高考数学正弦定理和余弦定理必考点梳理
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必考点：正弦定理和余弦定理必考点梳理（精编Word）
一、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内
容 asin A＝bsin B＝csin
C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变
形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝b2＋c2－a22bc
cos B＝c2＋a2－b22ac
cos C＝a2＋b2－c22ab
二、三角形中常用的面积公式
1.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝12bcsin A＝12acsinB＝12absin C；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2.在△ABC中常用结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin A＋B2＝cos C2；cos A＋B2＝sinC2.
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A
(7)合比定理：asin A＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R.
(8)在锐角三角形中①A＋B＞π2；②若A＝π3，则π6＜B，C＜π2
三、实际测量中的常见问题
求AB 图形 需要测量的元素 解法
求
竖
直
高
度 底部
可达 ∠ACB＝α，
BC＝a 解直角三角形AB＝atan α
底部
不可达 ∠ACB＝α，
∠ADB＝β，
CD＝a 解两个直角三角形AB＝atan αtan βtan β－tan α
求
水
平
距
离 山
两
侧 ∠ACB＝α，
AC＝b，
BC＝a 用余弦定理AB＝
a2＋b2－2abcos α
河
两
岸 ∠ACB＝α，
∠ABC＝β，
CB＝a 用正弦定理
AB＝asin αsinα＋β
河
对
岸 ∠ADC＝α，
∠BDC＝β，
∠BCD＝δ，
∠ACD＝γ，
CD＝a 在△ADC中，AC＝asin αsinα＋γ在△BDC中，BC＝asin βsinβ＋δ；
在△ABC中，应用余弦定理求AB
（一）仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．
（二）方位角和方向角
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．
必考点1： 利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可解决两类问题
基本类型 一般解法
已知两角及其中一角的对边，如A，B，a ①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理，得asin A＝bsin B及asin A＝csin C，求出边b，c.
已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A ①根据正弦定理，经讨论求B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
③再根据正弦定理asin
A＝csin
C，求出边c.
例题1： (2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝( )
A．2
B．1
C．3
D．2
【解析】由正弦定理得b＝asin Bsin A＝2212＝2.选D
变式1： (2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A＝________.
【解析】∵2asin B＝3b，∴2sin Asin B＝3sin B，得sin A＝32，∴A＝π3或A＝2π3，
∵△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.
必考点2： 利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可解决两类问题
已知两边
和它们的
夹角，如
a，b，C ①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；
②根据cos A＝b2＋c2－a22bc，求出A；
③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.
已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角.
例题2： (2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )
A．24 B．－24 C．34 D．－34
【解析】由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝2a，
∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a×2a＝－24.选B
变式2： (2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
方法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3.
方法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，
∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝12.
又0
必考点3： 判断三角形的形状
判定三角形形状的2种常用途径
例题3： 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A． ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．
变式3： 本题中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
【解析】∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
变式4： 本题中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，
又0
故△ABC为等边三角形．
必考点4： 求三角形的面积
例题4： (2017·全国卷Ⅲ)△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【解析】 (1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝2π3.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sin π612AC·AD＝1.
又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.
变式5： (2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.
【解析】∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，∴sin A＝12.
由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝82bc＝4bc>0，∴cos A＝32，bc＝4cos A＝833，
∴S△ABC＝12bcsin A＝12×833×12＝233
