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专题十一 概率与统计第三十三讲 回归分析与独立性检验

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1如有帮助欢迎下载支持 专题十一 概率与统计

第三十三讲 回归分析与独立性检验

一、选择题

1．（2017山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybxa．已知101225iix，1011600iiy，ˆ4b．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为

A．160 B．163 C．166 D．170

2．（2015福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元） 8．2 8．6 10．0

11．3 11．9

支出y（万元） 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8

根据上表可得回归本线方程ˆˆˆybxa ，其中ˆˆˆ0.76,baybx ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为

A．11．4万元 B．11．8万元 C．12．0万元 D．12．2万元

3．（2014重庆）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x，3.5y，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为

A．0.42.3yx B．22.4yx C．29.5yx

D．0.34.4yx

4．（2014湖北）根据如下样本数据

x 3 4 5 6 7 8

y 4.0 2.5 0.5

得到的回归方程为ˆybxa，则

A．0a，0b

B．0a，0b C．0a，0b D．0a，0b

5．（2012新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线112yx上，则这组样本数据的样本相关系数为 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

2如有帮助欢迎下载支持 A．−1 B．0 C．12 D．1

6．（2014江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是

7．（2012湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0．85x85.71，则下列结论中不正确．．．的是

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心（x，y）

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

8．（2011山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

广告费用x（万元） 4 2 3 5

销售额y（万元） 49 26 39 54

根据上表可得回归方程ˆˆˆybxa中的ˆb为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

二、解答题

9．（2018全国卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5yt．

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

10．(2016年全国III)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

3如有帮助欢迎下载支持 的折线图

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，7≈2.646.

参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，

回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

11．（2015新课标1）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy（i=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469

108.8

表中iiwx，w =1881iiw．

（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2zyx．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)uv，22(,)uv，，(,)nnuv，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

4如有帮助欢迎下载支持 121()()ˆ()niiiniiuuvvuu，ˆˆvu．

12．（2014新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012

2013

年份代号t 1 2 3 4 5 6

7

人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

121niiiniittyybtt，ˆˆaybt

13．（2012辽宁）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.

（I）根据已知条件完成下面22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷 体育迷 合计

男

女

合计

（II）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率. 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

5如有帮助欢迎下载支持 21212211222112)(nnnnnnnnn， 附： 0.05 0.01

3.841 6.635

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高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.9回归分析与独立性检验教学案 理

高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.9回归分析与独立性检验教学案 理

1 11.9 回归分析与独立性检验

考纲要求

1．会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．

2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．

4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．

1．相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．与函数关系不同，相关关系是一种______________．

2．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示．若这些散点分布在从左下角到右上角的区域，则称两个变量______；若这些散点分布在从左上角到右下角的区域，则称两个变量______．

3．回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们把自变量x称为________，因变量y称为________．

4．回归方程：y^ ＝b^ x＋a^ ，其中b^ ＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2，a^ ＝y－b^x，它主要用来估计和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解．

5．相关系数：r＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny2

它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r＞0时表示两个变量正相关，当r＜0时表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性____；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在__________．

6．列联表

有两个或两个以上的分类变量的______称为列联表．一般我们只研究每个分类变量只取两个值的情况，有两个分类变量的样本频数列联表称为2×2列联表．

2020高考数学总复习 第十一单元第三节回归分析与独立性检验

2020高考数学总复习 第十一单元第三节回归分析与独立性检验

第十一单元 第三节回归分析与独立性检验

一、选择题

1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )

A．正方形的体积与边长

B．匀速行驶车辆的行驶距离与时间

C．人的身高与体重

D．人的身高与视力

【解析】 选项A、B中的两变量为函数关系，选项D中的两变量既不具有函数关系，也不具有相关关系．故选C.

【答案】 C

2．下图中的两个变量，具有相关关系的是(

)

【解析】 由散点图判断，选项B中的两个变量具有相关关系．

【答案】 B

3．已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为y^＝0.5＋2x，则变量x，y是( )

A．线性正相关关系

B．由回归方程无法判断其正负相关

C．线性负相关关系

D．不存在线性相关关系

【解析】 ∵b＝2>0，∴变量x，y是线性正相关关系．

【答案】 A

4．(精选考题·天津质检)线性回归方程表示的直线y^＝a＋bx必定过( )

A．(0,0)点 B．(x，0)点

C．(0，y)点 D．(x，y)点

【解析】 由线性回归方程的性质可知，回归直线过样本中心点(x，y)．

【答案】 D

5．(精选考题·湖南高考)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )

A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200

C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200

【解析】 选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义．

【答案】 A

6．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )

A．模型1的相关指数R2为0.98

B．模型2的相关指数R2为0.80

C．模型3的相关指数R2为0.50

D．模型4的相关指数R2为0.25 【解析】 相关指数R2越大，拟合效果越好．

【答案】 A

7．为了探究色盲是否与性别有关，在调查的500名男性中有39名色盲患者，500名女性中有6名色盲患者，那么你认为色盲与性别有关的把握为( )

正态分布回归分析独立性检验

正态分布回归分析独立性检验

正态分布回归分析独立性检验

在进行回归分析时，通常会假设误差项服从正态分布，是一个独立同分布的随机变量。这个假设在很多情况下是合理的，特别是当样本容量较大时，中心极限定理保证了误差项的正态分布。

为了验证误差项是否满足正态分布的假设，我们可以利用正态分布的统计方法进行检验。下面介绍两种常用的检验方法：基于直方图和基于正态概率图。

1.基于直方图的检验方法

基于直方图的检验方法通过绘制误差项的直方图，观察其分布形态是否接近正态分布。具体步骤如下：

1)将残差（误差项）按照大小排序。

2)将排序后的残差分为k个区间，计算每个区间中的残差频数。

3)绘制直方图，观察残差分布是否近似于正态分布。若直方图呈现钟型曲线，说明残差近似满足正态分布假设，否则不能满足正态分布假设。

2.基于正态概率图的检验方法

基于正态概率图的检验方法通过绘制误差项的正态概率图，观察其是否呈现近似直线的趋势。

1)将残差按照大小排序。

2)计算每个残差在正态分布下对应的累积概率。

3)绘制散点图，横坐标为残差的标准正态分位数，纵坐标为残差对应的累积概率。 4)观察散点图是否近似于一条直线。若散点图近似直线，则说明残差近似满足正态分布假设，否则不能满足正态分布假设。

正态分布回归分析独立性检验的目的是验证回归模型中误差项是否满足正态分布的假设，如果不满足，则可能需要对模型进行修正，或者使用非参数回归模型等更适合的方法。因此，对于从事回归分析的教师来说，熟练掌握正态分布回归分析独立性检验方法是非常重要的。

方法技巧专题25回归分析与独立性检验

方法技巧专题25回归分析与独立性检验

方法技巧专题25回归分析与独立性检验

回归分析与独立性检验是统计学中常用的两种方法技巧。本文将从基本概念、执行步骤、解析方法和实际应用等方面详细介绍回归分析与独立性检验。

一、回归分析

回归分析是一种用来描述和解释变量之间相互关系的统计方法。在回归分析中，一个或多个自变量被用来预测或解释一个或多个因变量。基本概念包括以下几点：

1. 自变量（independent variable）：研究者控制和操作的变量，用来预测因变量。

2. 因变量（dependent variable）：研究者感兴趣的变量，也是我们希望预测或解释的变量。

3. 简单线性回归（simple linear regression）：只有一个自变量和一个因变量之间的关系。

4. 多元回归（multiple regression）：有两个或两个以上自变量和一个因变量之间的关系。

执行步骤如下：

1.收集数据：收集自变量和因变量的数据。

2.绘制散点图：绘制自变量和因变量之间的散点图，观察两个变量之间的关系。 3.拟合回归线：通过回归线拟合数据，找到自变量和因变量之间的最佳关系。

4.计算回归方程：根据回归线的拟合情况，计算出回归方程，用来预测或解释因变量。

常用解析方法有以下几种：

1.最小二乘法：通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定回归方程的参数。

2. 相关系数（correlation coefficient）：用来衡量自变量和因变量之间的线性相关性强弱，常用Pearson相关系数进行计算。

3.回归方程显著性检验：用来判断回归方程是否显著，即自变量是否对因变量有显著影响。

二、独立性检验

独立性检验是用来检验两个或多个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。基本概念包括以下几点：

1. 分类变量（categorical variable）：变量的取值只能是一些有限的标称级别，而不能用具体的数值表示。

2. 单变量独立性检验（univariate independence test）：只包括一个分类变量和一个因变量的关系。