[首发]广东省广州、深圳市学调联盟2020届高三第二次调研考试数学(理)试题

广东省深圳市2019-2020学年第二次（4月）调研考试高三理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,集合,集合,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可得，则，则，应选答案A。

2. 若复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为，所以，，复数对应的坐标为，复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 下列命题中的假命题是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B错误，故选B。

考点：特称命题与存在命题的真假判断。

4. 各项都是正数的数列满足,且,则( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题设可得，则数列是等比数列，则，即，所以，则，应选答案A。

5. 在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为,点为椭圆上一点,且的周长为12,那么的方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，又椭圆的定义可得，即，所以，则椭圆方程为，应选答案D。

6. 已知关于的方程在有两个不等的实根,则的一个值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，又，所以，则，由题意应选答案D。

7. 如图所示的流程图,若输入某个正整数后,输出的,则输入的的值为( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】由题设中提供的算法流程图可知：；；；，又由题意，即，也即，则，应选答案C。

8. 如图所示是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】C9. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；又时，，即，应选答案B。

2020年广东深圳市高三数学第二次调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第5页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共50分)注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B 铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回． 参考公式：(1)如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； (2)如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )；一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列{n a }中，已知42=a ，83=a , 则4a 的值为A ．16B ．14C ．12D ．10 2．抛物线24x y =的准线方程是A ．1-=xB ．1-=yC ．161-=x D ．161-=y 3．函数x x y cos sin 3+=的一个单调增区间是A ．]3,32[ππ- B ． ]6,65[ππ- C ． ]34,3[ππ D ． ]67,6[ππ4．在6)1(-x 的展开式中，x 的指数为奇数的所有项的系数和为A ．64B ． 0C ．32D ．32-5．已知直线l ，平面α、β，满足βα⊄⊄l l ,．在βααβ⊥⊥,,//l l 这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构造的命题中，真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．已知圆024:22=++-+f y x y x C 与y 轴交于A 、B 两点，若0=⋅，则f 的值等于A ．3-B ．3C ． 8D ．22 7．已知函数)(x f 满足1)21()(+=x x f ，)(1x f-是)(x f 的反函数，则函数)1(1-=-x fy 的图象是A ．B ．C ．D ． 8．集合}0))((|{},012|{<--=<+-=b x a x x B x x x A ，若“2-=a ”是“∅≠B A I ”的充分条件，则b 的取值范围是A ．1-<bB ．1->bC ．1-≥bD ．21<<-b9．已知⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=]1,0(22]0,1[1)(x x a x x ax x f ，若)(lim 0x f x →存在，则)(x f 的最大值是 A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 10.当y x ,满足条件1<+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是 A ．)3,3(- B ．)31,31(- C ．)31,21(- D ．)21,31(-第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项:第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二． 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．11．已知非零向量a ρ、b ρ满足b a b a ρρρρ⋅=⋅2，则a ρ与b ρ夹角的大小为 ．12．已知复数yi x z +=),(R y x ∈，满足0)1(=++i z i ，则22y x +=________． 13．将4名大学生分配到3个企业去实习，不同的分配方案共有 种；如果每个企业至少分配去1名学生，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）． 14．如图，11=OA ，直角三角形),3,2,1(1Λ=+n A OA n n 的直角边n A A n n =+1，记n n OA a =),3,2,1(Λ=n ，则数列}{n a 的通项公式为 ．三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）已知02cos 22sin =-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；O1A 2A 3A 4A 5A 6A ┌└（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o ．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．18．（本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；ABCD1A 1B 1C（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求)(lim n n n b S +∞→的值．20．（本题满分14分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．[参考答案]说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分(第13题前空2分，后空3分)，满分20分．11． ο60 ． 12．21 ． 13．81；36． 14．222+-n n ．三、解答题15．（本题满分12分）已知02cos 22sin=-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x， ………………………2分3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ． …………………5分 （Ⅱ） 原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=…………………10分1cot +=x1)43(+-= 41=． …………………12分16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ．答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分 （Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． …………11分 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C BA 的侧棱长为x ．取BC 中点E，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥． 又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． ……………2分在AED Rt ∆中，tan 45AEED==o，解得x =． …………3分∴此正三棱柱的侧棱长为． ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又ABD 1A 1B 1C EFG H I1,sinCDBE EBFBD=∠===∴EF=．又AE=∴在AEFRt∆中，tan3AEAFEEF∠==．…………………………8分故二面角CBDA--的大小为arctan3．…………………………9分解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，∴过E作EG AF⊥于G，则EG⊥平面ABD．…………10分在AEFRt∆中，10AE EFEGAF⨯===． (12)分Q E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为2EG=．…………13分解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由,CA CB=DA DB=，易得平面ABD⊥平面CHD，且交线为DH．过点C作CI DH⊥于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCDV V--=可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D-设1(,,)n x y z=r为平面ABD的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,021nABnρρ得yy⎧=⎪-=取1(n=u r…………6分1又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r…………7分∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． …………8分结合图形可知，二面角C BD A --的大小为． …………9分 （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(n =ur(0,CA =-u u u r …………10分∴点C 到平面ABD的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分 18． （本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率．如遇考生直接根据椭圆的有关性质推导出这个结论，可酌情给分．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求)(lim n n n b S +∞→的值．解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ． …………………………2分 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ； …………………………4分 当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-． …………………………6分 因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ． ………………… 7分 （注：如遇考生用数学归纳法推证通项公式，可酌情给分）（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=， ……………………8分 n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ ……（1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（2） （1）、（2）两式相减， 得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S Λ ……………10分 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴． …………………………12分 （Ⅲ）n n n n n n n b S )21(43)21()12()21()32(3⋅-=⋅-+⋅+-=+Θ，∴3)(lim =+∞→n n n b S ． …………………………14分 20．（本题满分14分） 已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ． （Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-， 又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ． (2)由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根， ⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ， 即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分 把（*）式代入（3），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数， ∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ， 则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ． 依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅， 即)]64()n 64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+nn Θ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ，3136<∴m ． 由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a Λ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分 当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅， 解得3136<m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。

取 B1D1 的中点 Q ，由 D1GN ∽
QFN
可得
D1N
1 2
QN
，所以
B1N
5 6
B1D1
，
由 BEM ∽
DCM
可得
BM
1 2
DM
DM
，所以
2 3
DB
，
DM 4 由 B1D1 BD 可得 B1N 5 ，
DO DM 4 由 DMO ∽ B1NO 可得 OB1 B1N 5 .
故选：A.
【点睛】本题考查了平面的性质和平面相交的性质，考查了空间思维能力和转化化归思想，
点
3,1
和
4,
6
在直线
3x
2
y
a
0
的两侧，
3 3 21 a 3 4 2 6 a 0 即 a 7a 24 0 ，
解得 7 a 24 .
故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为 不等式，属于基础题.
f
x
(a
1)x 2
3a,
x
1,
∴
，
故选 D ．
6.已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为
1 的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A. 2
【答案】D
B. 6 2
1 C. 3
D. 2 2
【解析】
【分析】
由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.
【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为 2 2 可知该四棱锥的底面积 S 2 2 ，
f
x
sin
2x
π 3

的中点．直线
DB1 与平面
EFC
的交点 O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−
π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
_________.
16．在平面直角坐标系中，过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(
a b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，
C 为椭圆的右焦点，且 ABC 是等腰直角三角形，且 A = 90 ，则椭圆的离心率为
．
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）