高三数学立体几何专题复习

2010高考数学第一轮复习教、学案__立体几何第58讲：平面的性质与直线的位置关系（一）平面的概念和性质1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸. 2．平面的基本性质 公理1.线的在平面内.用途：①作为判断和证明是否在平面内；②证明点在某平面内；③检验某面是否平面. 公理2两个平面的交线.用途：①判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；④证明三线共点.公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点，推论2:经过两条相交直线.推论3:经过两条平行直线用途：①确定平面的依据，②证明两个平面重合的依据，③空间问题平面化的理论依据和具体办法.3．证明直线共面通常的方法：①先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内；②分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合；③共面向量定理来证明.4．异面.定义—— 判定： 5．求两条异面直线所成的角，①平移法：“作（找）—证—算”.注意，范围；②向量法：设,a b 分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||arccos ||a ba b α=； 6．两条异面直线的公垂线定义：和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线；7．两条异面直线的距离：①定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.②计算方法：①公垂线法；②转化成线面距离(点面距离)；③转化成面面距离.8．公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.9．等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等. 推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两条直线所成的角相等.二、双基题目练练手1.共点的四条直线最多可以确定_______平面；互不相交的三条直线可以确定_______平面.2. 对平面α和共面的直线,m n 下列命题中真命题是 ( ) （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若,m n 与α所成的角相等，则m ∥n3. 直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有（ ）4．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则PQ 与SR 一定是异面直线的是RR三、经典例题做一做例1.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. （1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解∵FBCFEBAE==2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH， 且平面EFGH∩平面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH. ∴GDCGHDAH==3,即AH∶HD=3∶1.（2）证明∵EF∥GH,且31=ACEF，41=ACGH， ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD， P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解（1）不是异面直线.理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点.∴MN∥A1C1，又∵A1A D1D，而D1D C1C,∴A1A CC1，∴四边形A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线.证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.例3在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解取AB的中点F，连接EF，DF， ∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.在Rt△POB中，∵BO=AB²sin30°=1，又PO⊥OB，∴PO=BO²tan60°=3. 在Rt△AOB中，AO=AB²cos30°=3=OP，∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=26. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=3，由余弦定理得 ∴cos∠DEF=EFDEDFEFDE·2222-+=4223462632)3(26)3(222==⨯⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为42.例4.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O. 求证：B、D、O 三点共线. 证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD ， ∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD . ∴EH ⊂平面ABD . ∵EH ∩FG =O ，∴O ∈平面ABD . 同理可证O ∈平面BCD ， ∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，即O ∈BD ， 所以B 、D 、O 三点共线.例5.在正方体AC 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG . 求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1.证明 由已知得E 是CD 的中点，在正方体中，由于A ∈平面ABCD ， E ∈平面ABCD ， 所以AE ⊂平面ABCD . 又AE ∩BC =F ， 从而F ∈平面ABCD . 同理G ∈平面ABCD ，所以FG ⊂平面ABCD .因为EC21AB ，故在Rt △FBA 中，CF =BC ，同理DG =AD . 又在正方形ABCD 中，BC AD ，所以CF DG ，所以四边形CFGD 是平行四边形， 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1.沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮第58讲：平面的性质与直线的位置关系（一）平面的概念和性质1．平面的概念：2．平面的基本性质： 公理1.用途：① ；② ；③ . 公理2 .用途：① ；② ；③ ；④ .公理3： .推论1: ，推论2: .推论3: 用途：① ，② ，③ .3．证明直线共面通常的方法：① ；② ；③ .4．异面直线定义——异面直线判定① ② 5．求两条异面直线所成的角，① ；②向量法： ；6．两条异面直线的公垂线定义： ；7．两条异面直线的距离：①定义： .②计算方法：1） ；2） ；3） .8．公理4 ： .9．等角定理： .推论: .（二）、双基题目练练手1.共点的四条直线最多可以确定_______平面；互不相交的三条直线可以确定_______平面.2. 对平面α和共面的直线,m n 下列命题中真命题是 ( ) （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若,m n 与α所成的角相等，则m ∥n3. 直线a 、b 相交于点O 且a 、b 成60°角，过点O 与a 、b 都成60°角的直线有（ ）4．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则PQ 与SR 一定是异面直线的是RR三、经典例题做一做例1.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB =CF ∶FB =2∶1，CG ∶GD =3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连接EH . （1）求AH ∶HD ；（2）求证：EH 、FG 、BD 三线共点.例2 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：（1）AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； （2）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.例3在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.例4.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O . 求证：B 、D 、O 三点共线.例5.在正方体AC 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG . 求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1.沙城中学补习班数学第一轮复习作业 编录：刘世亮第58练平面的性质与直线的位置关系1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是（ D ）A .相交B .相交或异面C .平行或异面D .平行、相交或异面2.给出下列命题： ①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么直线c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 为异面直线，直线b 与c 平行，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α和异面直线a 、b 同时平行. 其中正确命题的序号是（ C ）A .①B .②C .③D .①③ 3.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ,则c 与b（ C ） A .一定是异面直线 B .一定是相交直线 C .不可能是平行直线 D .不可能是相交直线4.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ B ） A .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B .过点P 有且仅有一条直线与l 、m都垂直C .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 5.直线12,l l 互相平行的一个充分条件是（ D ） A . 12,l l 平行于同一个平面 B .12,l l 与同一个平面所成的角相等C .1l 平行于2l 所在的平面D . 12,l l 垂直同一平面6.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则异面直线CM 与D 1N 所成角的余弦值为( D ) A .21B .31 C .-91D .91 7．正方体ABCD -''''A B C D 中，M,N 分别是'AA 和AB 的中点，P 为底面ABCD 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ）A.300B.450C.600D.9008．AB 、CD 在平面α内，AB//CD ，且AB 与CD 相距28厘米，EF 在平面α外，EF//AB ，且EF 与AB 相距17厘米，EF 与平面α相距15厘米，则EF 与CD 的距离为 （ ）A.25厘米B.39厘米C.25或39厘米D.15厘米9．已知直线a ， b 同时满足条件：①a、b 异面②a、b 所成的角为定值③a、b 间的距离为定值，则这样的直线b 有（ ）A.1条B.2条C.4条D.无数条10.已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β,α∩β=l ,则l （ B ）A .与m 、n 都相交B .至少与m 、n 中的一条相交C .与m 、n 都不相交D .至多与m 、n 中的一条相交11.（2009²石家庄模拟）已知正三角形ABC 的边长为a ,那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 （ D ） A .43a 2B .83a 2C .86a 2D .166a 212.（2009²青岛调研）如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 （ ）A .90°B .60°C .45°D .0°13.互不重合的三个平面的交线可能有__________条.14.已知a∥c，b 与c 不平行、 a 与b 不相交，a,b 的位置关系是 15．在棱长为a 的正四面体中，相对两条棱间的距离为__________．16.如图所示，在三棱锥C —ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD =2AB =4，EF ⊥AB ，则EF 与 CD 所成的角是30° .17.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是 ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线； ③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是 ①②④ （写出所有正确结论的编号）. 18用图形表示：α∩β=m ,a ⊂α,b ⊂β,a ∩m =A ,b ∩m =B ,c ∩α=P ,P ∉a ,c ⊄β.19.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点.证明 （1）如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF ∥A 1B 且EF =21A 1B ， 又∵A 1D 1BC ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1， ∴EF 与CD 1确定一个平面α，∴E ，F ，C ，D 1∈α， 即E ，C ，D 1，F 四点共面. （2）由（1）知EF ∥CD 1，且EF =21CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ⊂平面ABCD ， 且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1=AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点.20.定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.证明 设定线段AB 所在直线为l ,与平面α交于O 点， 即l ∩α=O . 由题意可知，AP ∩α=C ，BP ∩α=D ，∴C ∈α，D ∈α.又∵AP ∩BP =P ,∴AP 、BP 可确定一平面β且C ∈β，D ∈β. ∴CD =α∩β. ∵A ∈β，B ∈β,∴l β⊂,∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD . ∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.21.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1、AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.解 在平面AA 1D 1D 内， 延长D 1F ， ∵D 1F 与DA 不平行， 因此D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ， 则P ∈FD 1，P ∈DA .又∵FD 1⊂平面BED 1F ， AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ， P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点连接PB ， ∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.如图所示.22.如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，21==FC BF ED AE ，AB =CD =3，EF =7，求AB 、CD 所成角的大小.解 如图所示，在线段BD 上取一点G ，使21=GD GB .连接GF 、GE 、EF . 21===FC BF GD BG ED AE ，GE ∥AB ， 且GE =32AB =2，同理，GF ∥CD ，且GF =31CD =1， 在△EGF 中，cos ∠EGF =2112271222-=⨯⨯-+,∴∠EGF =120°.由GF ∥CD ,GE ∥AB 可知,AB 与CD 所成的角应是∠EGF 的补角为60°.沙城中学补习班数学第一轮复习作业 编录：刘世亮第58练平面的性质与直线的位置关系1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是（ ）A .相交B .相交或异面C .平行或异面D .平行、相交或异面2.给出下列命题： ①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么直线c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 为异面直线，直线b 与c 平行，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α和异面直线a 、b 同时平行. 其中正确命题的序号是（ ）A .①B .②C .③D .①③ 3.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ,则c 与b（ ） A .一定是异面直线 B .一定是相交直线 C .不可能是平行直线 D .不可能是相交直线4.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ） A .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B .过点P 有且仅有一条直线与l 、m都垂直C .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D .过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 5.直线12,l l 互相平行的一个充分条件是（ ） A . 12,l l 平行于同一个平面 B .12,l l 与同一个平面所成的角相等C .1l 平行于2l 所在的平面D . 12,l l 垂直同一平面6.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则异面直线CM 与D 1N 所成角的余弦值为 ( )A .21B .31 C .-91D .91 7．正方体ABCD -''''A B C D 中，M,N 分别是'AA 和AB 的中点，P 为底面ABCD 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ）A.300B.450C.600D.9008．AB 、CD 在平面α内，AB//CD ，且AB 与CD 相距28厘米，EF 在平面α外，EF//AB ，且EF 与AB 相距17厘米，EF 与平面α相距15厘米，则EF 与CD 的距离为 （ ）A.25厘米B.39厘米C.25或39厘米D.15厘米9．已知直线a ， b 同时满足条件：①a、b 异面②a、b 所成的角为定值③a、b 间的距离为定值，则这样的直线b 有（ ）A.1条B.2条C.4条D.无数条10.已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β,α∩β=l ,则l（ ）A .与m 、n 都相交B .至少与m 、n 中的一条相交C .与m 、n 都不相交D .至多与m 、n 中的一条相交11.（2009²石家庄模拟）已知正三角形ABC 的边长为a ,那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 （ ） A .43a 2B .83a 2C .86a 2D .166a 212.（2009²青岛调研）如图所示，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 （ ）A .90°B .60°C .45°D .0°13.互不重合的三个平面的交线可能有__________条.14.已知a∥c，b 与c 不平行、 a 与b 不相交，a,b 的位置关系是 15．在棱长为a 的正四面体中，相对两条棱间的距离为__________．16.如图所示，在三棱锥C —ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD =2AB =4，EF ⊥AB ，则EF 与 CD 所成的角是 .17.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是 ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线； ③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 18用图形表示：α∩β=m ,a ⊂α,b ⊂β,a ∩m =A ,b ∩m =B ,c ∩α=P ,P ∉a ,c ⊄β.19.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点.20.定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.21.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1、AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.22.如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，21==FC BF ED AE ，AB =CD =3，EF =7，求AB 、CD 所成角的大小.沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮第59讲：直线、平面平行的判定及性质一、主要知识及主要方法：一）直线与平面的位置1（） 相交： 2（） 平行； ,l α⊄记为(3) 在平面内；记为l α⊂,称为直线在平面内.二）直线与平面平行的判定和性质1、线面平行的判定定理： //,,a ααα⊄⊂⇒//a b a b 即线线平行⇒线面平行2、线面平行的性质定理： //,,l a b βααβ⊂=⇒//a a I 即线面平行⇒线线平行3、线面平行的判定方法：①定义法；②反证法.③判定定理：//,,a ααα⊄⊂⇒//a b a b ； ④（面面平行的性质）//,a a ααββ⊂⇒// ；4、向量：①,AB AB n AB αα⇔⊥⊄u u u r rP ⇔0,AB n AB α=⊄u u u r rg ②α⇔,,AB AB CD AB CD ααα⇔⊄⊂u u u r u u u r∥P三）面面平行的判定：1.判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.2.垂直于同一条直线的两个平面平行;3.平行于同一个平面的两个平面平行.4.设1n u r 、2n u u r 分别是平面α、β的法向量，若1n u r ∥2n u u r，则α∥β三）面面平行的性质1.两个平面平行，其中一个面内的直线平行与另一个平面；2.若两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行；3.一条直线与平行平面中的一个相交，则与另一个平面相交；4.夹在平行平面之间的平行线段长度相等；5.经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。