[精品]四川省成都市高中数学 第一章第5课时 排列应用举例同步测试 新人教A版选修2-3

第6课时函数的单调性与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为().A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0)D.(0,2)【解析】函数f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2).【答案】D2.已知定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且其导函数f'(x)满足>0,则当2<a<4时,有().A.f(2a)<f(log2a)<f(2)B.f(log2a)<f(2)<f(2a)C.f(2a)<f(2)<f(log2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(2)【解析】∵函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),∴函数f(x)的对称轴为x=2.又∵导函数f'(x)满足>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,(-∞,2)上单调递增.又∵2<a<4,∴1<log2a<2<4<2a.又函数f(x)的对称轴为x=2,∴f(2)>f(log2a)>f(2a).【答案】A3.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,若a>b,则有().A.f(a)g(a)=f(b)g(b)B.f(a)g(a)>f(b)g(b)C.f(a)g(a)<f(b)g(b)D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定【解析】由题意知[f(x)g(x)]'>0,∴f(x)g(x)在R上是增函数.∵a>b,∴f(a)g(a)>f(b)g(b).【答案】B4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是().【解析】在区间(-1,1)上,f'(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f'(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加的越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f'(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加的越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.故选B.【答案】B5.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是.【解析】f'(x)=(x-3)'e x+(x-3)(e x)'=(x-2)e x,令f'(x)>0,解得x>2.【答案】(2,+∞)6.函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围为.【解析】∵y'=3ax2-1,且函数y=ax3-x在R上是减函数,∴y'=3ax2-1≤0在R上恒成立.当x=0时,y'=3ax2-1≤0在R上显然成立;当x≠0时,a R上恒成立,∴a≤0.【答案】(-∞,0]7.设函数f(x)=ln x-2ax,a>0,求函数f(x)的单调区间.【解析】由题意知f(x)=ln x-2ax的定义域为(0,+∞),且f'(x)2a,因为a>0,x>0,2a>0,则1-2ax>0.所以当x,f'(x)>0,当x,f'(x)<0.所以当a>0时,函数f(x)拓展提升(水平二)8.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是().【解析】由题图可知,当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-1<x<0时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当0<x<1时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当x>1时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.由上述分析,可知选C.【答案】C9.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为.【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,和+∞)上为增函数,在(内为减函数,∴当x∈(-∞,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(时,f'(x)<0.∴x·f'(x)的解集为{0.【答案】{010.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),y'=4由y'>0得f(x)的增区间为由y'<0得f(x)由于函数在(k-1,k+1)上不单调,所以1≤11.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,若f(x)在区间(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.【解析】f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),令f'(x)=0,得x1=a,x2=1.①当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.②当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,从而f(x)在(-∞,0)上也为增函数.综上所述,a的取值范围为[0,+∞).。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第6课时组合问题基础达标(水平一)1.已知圆上有9个点,每2个点连一条线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有().A.36个B.72个C.63个D.126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点有=126个.【答案】D2.下列等式中不是恒等式的是().A.=(m≤n)B.(n+2)(n+1)=(m≤n)C.=(m≤n)D.=+(m≤n)【解析】因为==(m≤n),所以=(m≤n)不是恒等式,故选C.【答案】C3.12名同学合影,前排站4人,后排站8人,摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是().A.B.C.D.【解析】因为要从后排8人中抽2人,抽法种数为,插到前排,其他人的顺序不变,所以这2个人可以相邻,也可以不相邻,故插入方法为+=,故不同的调整方法总数是.【答案】C4.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有().A.10种B.20种C.36种D.52种【解析】根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有种放法;第二类,2号盒子里放3个球,有种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同的放球方法+=10种.【答案】A5.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有种.【解析】先排A,将B和C“捆绑”作为一个整体.因此编排方法共有=96种.【答案】966.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参加展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为.【解析】设男生人数为x,则女生人数为6-x.依题意得-=16,即=4,故x=4,所以该小组中的女生人数为2.【答案】27.判断下列问题是组合问题还是排列问题,然后再算出问题的结果.(1)集合{0,1,2,3,4}的含3个元素的子集的个数是多少?(2)没有任何3点共线的5个点可以连成多少条线段?如果连成有向线段,共有多少条?(3)某小组有9名同学,从中选出正、副班长各1名,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?【解析】(1)由于集合中的元素是没有次序的,一个含3个元素的子集就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合.这是一个组合问题,组合的个数是==10,所以子集的个数是10.(2)由5个点中取2个点恰好连成一条线段,不用考虑这2个点的次序,所以是组合问题,组合数是==10,连成的线段共有10条.再考虑有向线段问题,这时2个点的先后排列次序不同对应2条不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是=5×4=20,所以有向线段共有20条.(3)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题.排列数是=9×8=72,所以选正、副班长共有72种选法.选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题.组合数是==36,所以不同的选法有36种.拓展提升(水平二)8.若∶∶=∶1∶1,则m,n的值分别为().A.m=1,n=3B.m=3,n=7C.m=2,n=5D.m=4,n=6【解析】由∶=1∶1得=,∴(m+1)+(m+2)=n+2,即n=2m+1.又∶=3∶5,∴∶=3∶5,解得m=2,n=5.【答案】C9.某单位有15名成员,其中男性10名,女性5名,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是().A.B.C.D.【解析】按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,共有种抽法.【答案】B10.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的1~7所处的位置上,其中3盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有种.【解析】7个点可组成的三角形有-5=30个,因为3盆兰花不能放在一条直线上,所以可放在三角形的三个角上,有=180种放法,再放4盆不同的玫瑰花,没有限制,放在剩余的4个位置,有=24种放法,所以不同的摆放方法为180×24=4320种.【答案】432011.第21届世界杯足球赛将于2018年夏季在俄罗斯举办,共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队按确定的顺序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问:这届世界杯总共将进行多少场比赛?【解析】可分为如下几类比赛:①小组循环赛:每组有场,8个小组共有8场;②八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,16强中每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;③四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一场,可以决出4强,共有4场;④半决赛:根据赛制规则,4强中每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;⑤决赛:2强比赛一场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛一场决出第三、四名,共有2场.综上所述,共将进行8+8+4+2+2=64场比赛.。

第9课时导数的综合应用基础达标(水平一)1.函数y=x3-4x+4的图象(如图)为().【解析】当y'=x2-4=0时,x=±2.当x∈(-∞,-2)和(2,+∞)时,y单调递增;当x∈(-2,2)时,y单调递减.当x=2时,y=-;当x=-2时,y=.【答案】A2.已知函数f(x)=+ln x,则有().A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2)【解析】f'(x)=+,x∈(0,+∞),因为f'(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(2)<f(e)<f(3).【答案】A3.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为().A.36B.18C.25D.42【解析】由x+3y=9,得y=(9-x),由x≥0,y≥0,得0≤x≤9.∴x2y=x2=-x3+3x2.设f(x)=-x3+3x2,∴f'(x)=-x2+6x.令f'(x)=0,得x=0或x=6,又f(0)=0,f(6)=-×63+3×62=36,f(9)=-×93+3×92=0.∴x2y的最大值为36.【答案】A4.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-a ln x在(1,2)上为增函数,则a 的值等于().A.1B.2C.0D.【解析】∵函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,∴≥1,得a≥2.又g'(x)=2x-,依题意g'(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立,即2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立,得a≤2,∴a=2.【答案】B5.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1在区间(-2,0)内单调递减,在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,则p的取值集合是.【解析】f'(x)=3x2-2px.由题意知,f'(-2)=0,f'(0)=0,则有12+4p=0,即p=-3.【答案】{-3}6.已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为.【解析】设g(x)=,则g'(x)=.∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上是单调递减函数.又∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,则不等式<2等价于g(x)<g(0).又∵函数g(x)在定义域上是单调递减函数,∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞).【答案】(0,+∞)7.若函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】显然函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),∴f'(x)=-2a2x+a==.当a=0时,f'(x)=>0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a>0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥,此时f(x)的单调递减区间为.由得a≥1.当a<0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥-,此时f(x)的单调递减区间为.由得a≤-.综上所述,实数a的取值范围是∪[1,+∞).拓展提升(水平二)8.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为().A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】因为f'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=ln 1-1=-1.【答案】B9.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为().A.1B.2C.3D.-1【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0,得x=.又a>,所以0<<2.令f'(x)>0,得0<x<,所以f(x)在上单调递增;令f'(x)<0,得x>,所以f(x)在上单调递减.所以当x∈(0,2)时,f(x)max=f=ln-a·=-1,所以ln=0,所以a=1.【答案】A10.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;③函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的序号是.【解析】由导函数的图象知,f(x)在区间[-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5]上单调递减,结合图象函数的最小值是1,最大值是2,故函数f(x)的值域为[1,2],①正确.由已知中y=f'(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则0≤t≤5,故t的最大值为5,即②错误.由已知中y=f'(x)的图象可得在[0,2]上f'(x)<0,即f(x)在[0,2]上是单调递减函数,即③正确.当1.5<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点,故当1<a<2时,函数y=f(x)-a可能有2,3,4个零点,即最多有4个零点,故④正确.【答案】①③④11.已知f(x)=x-ln x,g(x)=,其中x∈(0,e](e是自然常数).(1)求f(x)的单调性和极小值.(2)求证:g(x)在(0,e]上单调递增.(3)求证:f(x)>g(x)+.【解析】(1)f'(x)=1-=,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当1<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)的极小值为f(1)=1.(2)g'(x)=,令g'(x)≥0,得0<x≤e,∴g(x)在(0,e]上单调递增.(3)由(1)知,f(x)min=1.由(2)知,g(x)max=g(e)=.又g(x)max+=+<+=1=f(x)min,∴f(x)>g(x)+.。

第6课时组合问题基础达标(水平一)1.已知圆上有9个点,每2个点连一条线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有().A.36个B.72个C.63个D.126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点有=126个.【答案】D2.下列等式中不是恒等式的是().A.=(m≤n)B.(n+2)(n+1)=(m≤n)C.=(m≤n)D.=+(m≤n)【解析】因为==(m≤n),所以=(m≤n)不是恒等式,故选C.【答案】C3.12名同学合影,前排站4人,后排站8人,摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是().A.B.C.D.【解析】因为要从后排8人中抽2人,抽法种数为,插到前排,其他人的顺序不变,所以这2个人可以相邻,也可以不相邻,故插入方法为+=,故不同的调整方法总数是.【答案】C4.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有().A.10种B.20种C.36种D.52种【解析】根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有种放法;第二类,2号盒子里放3个球,有种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同的放球方法+=10种.【答案】A5.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有种.【解析】先排A,将B和C“捆绑”作为一个整体.96种.【答案】966.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参加展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为.【解析】设男生人数为x,则女生人数为6-x.16,4,故x=4,所以该小组中的女生人数为2.【答案】27.判断下列问题是组合问题还是排列问题,然后再算出问题的结果.(1)集合{0,1,2,3,4}的含3个元素的子集的个数是多少?(2)没有任何3点共线的5个点可以连成多少条线段?如果连成有向线段,共有多少条?(3)某小组有9名同学,从中选出正、副班长各1名,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?【解析】(1)由于集合中的元素是没有次序的,一个含3个元素的子集就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合.这是一个组合问题,10,所以子集的个数是10.(2)由5个点中取2个点恰好连成一条线段,不用考虑这2个点的次序,所以是组合问题,组10,连成的线段共有10条.再考虑有向线段问题,这时2个点的先后排列次序不同对应2条不同的有向线段,所以是排列问题,5×4=20,所以有向线段共有20条.(3)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题.9×8=72,所以选正、副班长共有72种选法.选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题.36,所以不同的选法有36种.拓展提升(水平二)8.m,n的值分别为().A.m=1,n=3B.m=3,n=7C.m=2,n=5D.m=4,n=61∶1∴(m+1)+(m+2)=n+2,即n=2m+1.3∶5,3∶5,解得m=2,n=5.【答案】C9.某单位有15名成员,其中男性10名,女性5名,现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习,如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是().A B C D【解析】按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则需从10名男性中抽取4人,5名女性中抽取2人,.【答案】B10.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的1~7所处的位置上,其中3盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法有种.【解析】75=30个,因为3盆兰花不能放在一条直线上,所以可放在三角形的三个角上,180种放法,再放4盆不同的玫瑰花,没有限制,放在剩余的4个位置,24种放法,所以不同的摆放方法为180×24=4320种.【答案】432011.第21届世界杯足球赛将于2018年夏季在俄罗斯举办,共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队按确定的顺序进行淘汰赛,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三、四名,问:这届世界杯总共将进行多少场比赛?【解析】可分为如下几类比赛:①小组循环赛:,8个小组共有;②八分之一淘汰赛:8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,16强中每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;③四分之一淘汰赛:根据赛制规则,8强中每两个队比赛一场,可以决出4强,共有4场;④半决赛:根据赛制规则,4强中每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;⑤决赛:2强比赛一场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛一场决出第三、四名,共有2场.综上所述,共将进行8+4+2+2=64场比赛.。