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论文_矩阵的迹及其应用

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长沙学院信息与计算科学系 本科生科研训练

矩阵的迹及其应用

系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031122 学生姓名： 李琼奇 成 绩：

2012 年６ 月 1

矩阵的迹及其应用 李琼奇 长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022

摘要：迹是矩阵的一个重要的数量函数，用它解题，特别是结论是否定的题，比用其它方法更简捷，本文根据矩阵迹的定义，先给出矩阵的迹的定义及其性质，通过对一些题目的巧妙解答，说明了矩阵的迹的概念的应用.

关键词：矩阵，迹，应用 引言 矩阵的迹的概念在《高等代数》的教材中往往只是提及而已．不被当作重点或难点.对矩阵迹的研究，文献[2，3，4]作了一些探讨.例如文献[2]主要讨论了矩阵迹的一些简单性质；文献[3,4]给出了矩阵迹的性质在解题上的应用. 本文在已有文献[l-4]的基础上，根据矩阵迹的定义，先给出矩阵的迹的定义及其性质，通过对题目的巧妙解答，说明了矩阵的迹的概念的应用.

1 定义与引理 定义[1]P297 设F是一个数域，)()(FMaAnij，矩阵A的主对角线上元素之和，叫做矩阵A的迹，记为

nnaaaATr2211)( 为了证明下面的主要结果，我们先给出以下的几个引理[2]。 引理1 设)(FMAn，n21,，，是矩阵的全部特征根，那么

n21)(ATr 因为相似矩阵具有相同的特征多项式，从而它们具有相同的特征根，于是有以下引理2. 引理2 相似矩阵具有相同的迹。 由矩阵迹的定义容易推出。 引理3 设 )(n21FMAAAn，，，，则 )()()()(k21k21ATrATrATrAAATr

引理4 设kkk2k12k22211k1211AAAAAAAAAA，其中),,2,1,(kjiA

ij

均为方阵，则 2

kiATrATr1ii)()(

2 矩阵迹的性质[3] (1) )()()(BTrATrBATr (2) ))(()(为任意常数KAKTrKATr (3) )()(’ATrATr (4) )()(BATrABTr (5) ninjjiijaaATr112)(

(6) 

ninjijaAATr112'

)(

(7) )()(1的特征值是AATrinii (8) )()(122的特征值是AATrinii (9) 若BA～，则)()(BTrATr；特别，)()(1ATrATTTr,（为正交矩阵T） 证明 (1)-(3)很容易直接验证,先来证明(4) 设 )(ijaA，)(ijbB

根据矩阵的乘法，kiniikiibaAB1)(，kiniikiiabBA1)(

)()(1111BATrabbaABTrnikinkiknikinkik, 即（4）得证。

特别地，若BA,则ninjjiijaaATr112)(，即（5）得证。 特别地，若A是nn矩阵，'A是其转置矩阵，则ninjijaAATr112')(，即（6）得证。 设 )(ijaA，则设 )(ijaA的特征多项式为 3

AaaaaaaaaaaaaAEnnn)1()(1nn2211nnn2n12n22211n1211





由根与系数的关系可知：niiiaATr1)(就是特征根的和，即（7）得征。从而易知（8）也成立。 最后来证明（9）

令BTTA1,由（4）式，得)())(()()(11BTrTBTTrBTTTrATr 所以（9）式成立。

3 矩阵迹的应用 矩阵的迹在矩阵理论中有重要的应用，而本文作为练习，仅谈它在解题中的应用，其中对钱吉林所编《高等代数解题精粹》（中央民族大学出版社，第二版）中的数例补充题进行了详解。 例1[2] 设)(FMAn，试证明：如果对任意的)(FMXn，都有

0)(AXTr，则0A. 证: 设)(ijaA，由X的任意性，取_'AX 则0)()(11211__'ninkikninkikikaaaAATrAXTr 所以 0ika，nk,,2,1，即0A. 例2[3] 证明EBAAB对任n何价方阵BA,均不成立。 证： 0)()()(BATrABTrBAABTr，而nETr)(，矛盾。 EBAAB对任n何价方阵BA,均不成立。 例3[3] 设A是二阶方阵, 试证若有方阵B使得ABAAB. 则0A. 证: 若A可逆, 则EBAAB1成立,但是因为)()(1BTTTrBTr,所以

EBAAB1矛盾。故A不可逆，从而0A 4

设A的特征多项式为baf2)(，则 Abn)1(， 0)()()()(BATrABTrBAABTrATra 2)(f

由哈密尔顿-凯莱定理得0)(2AAf 例4[4] 满足PP2的矩阵P叫做幂等矩阵，试证：幂等矩阵的迹与秩相等。 证: 设n阶阵P为幂阵，且P的秩rPR)(，则P的特征值不外是0或1；而且P 具有n个线性无关的特征向量，因而P与对角阵相似。 故必有满秩阵T存在，使得

10011





TTP

上式，右端的对角阵的秩等于P的秩r，即该矩阵中的对角元素（P特征值）有r 个为1，rn个为0.故由性质7知

rPTr0011)(

例5[2] 满足02A的矩阵A叫做幂零矩阵，试证：幂零矩阵的迹为零。 证：若是A的特征根，是A的属于特征根的特征向量，则A，从而可以推出对于任意正整数K都有kkA，因为A为幂零矩阵，故存在自然数m使得0mA，所以 00kmA，，0故0m，从而0由引理1得证 0)(ATr 证毕

例6[4] 设CBA,,都是nn矩阵，且CAAC,CBBC,CBAAB,则存在不大于n的自然数m，使得.0mC 1） 先证.0)(kCTr（k为任意自然数） ABCBCABAABCCkkkk)()()(111 5

由性质1、4得 0])()]([)(11ABCTrBCATrCTrkkk 2） 再证C的特征值都等于0 设C的特征值为n21,，，，则存在可逆矩阵T，使

TTCn0*11

所以 TTCknkk0*11

，（,2,1,0k）.

从而 knkkkCTr21)(0，（,2,1k）

不失一般性，设C的互异的非零特征值为s21,，，，且重数分别为s21,rrr，，

则上式变为： ksskkrrr22110 （

,2,1k）

取前s 个等式，因为范德蒙行列式012211sssss， 因此0s21rrr，即非零特征值的重数都是为0重，故C的特征值全为0 3） 再证.0mC 由于C的每个若当块都形如

iinniJ01010 .,2,1ti

因此 TJJTCk11 令 tnnnm,,max11，则 6

011-TJJTCmt

mm

结论 以上的讨论不过是矩阵理论中的点滴，通过探讨认识到矩阵知识是重要的、系统的.而矩阵的迹作为矩阵的一个重要数字特征，在数值计算、逼近论及统计估计等方面有着较为广泛应用.通过以上对迹的性质的讨论，不难发现利用矩阵迹的性质在解决一些实际问题中收到了很好的效果.在今后的教学科研活动中，应加强对矩阵理论问题的探讨，这对教师的科研和教学及学生的学习有很大的帮助.

参考文献 [1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M]．北京：高等教 育出版社，2003，9

[2] 唐鹏程. 矩阵的迹及其应用[J]，孝感学院学报.2000，11.20(4) [3] 邱双月. 矩阵的迹[J], 邯郸学院学报, 2005年9月, 第15卷第3期 [4] 宋占奎. 矩阵的迹在解题中的应用[J]. 陕西工学院学报. 2001,17(1) [5] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社. 2002,10

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对矩阵的迹求导

对矩阵的迹求导

对矩阵的迹求导对矩阵的迹求导矩阵是数学中重要的概念之一，它广泛地应用于各个领域中。

在矩阵运算中，对矩阵的迹求导是一个十分重要的问题。

本文将从矩阵、矩阵的迹以及对矩阵的迹求导等方面进行阐述和探讨。

一、矩阵的概念和运算矩阵是一个非常重要的数学概念，不仅涉及数学本身，还涉及到其他领域，如物理、化学、经济学、计算机科学等等。

矩阵可以看作是由数个数排成一排（称之为行）或一列（称之为列），比如：$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$其中包含了3行3列9个数，它被称为一个3x3的矩阵。

我们可以对矩阵进行加、减、乘等操作，其中加法和减法很容易理解，乘法有两种情形。

1. 矩阵与标量相乘给定一个标量k和一个矩阵A，我们可以定义矩阵与标量的乘法，即：$$ kA= \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} &\cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots &ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} $$eg.$$ 3\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6\\ 9 & 12\end{bmatrix} $$2. 矩阵与矩阵相乘对于两个矩阵A和B，只有当A的列数与B的行数相同时，它们才可以相乘。

那么，它们的乘积C的定义为：$$ C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}A_{i,k}B_{k,j} $$其中，m表示A和B中的矩阵元素的数量。

三阶行列式与矩阵迹

三阶行列式与矩阵迹

三阶行列式与矩阵迹在线性代数中，三阶行列式与矩阵迹是两个重要的概念。

它们在矩阵运算和矩阵性质研究中具有重要作用。

下面我们将详细介绍三阶行列式与矩阵迹的计算方法及其应用。

一、简介三阶行列式与矩阵迹的概念1.三阶行列式：一个三阶行列式是由一个三阶方阵的元素按照一定规则组成的。

它表示的是这个三阶方阵所描述的线性变换对任意一组输入的输出结果。

三阶行列式的定义为：$$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$2.矩阵迹：矩阵迹是一个矩阵所有元素的和的奇数倍，即矩阵迹等于矩阵的主对角线元素之和乘以奇数。

对于一个三阶矩阵A，其矩阵迹表示为：$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$二、计算三阶行列式的方法1.递推法：通过递推的方式计算三阶行列式，首先计算二阶行列式，然后将结果与第三个元素相乘，最后将所有结果相加。

2.拉普拉斯展开式：根据行列式的定义，可以将三阶行列式表示为三个二阶行列式的乘积减去中间元素的乘积。

通过拉普拉斯展开式，可以快速计算三阶行列式。

三、矩阵迹的计算方法1.直接计算法：直接将矩阵的主对角线元素相加，再乘以奇数。

2.高斯消元法：通过高斯消元法计算矩阵的秩，然后将秩乘以矩阵主对角线元素之和得到矩阵迹。

四、三阶行列式与矩阵迹的关系1.对于一个三阶方阵A，其行列式与矩阵迹有如下关系：$$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{23}a_{31}$$2.矩阵迹是行列式的一条对角线元素之和，即：$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$五、举例说明三阶行列式和矩阵迹的计算与应用1.计算三阶行列式：$$|A| = begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} = 1times5times9 + 2times6times7 - 3times4times8 = 37$$2.计算矩阵迹：$$trace(A) = 1 + 5 + 9 = 15$$3.应用：在机器学习领域，矩阵迹常用于计算代价函数的梯度。

矩阵特征值和迹的关系

矩阵特征值和迹的关系

矩阵特征值和迹的关系矩阵特征值和迹之间的关系是线性代数中一个重要而又有趣的问题。

特征值是矩阵在某个方向上的伸缩比例，而迹则是矩阵对角线上元素的和。

它们之间的联系既是数学上的一个定理，也是一个直观的几何解释。

在本文中，我将从简单的定义入手，逐步深入探讨特征值与迹之间的关系，以及它们在不同领域中的应用。

一、特征值和迹的定义让我们先明确一下特征值和迹的定义。

对于一个n维的方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，v就是对应的特征向量。

特征值和特征向量的求解可以通过解矩阵的特征方程Det(A-λI)=0来实现。

迹则是一个方阵对角线上所有元素的和，用Tr(A)表示。

二、特征值和迹的关系特征值和迹之间存在着紧密的联系。

定理1：对于一个n维的方阵A，其特征值的和等于其迹。

证明：设A的特征值为λ₁, λ₂, ……, λₙ，特征值对应的特征向量分别为v₁,v₂, ……, vₙ。

由特征值的定义可知，Avₙ=λₙvₙ，对于任意的向量c，我们有Ac=c₁Av₁+c₂Av₂+……+cₙAvₙ。

将Ac展开，我们有Ac=λ₁c₁v₁+λ₂c₂v₂+……+λₙcₙvₙ。

注意到v₁, v₂, ……, vₙ是线性无关的，所以c₁v₁, c₂v₂, ……, cₙvₙ也是线性无关的。

只有当λₙ不等于λᵢ（k≠i）时，cₙvₙ与cᵢvᵢ才线性无关，否则它们就线性相关，且cₙ/cᵢ的值是任意的。

Ac=λ₁c₁v₁+λ₂c₂v₂+……+λₙcₙvₙ=c₁(λ₁v₁)+c₂(λ₂v₂)+……+cₙ(λₙvₙ)。

由于λ₁v₁, λ₂v₂, ……, λₙvₙ是线性无关的，根据向量的线性相关性，Ac 的值只能是零向量，即Ac=0。

A的特征值的和等于它的迹，即λ₁+λ₂+……+λₙ=Tr(A)。

证毕。

通过定理1，我们可以看到特征值和迹之间存在着一个重要而又简洁的关系。

这个关系揭示了矩阵的某些重要特性，以及它们在代数和几何中的应用。

密度矩阵的迹

密度矩阵的迹

密度矩阵的迹
对于密度矩阵的迹，这是一个重要的数学概念，它可以用来证明和评估一组数据的相似性。

（一）定义
迹指的是一个矩阵的主对角线上的元素之和。

迹可以用来衡量矩阵的“力度”，尤其是计算非对称矩阵，因为它可以提高精度和计算高维空间中的相关性。

（二）用途
1、可以用来验证一组数据的“差异性”，尤其是在高维空间中；
2、可以用来评估回归分析的结果，因为迹可以衡量矩阵的“力度”；
3、用于线性变换，如在矩阵中变换坐标，也可以用它来检查结果。

（三）计算方法
使用下面的几何，可以计算密度矩阵的迹：
密度矩阵迹=∑i=1naiii
其中，aii是矩阵中第i个对角线上的元素，n是矩阵的行数，即迹的计算取决于矩阵的行数。

（四）示例
例如，考虑以下4×4矩阵：
A=
| 1 2 3 4 |
| 5 6 7 8 |
| 9 10 11 12 |
| 13 14 15 16 |
根据上述方程，我们可以计算这个矩阵的迹，得出结果：
密度矩阵迹= 1 + 6 + 11 + 16 = 34
（五）优势
1、方便快捷：可以自动计算一个矩阵的迹，无需自己手动计算；
2、精度高：计算结果可以提高精度，消除计算误差；
3、可靠可验：可以用它来证实和评估一组数据的相关性；
4、科学精准：以几何的方式，可以清楚的看到数据之间的内部结构。