2009-2015 几何大题
2009 22．（本题满分 5分）已知抛物线 C ：2
2(0)
x py p =>上一点到其 (,4)A m 焦点的距离 为
17
4
． （I ）求p 与m 的值；
（II ）设抛物线上 C 一点的横坐 P 标为(0)t t >，过的直线
交 P C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点作的垂 Q PQ 线交于另一 C 点N ．若是的切线 MN C ，求的最小值 t ．
（Ⅰ）由抛物线方 程得其准线 方程：2
p
y -
=，根据抛物线 定义 点到焦点的 )4,(m A 距离等于它 到准线的距 离，即41724=
+
p ， 得2
1
=p ∴抛物线方程 为：y x =2
，将代入抛物 )4,(m A 线方程， 得2±=m
（Ⅱ）由题意知，过点的直线 ),(2
t t P PQ 斜率存在且 不为0，设其为k 。
则)(:2
t x k t y l PQ -=-，当,,02k kt t x y +-=
= 则)0,(2k
kt
t M +-。 联立方程⎩
⎨⎧=-=-y x t x k t y 2
2)(，整理得：0)(2=-+-t k t kx x 即：0)]()[(=---t k x t x ， 得,t x =或t k x -=
))(,(2t k t k Q --∴，而QP QN ⊥，∴直线斜率为 NQ k
1
-
)]([1)(:2
t k x k t k y l NQ
---=--∴，联立方程⎪⎩
⎪⎨⎧
=---=--y x t k x k
t k y 22)]
([1)( 整理得：0)()(1
122=----+
t k t k k
x k x ，即：0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx ， 得：k
t k k x 1
)(+--
=，或t k x -=
)]1)([,1)((2
2
k
t k k k t k k N +-+--∴)1()1(1)(]1)([2222222
--+-=
+--
+--+-=∴k t k kt k k
kt t k t k k k t k k K NM
而抛物线在 点N 处切线 斜率：k
t k k y k k
t k k x 2
)(21
)(---=
'
=+--
=切
MN 是抛物 线的切线，k t k k k t k kt k 2
)(2)
1()1(2222---=
--+-∴， 整理得02122=-++t tk k
0)21(422≥--=∆t t ， 得32-≤t （舍去），或32≥t ，3
2
min =∴t
2010（22）、（本题满分15分）已知m 是 零实 ，抛物线2
:2C y ps =（p>0）
的焦点F 在直线2
:02
m l x my --=上。 （I ）若m=2，求抛物线C 的方程
（II ）设直线与抛l 物线C 交于A 、B ，△A 2A F ,△1BB F 的 分 为G ,H
求 ： 意 零实 m ,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在 线段GH 为直 的
。
Ⅰ) ：因为焦点F (
2
P ,0)在直线l 上，得2
m ρ=又m=2,故4ρ=
抛物线C 的方程为22
2y m x =设A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2)由消去x 得2
22,22,m x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
y 2－2m 3y －m 4＝0，由于m ≠0，故∆＝4m 6＋4m 4＞0，且有y 1＋y 2＝2m 3，y 1y 2＝－m 4， 设M 1，M2分 为线段AA1，BB1的 点，由于212G ,2,M C F M H HF ==
可知G （112,33x y ），H （22
2,33
x y ）， 2421212(),6636x x m y y m m m +++==+ 3
12222,63y y m += GH 的 点M 4222,3
63m m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 设R 是 线段GH 为直 的 的 ，则2222211
||(4)(1)49
R GH m m m =
=++ 设抛物线的标准线与x 轴交点N 2(,0)2m -，则2
423222||(
)2363m m m m MN ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
=
19m 4(m 4+8 m 2+4)=19m 4[(m 2+1)( m 2+4)+3m 2]＞1
9
m 2 (m 2+1)( m 2+4)=R 2. 故N 在 线段GH 为直 的 .
2011（22）（本小题满分15分） ，设是抛物线P 1C ：2x y =上的 点。过点 的P 2C 两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。
（Ⅰ）求的 到2C M 抛物线 1C 准线的距离。
（Ⅱ）是 存在点P ， 线段 抛AB 物线在点处1C P 得切线 分，若存
在，求 点的坐P 标；若不存在， 理由。
2012 22. （本题满分 4分） ，在直角坐标 系xOy ，点
1(1,)2P 到抛物线的 :2(0)C y px P =>准线的距离
为5
4
。点是上的定 (,1)M t C 点，,A B 是上的两 C 点，且线段 直 AB 线
OM 分。
（1）求,p t 的值。
（2）求面积的最 ABP ∆大值。
