建模论文

- 1 - 邢台学院数学系 10专接本1班 19号 周晓娟 输油管的布置 摘要 本题要求我们解决输油管的布置问题。题目要求我们根据不同的情形建立数学模型，设计出一个输油管的合理布置以及车站的合理设置方案，并用模型求解两个具体的输油管的布置实例。 我们建立数学模型的方法是：写出问题的目标函数，把问题化为求目标函数值最小的最优化问题。 我们通过建立直角系来分析问题，对于问题一，我们写出铺设管线费用的函数，利用求偏导的方法，得出具体当12MM时和当12MM时管线的铺设方案。对于问题二和问题三，考虑了城区的管线需要增加拆迁和工程补偿等附加费用，为了对此项附加费用进行估计，由三个公司给出了估值，此时涉及到权重的问题，三个公司的权重系数分别为321,,，则321*20*24*21k作为拆迁和工程补偿的附加费用。我做出相应的数学规划，利用LINGO软件编程求解，得到了管线铺设方案和最小费用。

关键词：管线辅设；最小费用；权重；LINGO；非线性规划；偏导 一 问题提出

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线时，考虑共用管线费用与非共用管线费用相同和不同的情形。 对一更为复杂的情形进行具体的设计。已知两炼油厂的具体位置，其中A厂位于郊区，B厂位于城区，所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。但铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请了三家工程咨询公司（其中一家具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算并给出估算结果，为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用不变。为设计院给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二 模型假设 - 2 - 邢台学院数学系 10专接本1班 19号 周晓娟 （1）假设两炼油厂及新增火车站视为质点A，B，P； （2）铁路是平直的，铺设的管线是直的； （3）假设对于共用管线时，接口处的管线费用不计； （4）管线建设费用只考虑管线的铺设费用及拆迁和工程补偿费用，其它费用不计； （5）假设铺设管线时不会受地质影响； （6）假设拆迁和工程补偿等附加费用为 （7）根据公司资质不同，有工程造价咨询资质等级申报标准我们取 从而得出作为铺设在城区管线的拆迁和工程补偿；

三符号说明 a:炼油厂A离铁路的垂直距离

b：炼油厂B离铁路的垂直距离

l:炼油厂A与B的水平距离

k：拆迁和工程补偿等附加费用

1M：每千米铺设非共用管线的费用

2M：每千米铺设共用管线的费用

i：三家工程咨询公司的权重系数（i=1，2，3）

1L:无共用管线时所铺设管线的距离

2L：由共用管线时所铺设管线的距离

iG：各种情况下最小费用（i=1，2，3，4，5，6，7，8）

四 问题分析

问题一的分析：针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同及12MM和12MM的情况进行讨论，找出什么情况下应铺设公共管线和什么情况下不需铺高公共管线。若有共用管经，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或同的情形，并求相应的最小费用。 问题二的分析：问题二中考虑了郊区与城区管线铺设费用的不同，因此在考虑总费用最省的时候，既要考虑到郊区铺设管线的距离最短也要考虑到城区铺设管线的距离最短。对于拆迁和工程补偿等附加费用的估计，此时涉及到权重的问题，三个公司的权重系数分别为：则321*20*24*21k作为拆迁和工程补偿的附加费用。根据公司4.21k

12321*24*20*k1230.6,0.2,0.221.4k

123,,- 3 - 邢台学院数学系

10专接本1班 19号 周晓娟 资质不同，我们取1230.6,0.2,0.2作 ,从而得出作为铺设在城区管线的拆迁和工程补偿等附加费用. 问题三的分析:此题中仅是改变了1M和2M的值,并且k值与总问题二相同,只需将数据代入即可。 五 模型的建立与求解

1．问题一模型建立与求解 根据问题一进行分析，建立坐标系。以铁路为X轴，以垂直于铁路且过A炼油厂的直线作为Y轴。设A到铁路的距离为a，B到铁路的距离为b，到Y轴的距离为l。O为非共同管线与共同管线的接点。P为车站。通过分析可以建立两种方案。 （1）没有共同管线。如图1。（程序见附录1）

由 铺设管线的最小距离： 分析： 当a=0时x=0 车站与A炼油厂建在同一位置 当b=0 时x=0 车站与B炼油厂建在同一位置 当l=0 时x=o 车站与A炼油厂、B炼油厂共同建在Y轴上。 当a≠0 b≠0 l≠0时，，车站p建立在 o处，坐标为（baal，0） （2）有共用管线，A炼油厂与B炼油厂在O点相接， OP为共用管线的距离。车站建在P点。如图2

铺设管线的最小距离 根据问题一的分析。对于共用管线和非共用管线费用问题存在相同和不同两种情况。 1） 当21MM时。

22221)(bxlaxL

0x

L得

A (0,a) B（l,b）

O p (x,0)

Y X 图（2）有共用管线

A (0,a) B（l,b）

O (x,0)

X

Y 图(1) 无共用 221)(lbal

yybxlyaxL22222)()()(2)3(2lbal

00y

L

xL见附录2 32)(32)(3lbaylbax



baalx- 4 - 邢台学院数学系

10专接本1班 19号 周晓娟 对于方案一：111lMG 对于方案二：212lMG 2） 当21MM时。 对于方案一：113lMG 对于方案二：

（见附录3） 上述结果在给出a b l和1M、2M的值后，可以求出x,y. 然后将其代入公式便可求出1G 2G 3G 4G

2.问题二的模型建立与求解 在问题一的基础上问题二又增加了郊区与城区的区别。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，以致铺设管线总费用有了相应的改变。分以下两种情况。 2.1首先考虑无共用管线的情况。

如图（3），假设管线在郊区与城区的交点为坐 标D（15，y），列出下列模型。

由问题二的分析知a=5，b=8，c=15，l=20。根据甲，乙，丙三公司的资质不同，此时考虑权重问题，同工程造价咨询资质等级申报标准，我们取6.01，2.032，从而得出K=21.4，作为铺设在城区管线的拆迁和工程补偿等附加费用。 得出数学模型：

B（20,8）

A (0,5)

O (x,0)

X

Y D（15,y）

E(20,0)

图（3）无共用管线

))8(25(4.21))8(25()15(5(2.72222225yyyxxG

yMybxlyaxMG2222214))()()((0044y

G

xG

2212212)()()()()()(ybxlybMayxyaMMybayalx



- 5 - 邢台学院数学系

10专接本1班 19号 周晓娟 条件 要使总费用最小，可用LINGO软件编程求解，（见附录4），得到最优解为：

即车站建在离炼油厂A的水平距离为6.149700千米的铁路线上，并且管线在城区与郊区的分界线上交点D的坐标为（15，7.195717）时费用最少，最少费用为284.0304万元。

2.2考虑共用管线时的情况：

类似于2.1已知数值a=5，b=8，c=15，l=20，k=21.4，得到数学模型： 条件 再利用LINGO软件进行编程，（见附录5）可得到最优解：

即车站建于离炼油厂A的垂直距离为5.451345千米的铁路线上，共用管线的长度为1.852665千米，并且管线在城区与郊区的分界线上交点F的坐标为（15，7.365583）时费用最少，最少费用为282.1934万元。

图（4）有共用管线 B（20,8）

A (0,5)

P (x,0)

X

Y D（15,z）

E(20,0)

O（x，y）

))8(25((4.21))8(25()()15()5((2.72222226zyzyzxyxG8080200zyx

80200yx1.284min195.7149.65Gyx

1934.282min365583.7852665.1451345.56Gzyx