2013年暨南大学601高等数学考研真题2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题学科、专业名称：理论物理、凝聚态物理、光学、生物医学工程（理学） 研究方向：考试科目名称：601高等数学（副卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
本试卷满分为150分，考试时间为3小时。
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上）1．22201cos lim ___________sin x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 2．arcsin d ________________xxe x e =⎰． 3．函数2ln(1)x y u e y +=++的全微分是d _________________.u =4．曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)P -处的法线方程是 ． 5．微分方程3dy x y x dx +=的通解为 ． 6．设2{(,)0,2}D x y x y x =≥≤-，则3d ___________Dy σ=⎰⎰．二、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设()f x 有任意阶导数，且2()[()]f x f x '=，(0)2f =，2n ≥，则()(0)n f =（ ）A ．2n nB ．0,C ．1!2n n +,D ．22．考虑二元函数下面性质①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；②(,)f x y 在点00(,)x y 处可微；③(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在；④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续；则下面结论正确的是（ ）A ．①⇒②⇒③B ．④⇒②⇒①C ．②⇒①⇒③D ．①⇒③⇒④3．行列式A 不等于零的充分条件是（ ）A ．A 的所有元素非零；B ．A 至少有n 个元素非零C ．A 的任意两行元素之间不成比例D ．以A 为系数行列式的线性方程组有唯一解4．已知两直线21221x y z +-==-和13142x y z n ---==相平行，则数n =（ ） A ．4-B ．4C ．2-D ．25．方程d d y x=(0)y ≤≤∞，过点(0,0)有（ ） A ．一个解B ．两个解C ．无数个解D ．三个解6．函数z u xy e =+在(1,1,0)处沿{1,1,1}l =-的方向导数以及u 在该点的梯度分别是（ ）Ai j k ++， B ．i j k -+ C ．2,i j k -+， D ．2,i j k ++三、计算题（本题共5小题，每小题10分，共50分）1．过(1,0)P作抛物线y =求该切线与抛物线及x 轴围成图形绕x 轴旋转体的体积．2．已知lim )0x ax b →+∞-=，求常数,.a b 3．设A 是n 阶矩阵，有特征值1,2,,n ，求82E A +．4．求通过点(3,0,0)和点(0,0,1)且与xOy 平面成3π角的平面方程． 5．求级数1(1)21nn n x n x ∞=-⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 的收敛域．四、计算题（本题共3小题，每小题12分，共36分）1．求坐标原点到曲线2221:21x y z C x y z ⎧+-=⎨--=⎩的最短距离，并问：原点到C 有没有最大距离？为什么？2．已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2，（1）求a 的值；（2）求正交变换x Qy =，把123(,,)f x x x 化成标准型．3．求微分方程''2'3x y y y e --+=的通解．五、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1．设()f x 在[0,1]上连续且严格单调减少，试证明：当01λ<<时100()d ()d f x x f x x λλ>⎰⎰．2．设实对称矩阵A的所有特征值都等于1，证明：A为正交矩阵．。
