2018届高考数学二轮圆锥曲线的综合问题 专题卷(全国通用)
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1 第九节 圆锥曲线的综合问题
A 基础巩固训练
1.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设椭圆E： 22221(0)xyabab的右顶点为A，右焦点为F， B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C， O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】B
【解析】
2．【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】已知抛物线C：＝4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若＝2，则直线l的斜率为
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，
设，，由抛物线的定义可知：，， 2 由＝2，则B为AE的中点，
则=2，即
在中，，，∴n
tan∠CBE==，
直线l的斜率k=tan∠AFx=tan∠CBE=，
故选：B．
3.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】已知点3,0A， 3,0B，动点P满足2PAPB，则点P的轨迹为（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】B
4．【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点P是椭圆22221xyab（0ab）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若 S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是
A. 12 B. 22 C. 32 D. 14
【答案】A
【解析】设P12FF的内切圆半径为r,则由1IPFS+2IPFS=212IFFS
得12121112222PFrPFrFFr
即P1F+P2F=212FF
即222ac
椭圆的离心率12cea
故选A
5.【2018届云南省名校月考（一）】已知F是抛物线2:8Cyx的焦点， l是C的准线， P是C上一点，点M在l上，若4FMFP，则直线FP的方程为（ ）
A. 152yx B. 222yx C. 32yx D. 232yx 3 【答案】B
B能力提升训练
1．【2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟】已知B、C为单位圆上不重合的两个定点， A为此单位圆上的动点，若点P满足APPBPC，则点P的轨迹为（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
【答案】D
【解析】设,Pxy， cos,sinA， 11,Bxy， 22,Cxy，设单位圆圆心为O，则根据APPBPC可有： 0PAPBPC，所以点P为ABC的重心，根据重心坐标公式有1212cos3{sin3xxxyyy ，整理得2212121339xxyyxy，所以点P的轨迹为圆，故选择D.
2.【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】已知,,ABC是抛物线24yx上不同的三点，且AB∥y轴， 90ACB，点C在AB边上的射影为D，则ADBD（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】设224,4,4,4AttBtt， 24,4Cmm，因为90ACB，所以2222216160tmtm，因此221mt，因为2244CDtm且在RtABC中，
2ADBDCD，所以16ADBD．
3.【2017届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为(1,1)、3,3. 若动点P满足OPOAOB，其中、R，且1，则点P的轨迹方程为（ ）
A. 0xy B. 0xy 4 C. 230xy D. 22125xy
【答案】C
4.【2017届山西省临汾市高三考前训练（三）】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为,AB，点,MN是椭圆C上关于长轴对称的两点，若直线AM与BN相交于点P，则点P的轨迹方程是 （ ）
A. 0xay B. 220ybxay
C. 22220xyaby D. 222210xyyab
【答案】D
【解析】解：设点cos,sin,cos,sinMabNab ，且,0,,0AaBa ，则：
直线AM的方程为： 0sinsincoscosbybxaaa ，
直线BN的方程为： 0sinsincoscosbybxaaa ，
消去参数 可得点P的轨迹方程是 222210xyyab.
本题选择D选项.
5【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知双曲线221yxm的焦点为F1、F2，渐近线为l1，l2，过点F2且与l1平行的直线交l2于M，若120FMFM，则m的值为
（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
【答案】D 5
C思维扩展训练
1.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图，点P在正方体1111ABCDABCD的表面上运动，且P到直线BC与直线11CD 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】B
故排除C，D，
同理可得，
在平面ABB1A1上，
点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，
从而排除A，
本题选择B选项.
2．【2017届江苏省如皋市高三下学期联考（二）】动直线与函数的图像交于A、B两点，点是平面上的动点，满足，则的取值范围为____．
【答案】 7
|PA+PB|=|−2m−2ni|=2，
|m+ni|=1，
即m2+n2=1是一个圆,即P的轨迹是以(3,4)为圆心的单位圆，
∴x2+y2的取值范围为[16,36]，
故答案为[16,36].
3.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三联考】已知椭圆的离心率为，长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，为坐标原点，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，且直线不经过点.记直线的斜率分别为，试探究是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1) ;(2) 为定值，该定值为0.
【解析】试题分析：(1)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程，利用维达定理表示，即可得到定值..
试题解析：
（Ⅰ）由题意知，，解得，
故椭圆的方程为 8 （Ⅱ）结论：，证明如下：
设，
联立，得，
，解得，
.
，
.
综上所述，为定值，该定值为0.
4.【2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系xoy中，设点F (1，0)，直线l:
1x，点P在直线l上移动， R是线段PF与y轴的交点, 异于点R的点Q满足： RQFP，
PQl.
（1）求动点Q的轨迹的方程；
（2） 记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E
的弦AB. CD，设AB. CD 的中点分别为MN，．
问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定点，
如果不是，说明理由． 9
【答案】(Ⅰ) 24(0)yxx；(Ⅱ)以直线MN恒过定点R 3,0．
试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l的方程为： 1x．点R是线段FP的中点，
且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∴PQ是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴PQQF．
故动点Q的轨迹E是以F为焦点， l为准线的抛物线，
其方程为： 24(0)yxx．
(Ⅱ) 设,,,AABBAxyBxy， ,,MMNNMxyNxy，，
由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为1ykx
则2241{ 42AABByxyx
（1）—（2）得4AByyk，即2Myk， 10 代入方程1ykx，解得221Mxk．所以点Ｍ的坐标为2221,kk．
同理可得： N的坐标为221,2kk．
直线MN的斜率为21MNMNMNyykkxxk，方程为
222211kykxkk，整理得213ykkx，
显然，不论k为何值， 3,0均满足方程，所以直线MN恒过定点R 3,0．
5．【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）
（1）求动点的轨迹方程；
（2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
试题解析：解：（Ⅰ）设动点，则，且，①
又，得， 11 代入①得动点的轨迹方程为．
（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．
设直线的方程为，代入中，
得，
由，∴，
设，，
∵点到直线的距离，，
，
当且仅当，即时取到最大值．
∴面积的最大值为．
