数理统计模拟试题(卷)2 答案解析
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专业技术分享 《数理统计》模拟考试题二（含参考答案）
(注意：本试卷中可能用到的查表数据都附在卷末)
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、X服从正态分布，1EX，25EX，),,(1nXX是来自总体X的一个样本，则niinXX11服从的分布为___B____。
(A)N(1,5/n) (B)N(1,4/n) (C)N(1/n,5/n)
(D)N(1/n,4/n)
2．设nXXX,,,21为来自正态总体2(,)N的一个样本，若进行假设检验，
当___D__时，一般采用统计量0/XUn
(A)220未知，检验＝ (B)220已知，检验＝
(C)20未知，检验＝ (D)20已知，检验＝
3．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为im
的样本，则下列说法正确的是___D___
(A)方差分析的目的是检验方差是否相等
(B)方差分析中的假设检验是双边检验
(C) 方差分析中211.()imreijiijSyy包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D) 方差分析中2.1()rAiiiSmyy包含了随机误差外,还包含效应间的差异
4．在一次假设检验中，下列说法正确的是___C____
(A)第一类错误和第二类错误同时都要犯
(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了
第一类错误
(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小
(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第
二类错误
5．设ˆ是未知参数的一个估计量，若ˆE，则ˆ是的___D_____
(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计
二、填空题（每小题3分，共15分）
1、判断对错：设总体~(,)Xbnp，p（01p）未知。设12,,,nXXX是
来自该总体的一个样本，设用矩法求得p的估计量为1ˆp，用极大似然法求
得p的估计量为2ˆp，则12ˆˆ。 __正确___
2．设总体X服从参数为p的两点分布，p（01p）未知。设1,,nXX是
来自该总体的一个样本，则21111,(),6,{},maxnniinininiiXXXXXXpX中是统 WORD格式可编辑
专业技术分享 计量的有2111,(),6,{}maxnniiniiniiXXXXX。
3．3．设总体X的密度函数为()px，设nXXX,,,21为来自该总体的一个简单
随机样本，则nXXX,,,21的联合密度函数1(,,)nfxx为1()niipx。
4．设总体服从正态分布(,1)N，且未知，设1,,nXX为来自该总体的
一个样本，记11niiXXn，则的置信水平为1的置信区间公式是
211Xun。
5．设2~(,)XXXN，2~(,)YYYN，且X与Y相互独立，设1,,mXX为
来自总体X的一个样本；设1,,nYY为来自总体Y的一个样本；2XS和2YS分
别是其无偏样本方差，则2222//XXYYSS服从的分布是(,)Fmn
三、证明题（共16分）
1.（8分）设1,,nXX是抽自正态总体22(0,)(0)N的一个样本求证:
11ˆ||2niiXn是ˆ的无偏估计.
证明: 首先计算
2221||||2xiEXxedx （2分）
22222200222()|xxxedxe （2分）
所以 11ˆ||2niiEEXn （2分）
122nn （2分）
2．（8分）设总体X的密度函数为
(;)(1),01pxxx
现在得到总体的一个样本1,,nXX，其观测值为1,,nxx，
求证：的矩法估计量 111ˆ211niiXn WORD格式可编辑
专业技术分享 的极大似然估计量 21ˆ1ln()niinX
证明：1、(1)先求数学期望
101()(1)2EXxxdx （1分）
(2)建立矩法方程
()EXX，其中 11niiXXn （2分）
即12X
(3)解：矩法方程得的矩法估计量：111ˆ211niiXn （1分）
2、(1)写出似然函数11()(1)(1)nnniiiiLxx（1分）
(2)取对数1ln[()]ln(1)lnniiLnx （1分）
(3)对求导数，得似然方程
1ln01niinx （1分）
(4) 解似然方程得
的极大似然估计量21ˆ1ln()niinX （1分）
四、计算题(共54分)
(注意：计算中所得数据只需要精确到两位小数，可以用分数表示)
1．1．（8分）设总体X有概率分布
取值 ix 1 2 3
概率 ip 2 2(1) 2(1)
现在观察到一个容量为3的样本,11x,22x,31x。求的极大似然估计值?
解：此时的似然函数为
123123()(1,2,1)(1)(2)(1)LPXXXPXPXPX （2分）
即 225()2(1)2(1)L （2分）
ln()ln25lnln(1)L （1分）
ln()511dLd （1分） WORD格式可编辑
专业技术分享 令 ln()0dLd （1分）
得的极大似然估计值5ˆ6.（1分）
2．2．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X（秒）和
腐蚀深度Y（毫米）的数据见下表：
X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120
Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46
假设Y与X之间符合一元线回归模型01YX
（1）试建立线性回归方程。
（2）在显著性水平0.01下，检验01:0H
解：(1)解：根据公式可得
01ˆˆYX
其中 011ˆˆˆXYXXllYX （2分）
2222211111()()nnnnXXiiiiiiiilXnXXXXXn （1分）
111111()()()()nnnnnXYiiiiiiiiiiiiilXYnXYXXYYXYXYn（1分）
用上述公式求得01ˆ4.375ˆ0.323 （2分）
即得线性回方程为ˆ4.3750.323YX
(2)1121()1464.531TiiSyy，1121ˆ()1418.8744RiiSyy
45.6565ETRSSS （1分）
检验假设0111:0,:0HH （1分）
0H的检验统计量为1(1,2)/(2)RESFFnSn （1分）
0H的临界值10.01(1,2)(1,9)10.6FnF（1分）
由前面的计算可知1279.67910.6(1,2)/(2)RESFFnSn（1分）
所以在显著性水平0.01下，拒绝原假设，认为10。（1分） WORD格式可编辑
专业技术分享 3、(7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量
机器 I II III
日
产
量
138
144
135
149
143 163
148
152
146
157 155
144
159
141
153
现把上述数据汇总成方差分析表如下
方差来源 平方和 自由度 均方和 F比
A
352.933
e 12
T 893.733 14
解： (1)
方差来源 平方和 自由度 均方和 F比
A
352.933
2
176.467
3.916
e 540.8 12 45.067
T 893.733 14
（每空1分，共5分）
(2)又因为3.916F0.95(2,12)3.89F，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产能力有显著差异。 （2分）
4.（10分）设总体X在),0()0(上服从均匀分布，nXX,,1为其一个
样本，设},,max{1)(nnXXX
(1))(nX的概率密度函数()npx (2)求()[]nEX
解：(1)由公式可得
)(nX的概率密度函数11()01()0 , nnxnxpx， ＜＜ 其它 （5分）
即 101()0 , nnnnxxpx， ＜＜ 其它（2分）
(2) 111()00[]()1nnnnnnEXxpxdxxxdxn （3分） WORD格式可编辑
专业技术分享 5.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从2~(,)XN正态分布，规定每袋标准重量为1kg,方差220.02。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为0.998x，无偏标准差为0.032s，在显著性水平0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？
解：220:0.02H，220:0.02H （2分）
选统计量222211()~(1)0.02niiXXn （2分）
确定否定域2221{(1)}{15.5}Wn （1分）
统计量的观测值为222221180.032()20.480.020.02niixx （1分）
因为22120.4815.5(1)n，所以拒绝220:0.02H （1分）
6.（10分）设总体X服从正态分布2(,)N，1,,nXX是来自该总体的一
个样本，记11(11)kkiiXXknk，求统计量1kkXX的分布。
