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解直角三角形_1

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解直角三角形
教学建议 1．知识结构： 本小节主要学习的概念，直角三角形中除
直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2．重点和难点
分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是
直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要
使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的
关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键. 3.
深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.
锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是
边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，
但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与
其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，
解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 如：已知直角
三角形ABC中，，求BC边的长. 画出图形，可知边AC，BC和三个
元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式，
由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，
得. 即得BC的长为. 又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一
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条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小. 画出图形，
可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是 也就是 这
时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三
角函数表，得. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转
化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的
重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5.
注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述（3）可以看
到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的
是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角
三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角
形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看
下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未
知的角（如图） 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出
BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为
两个的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在
Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求
出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解
法如下： 解：作于D，在Rt中，有 ； 又，在Rt中，有 ∴ 又， ∴
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于是，有 由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的
途径和方法是十分重要的，如 （1）作高线可以把锐角三角形或钝角
三角形转化为两个直角三角形. （2）作高线可以把平行四边形、梯
形转化为含直角三角形的图形. （3）连结对角线，可以把矩形、菱
形和正方形转化为含直角三角形的图形. （4）如图，等腰三角形AOB
是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，
OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角. 6. 要善于把某
些实际问题转化为问题. 很多实际问题都可以归结为图形的计算问
题，而图形计算问题又可以归结为问题. 我们知道，机器上用的螺丝
钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的
（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，
问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初
始角应是多少度多少分？ 据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以
看作一个直角三角形，直角边AC的长为， 另一条直角边为螺钉推进
的距离，所以， 设螺纹初始角为，则在Rt中，有 ∴. 即，螺纹的初
始角约为 . 这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽
象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的
意识和能力.
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人教版九年级数学下册精品教学课件 第二十八章 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 第一课时

人教版九年级数学下册精品教学课件 第二十八章 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 第一课时


新课讲解
归纳：（1）在直角三角形的六个元素中，除直角 外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一 条边），就可以求出其余的三个元素． （2）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程就是解直角三角形． （3）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边 和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和 一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
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课堂小结
1．解直角三角形的概念 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的 过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型及方法 （1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和 一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一 个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
课堂小结
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角 三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系． 在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边） 用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）， 宁乘勿除，尽量采用原始数据．
第28章：锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用（1）
人教版·九年级下册
导入新课
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意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔 顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发 生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然 屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而 且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌 的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维 修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心 线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．
导入新课
C 垂 直 中 心 线Ө
A
B
如果要求你根据
塔 身
上述信息，用
中 “塔身中心线与
第20讲 解直角三角形 2025年中考一轮数学专题复习课件(湖南)(共24张PPT)

第20讲 解直角三角形 2025年中考一轮数学专题复习课件(湖南)(共24张PPT)


的长为 1 .
5. 在△ ABC 中， AB ＝3 6 ， AC ＝6，∠ B ＝45°，则 BC
＝ 3 ＋3或3 －3 .
⁠
⁠
第4题图
易错点·综合点
6. (2024·浙江)如下图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC ， AE 是 BC 边上
的中线， AB ＝10， AD ＝6，tan∠ ACB ＝1.
例2 (2023·长沙) 如下图，神舟十六号载人飞船在发射的过程
中，飞船从地面 O 处发射，当飞船到达 A 点时，从位于地面 C
处的雷达站测得 AC 的距离是 8 km，仰角为30°；10s 后飞船到
达 B 处，此时测得仰角为 45°.
(1) 求点 A 离地面的高度 AO ；
解：在Rt△ AOC 中，
(2)求飞船从 A 处到 B 处的平均速度.(结果保留根号)
OA ＝ 4 km

V平均速度＝
S AB ＝ OB － OA
( 10 )
OB ＝ OC
解：在Rt△ AOC 中，
∵∠ AOC ＝90°，∠ ACO ＝30°， AC ＝8km，
OC ＝ AC cos30°

∴ OC ＝ AC ＝4 km.

∴ OE ＝
＝ ＝4 .
∠

∴ OB ＝ OE ＋ BE ＝(4 ＋4)海里.
∴观测站与灯塔 B 之间的距离为(4 ＋4)海里.
易错点·综合点
4. 如下图，在△ ABC 中，∠ B ＝45°，∠ C ＝60°， AD ⊥ BC
于点 D ， BD ＝ 3 .若点 E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则 EF

在Rt△ BOC 中，∵∠ BOC ＝90°，∠ BCO ＝45°，
中考一轮复习 解直角三角形的 五种常见类型

中考一轮复习 解直角三角形的 五种常见类型

解直角三角形的五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。

中考全景透视一轮复习课件(第25讲解直角三角形及应用)

中考全景透视一轮复习课件(第25讲解直角三角形及应用)


半圆 O，点 C 恰在半圆上，过 C 作 CD⊥AB 交 AB 于
D，已知 cos∠ACD＝35，BC＝4，则 AC 的长为(
)
A．1
B.
20 3
C．3
D.
16 3
解 析 ： ∵AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， ∴∠ACB ＝ 90°.∵CD⊥AB ， ∴∠ADC ＝ 90°.∴∠ACD ＝ ∠B. 在 Rt△ABC 中，∵cos B＝cos∠ACD＝35，BC＝4，即BACB
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C
的对边，如果 a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是
(A)
A．csin A＝a
B．bcos B＝c
C．atan A＝b
D．ctan B＝b
解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.∵sin A＝ac，
∴csin A＝a，∴A 正确．故选 A.
5．(2014·毕节)如图是以△ABC 的边 AB 为直径的
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝α，AC
＝3，那么 AB 的长为( D )
A．3sin α
B．3cos α
3 C. sin α
3 D. cos α
解析：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cos α＝AACB，
∴AB＝cAosCα＝co3s α.故选 D.
(3)边角之间的关系： sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab， sin B＝bc，cos B＝ac，tan B＝ba.
3．解直角三角形的类型 已知条件
解法
两直角边 (如 a，b)
由 tan A＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A； c＝ a2＋b2