，最小值0B ．最大值0，最小值－4C ．最大值4，最小值－4D ．最大值、最小值都不存在5．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上最小值是________．6．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |最小值为________．7. 已知函数2()23f x x x =--，若[,2]x t t ∈+时，求函数()f x 最值.8. 求函数()1x f x x =-在区间[2,5]上最大值和最小值.9. 已知函数 f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5].（1）当 a ＝－1 时，求 f (x )最大值和最小值；（2）求使函数 y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数 a 取值范畴．。
