不规则图形面积滚动问题
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不规则图形面积的求法、平面图形的滚动问题 ► 类型之一 求不规则图形的面积 方法一 割补法 1．如图7－ZT－1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4 2，则图中阴影部分的面积为( )
A．π＋1 B．π＋2 C．2π＋2 D．4π＋1
图7－ZT－1 图7－ZT－2 2．如图7－ZT－2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于点E，连结DE，则阴影部分的面积为( )
A.π2－2B.π2－22C．π－2D．π－22
3．如图7－ZT－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1.将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动地滚动，点A再次落在x轴上时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为________．
图7－ZT－3 图7－ZT－4 4．如图7－ZT－4，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为________． 方法二 覆盖法 图7－ZT－5图7－ZT－6 5．如图7－ZT－5，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为________．
6．如图7－ZT－6，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与AB︵相交于点D，以
点O为圆心，OC的长为半径作CE︵交OB于点E，若OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
方法三 用旋转法求图形的面积 7．如图7－ZT－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为( )
A.1312π B.34π C.43π D.2512π
8．如图7－ZT－8，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A′的位置，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B．2π C.π2D．4π
图7－ZT－7图7－ZT－8 图7－ZT－9 9．如图7－ZT－9，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的区域(阴影部分)的面积为( )
A.π2B．(2－3)πC.2－32πD．π
10．如图7－ZT－10，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的AC︵，AG︵与线段CG所围成的阴影部分的面积．
图7－ZT－10 ► 类型之二 平面图形的滚动问题
图7－ZT－11 11．如图7－ZT－11，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( )
A．2017π B．2034πC．3024π D．3026π 12．如图7－ZT－12，水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB，半径OA＝6 cm，
且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则点O移动的距离为 ________．
图7－ZT－12 图7－ZT－13 13．如图7－ZT－13，在扇形AOB中，OA＝10 cm，∠AOB＝36°.若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A′O′B，其中点A在O′B上，则点O的运动路径长为______cm.(结果保留π)
14．如图7－ZT－14，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按图中所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是________．
图7－ZT－14 15．如图7－ZT－15，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图①的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图②的位置．若正六边形的边长为2 cm，则正六边形的中心O运动的路程为________cm.
图7－ZT－15 16．如图7－ZT－16，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为________．
图7－ZT－16 17．如图7－ZT－17，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上． (1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标； (2)求点B旋转到点B′的路径长(结果保留π)．
图7－ZT－17 详解详析 1．B[解析] 考查圆中阴影部分不规则图形面积的求解．连结OD，采用分割法，把阴影部分分成两部分，即S阴影＝S△BOD＋14S圆．由AB＝AC，∠ABC＝45°，BC＝4 2，得△ABC
是等腰直角三角形，由勾股定理求得⊙O的直径为4，则OA＝OB＝OD＝2，S阴影＝S△BOD＋14S圆＝12×2×2＋14π×22＝π＋2. 2．A[解析] 如图，连结AE， ∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2， ∴AE＝AD＝BC＝2. 在Rt△ABE中，
∵BE＝AE2－AB2＝22－（2）2＝2， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝45°， ∴∠DAE＝45°， ∴S阴影＝S扇形DAE－S△DAE
＝45π×22360－12×2×2 ＝π2－2. 故选A. 3．π＋12[解析] 如图，S＝S扇形ABA′＋S△BC′A′＋S扇形A′C′A″＝135360π×(2)2＋12＋14π＝π＋
12. 4.83π－2 3[解析]∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴CE＝BC＝4， ∴CE＝2CD， ∴∠DEC＝30°， ∴∠DCE＝60°， 由勾股定理，得DE＝2 3，
∴阴影部分的面积＝S扇形CEB′－S△CDE＝60π×42360－12×2×2 3＝83π－2 3. 5.π12＋32[解析] 如图，连结OE，AE.
由CE⊥OA，C为OA的中点可得△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，CE＝3， ∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD－(S扇形AOE－S△COE)
＝90π×22360－90π×12360－60π×22360－12×1×3 ＝34π－23π＋32 ＝π12＋32.
6.43π＋2 3[解析] 如图，连结OD，AD,
∵CD⊥OA，∴在Rt△DOC中，OC＝12OA＝12OD，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴S扇形AOD＝60π×42360＝83π， ∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD) ＝120π×42360－120π×22360－83π－12×2×2 3 ＝163π－43π－83π＋2 3 ＝43π＋2 3.
7．D[解析] 由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝5.由旋转的性质可知△ABC≌△ADE，
且∠DAB＝30°.∴S阴影＝S△ABC＋S扇形ADB－S△ADE＝
S扇形ADB＝30π×52360＝2512π.故选D.
8．B[解析]S阴影＝S扇形ABA′＋S半圆－S半圆＝S扇形ABA′＝45×π×42360＝2π.
9．D[解析]∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°， ∴BC2＋AC2＝AB2，即AB2－AC2＝BC2.
∵整个图形的面积＝S△ABC＋S扇形BAD＝S阴影＋S扇形CAE＋S△AED，又S△ABC＝S△AED，
∴S阴影＝S扇形BAD－S扇形CAE＝90π·（AB2－AC2）360＝90π·BC2360＝π. 10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°. ∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA， ∴△BFA≌△BEC， ∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC， ∴∠AFB＋∠FAB＝90°. ∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG， ∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG， ∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB， ∴EC∥FG. ∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴EF∥CG. (2)∵△BFA≌△BEC，
∴BF＝BE＝12AB＝1，
∴AF＝AB2＋BF2＝5. 在△FEC和△CGF中， ∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF， ∴△FEC≌△CGF， ∴S△FEC＝S△CGF.
∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝90π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4.
11．D[解析] 转动第一次点A经过的路线长是90π×4180＝2π，
转动第二次点A经过的路线长是90π×5180＝52π， 转动第三次点A经过的路线长是90π×3180＝32π， 转动第四次点A经过的路线长是0， 转动第五次点A经过的路线长是2π.
