圆系方程及其应用

直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。

第59讲圆的方程知识梳理知识点一：基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．知识点二：基本性质、定理与公式1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()-+-=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r （2）圆的一般方程：22220(40)++++=+->x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E ，半径2=D E Fr （3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0--+--=x x x x y y y y （4）圆的参数方程：①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin =⎧⎨=⎩x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)-+-=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+⎧⎨=+⎩x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()-+-=x a y b r 的位置关系：①222()()-+->⇔x a y b r 点P 在圆外；②222()()-+-=⇔x a y b r 点P 在圆上；③222()()-+-<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外；②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上；③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．必考题型全归纳题型一：求圆多种方程的形式例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A ．()()22122x y ++-=B ．()()22225x y -+-=C ．()()22122x y -+-=D ．()()22225x y ++-=例2．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为(21)-，，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．22420x y x y ++-=B ．224250x y x y +-+-=C ．224250x y x y ++--=D ．22420x y x y +-+=例3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆心为(2,3)-的圆与直线10x y -+=相切，则该圆的标准方程是（）A ．22(2)(3)8x y ++-=B ．22(2)(3)8x y -++=C ．22(2)(3)18x y ++-=D ．22(2)3)1(8x y ++=-变式1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆22:25C x y +=与直线():3400l x y m m -+=>相切，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为（）A ．22(3)(4)16x y ++-=B ．22(3)(4)25x y ++-=C ．22(6)(8)16x y ++-=D ．22(6)(8)25x y ++-=变式2．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=变式3．（2024·全国·高三专题练习）求过两点()()0,4,4,6A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程是（）A ．22(1(4)25)y x +++=B ．22(4)(1)25x y ++-=C ．22(4)(1)25x y -++=D ．22(4)(1)25x y -+-=变式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线(32)(32)50x y λλλ+-+-=＋恒过定点P ，则与圆C ：22(2)(3)16x y -++=有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为（）A ．22(2)3)3(6x y ++=-B ．22(2)(3)25x y -++=C ．22(2)3)1(8x y ++=-D ．22(2)(3)9x y -++=变式5．（2024·全国·高三专题练习）圆C ：()()22122x y -+-=关于直线0x y -=对称的圆的方程是（）A ．22(1)(2)2x y -++=B ．22(1)(2)2x y +++=C ．22(2)(1)2x y -+-=D ．22(2)(1)2x y +++=变式6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点,A B 是MON ∠的OM 边上的两个定点，C 是ON 边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与边ON 相切于点C 时，ACB ∠最大．在平面直角坐标系中，已知点()2,0D ，()4,0E ，点F 是y 轴负半轴的一个动点，当DFE ∠最大时，DEF 的外接圆的方程是（）．A ．()(2239x y -++=B ．()(2239x y -+-=C ．(()2238x y ++-=D ．(()2238x y -+-=变式7．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）过点()4,2P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PAB 的外接圆方程是（）A ．()()22215x y -+-=B ．()()224220x y -+-=C ．()()22215x y +++=D ．()()224220x y +++=变式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=【解题方法总结】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a ，b ）和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．题型二：直线系方程和圆系方程例4．（2024·全国·高三专题练习）圆心在直线x -y -4＝0上，且经过两圆x 2+y 2+6x -4＝0和x 2+y 2+6y -28＝0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2-x +7y -32＝0B ．x 2+y 2-x +7y -16＝0C ．x 2+y 2-4x +4y +9＝0D ．x 2+y 2-4x +4y -8＝0例5．（2024·高二课时练习）过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是．例6．（2024·江苏·高二专题练习）曲线2233x y -=与228y x x =--的四个交点所在圆的方程是．变式9．（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为.变式10．（2024·高二校考课时练习）过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点()3,1的圆的方程是.变式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:240C x y x y ++-=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.变式12．（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程为变式13．（2024·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆C 过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且原点在圆C 上．则圆C 的方程为．【解题方法总结】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线1111:0++=l A x B y C 与直线2222:0++=l A x B y C 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：11112222()()0+++++=A x B y C A x B y C λλ2212(0)+≠λλ简记为：221122120(0)+=+≠l l λλλλ当10≠λ时，简记为：120+=l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆221111:0++++=C x y D x E y F 与圆222222:0++++=C x y D x E y F 相交于A ，B两点，则过A ，B两点的圆系方程为：2222111222()0(1)+++++++++=≠-x y D x E y F x y D x E y F λλ简记为：120(1)+=≠-C C λλ，不含2C 当1=-λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）121212:()()0-+-+-=l D D x E E y F F 注意：与圆C 共根轴l 的圆系:0+=C C l λλ题型三：与圆有关的轨迹问题例7．（2024·全国·高三专题练习）点()1,0P ，点Q 是圆224x y +=上的一个动点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B ．22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭例8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知A ，B 是C ：()()222425x y -+-=上的两个动点，P 是线段AB 的中点，若6AB =，则点P 的轨迹方程为（）A ．()()224216x y -+-=B ．()()222411x y -+-=C ．()()222416x y -+-=D ．()()224211x y -+-=例9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数(0,1)λλλ>≠的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍．求点P 的轨迹方程；变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知(4,0)P 是圆2236x y +=内的一点,,A B 是圆上两动点，且满足90APB ︒∠=，求矩形APBQ 顶点Q 的轨迹方程．变式15．（1977·福建·高考真题）动点(),P x y 到两定点()30A -,和()3,0B 的距离的比等于2，求动点P 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．变式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C ：222430x y x y ++-+=.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程；(2)从圆C 外一点(,)P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求点P 的轨迹方程.变式17．（2024·全国·高三专题练习）由圆229x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B，两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知圆22:40G x y x +-=，平面上一动点P 满足：226PM PN +=且(1,0)M -，(1,0)N ．求动点P 的轨迹方程；变式19．（2024·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD 中，边AB 、BC 上分别有一个动点Q 、R ，且BQ CR =．求直线AR 与DQ 的交点P 的轨迹方程．变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知Rt ABC 的斜边为AB ，且(1,0),(3,0)A B -.求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.变式21．（2024·高二课时练习）如图，已知点A (-1，0)与点B (1，0)，C 是圆x 2+y 2=1上异于A ，B 两点的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD|=|BC|，求线段AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.变式22．（2024·高二课时练习）已知点()2,0A 是圆224x y +=上的定点，点()1,1B 是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程．(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点N 的轨迹方程．【解题方法总结】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x ，y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件例10．（2024·河南·高三阶段练习）“1a <”是“方程22222650x y ax y a ++++=表示圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例11．（2024·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆C 的方程为0(),f x y =，点00(,)P x y 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上，方程00:(,(0,))C f x y f x y '-=，则下面判断正确的是（）A ．方程C '表示的曲线不存在B ．方程C '表示与C 同心且半径不同的圆C ．方程C '表示与C 相交的圆D ．当点P 在圆C 外时，方程C '表示与C 相离的圆例12．（2024·高三课时练习）关于x 、y 的方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示一个圆的充要条件是（）.A ．0B =，且0AC =≠B ．1B =，且2240D E A F +->C ．0B =，且0A C =≠，2240D E AF +-≥D ．0B =，且0A C =≠，2240D E A F +->变式23．（2024·全国·高三专题练习）若方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是（）A ．2a ≤-B ．2a ≥C ．2a <-或2a >D ．2a ≤-或2a ≥变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知方程22220x y y +++=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(3,)+∞D ．(4,)+∞变式25．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C ：()()22221212640x y m x m y m m +--+-+-+=过坐标原点，则实数m 的值为（）A ．2或1B ．-2或-1C ．2D ．-1变式26．（2024·全国·高三专题练习）若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）A ．(1，＋∞)B ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1，＋∞)∪1(,)5-∞D ．R变式27．（2024·高二课时练习）若()0,2απ∈，使曲线22cos sin cos sin 10x y x y αααα++++=是圆，则（）A ．54πα=B ．4πα=C ．4πα=或54πα=D ．2πα=【解题方法总结】方程220++++=x y Dx Ey F 表示圆的充要条件是2240+->D E F ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E ，半径=r 题型五：点与圆的位置关系判断例13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,42⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点()1,2P -在圆C ：222410x y kx y k +++++=的外部，则k 的取值范围是（）A ．21k -<<B ．12k <<C ．2k <-D ．2<<2k -例15．（2024·四川自贡·高一统考期中）点P 在单位圆⊙O 上（O 为坐标原点），点()()1,1,0,1A B ---，AP AO AB μλ=+，则μλ+的最大值为（）A ．32B C ．2D ．3变式28．（2024·全国·高二专题练习）点()5,P m 与圆2224x y +=的位置关系是（）A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不确定变式29．（2024·全国·高二专题练习）若点()1,1a a +-在圆22240x y ay +--=的内部，则a 的取值范围是（）.A ．1a >B ．01a <<C ．115a -<<D ．1a <变式30．（2024·全国·高二专题练习）已知圆222:O x y r +=，直线l ：234x y r +=，若l 与圆O 相交，则（）．A ．点()3,4P 在l 上B ．点()3,4P 在圆O 上C ．点()3,4P 在圆O 内D ．点()3,4P 在圆O 外【解题方法总结】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．题型六：数形结合思想的应用例16．（2024·高二校考单元测试）若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭例17．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线y =10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭例18．（2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线y x b =+与曲线1y =有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是（）A ．(1-+B ．(11⎤--⎦C ．1,1⎡-+⎣D ．3,1⎡+⎣变式31．（2024·全国·高二专题练习）直线220x y +-=与曲线(10x y +-=的交点个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式32．（2024·高二单元测试）若两条直线1l ：y x m =+，2l ：y x n =+与圆22220x y x y t +--+=的四个交点能构成矩形，则m n +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3变式33．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线22:1033x y ⎛Γ--= ⎝，要使直线()y m m =∈R 与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．(()3,- B ．()3,- C ．()3,3D ．(变式34．（2024·吉林白山·统考二模）若过点(2,4)P 且斜率为k 的直线l 与曲线y =有且只有一个交点，则实数k 的值不可能是()A ．34B ．45C ．43D ．2变式35．（2024·全国·高三专题练习）若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．3m <<B ．03m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤变式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当[]0,2x ∈时，()f x =()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是（）A．,⎛⋃-∞ ⎪⎪⎩⎭⎝⎭B．2,4⎛⋃-∞- ⎪⎪⎩⎭⎝⎭C．,412⎧⎛⎫⎪-⋃+∞⎪⎨⎪⎪⎩⎭⎝⎭D．412⎧⎛⎫⎪⋃+∞ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭变式37．（2024·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥【解题方法总结】研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．题型七：与圆有关的对称问题例19．（2024·高二单元测试）圆222410x y x y ++-+=关于直线10ax y ++=对称，则=a ．例20．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知圆22:4230C x y x ay +-++=关于直线260x y +-=对称，圆C 交y 于A 、B 两点，则AB =例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()()22129x y ++-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b -+=>>对称，则224a b +的最小值是．变式38．（2024·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C 与圆D ：224230x y x y +--+=关于直线4250x y +-=对称，则圆C 的方程为．变式39．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()()22139x y ++-=上存在两点关于直线()100,0ax by a b -+=>>对称，则13a b+的最小值是．变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2f x =的图像上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图像上，则实数k 的取值范围是．变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x +=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为．变式42．（2024·全国·高三专题练习）若圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线1:40l x y -+=和直线2:30l x y +=都对称，则D ＋E 的值为．变式43．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知直线1y ax =+与曲线221x y bx y ++-=交于两点，且这两点关于直线0x y +=对称，⋅=a b .【解题方法总结】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线题型八：圆过定点问题例22．（2024·全国·高三专题练习）若抛物线2y x ax b =++与坐标轴分别交于三个不同的点A 、B 、C ，则ABC 的外接圆恒过的定点坐标为例23．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C ，则圆C 经过定点的坐标为（其坐标与b 无关）例24．（2024·重庆·高考真题）动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．变式44．（2024·浙江温州·高三阶段练习）已知动圆圆心在抛物线24y x =上，且动圆恒与直线=1x -相切，则此动圆必过定点____变式45．（2024·全国·高二专题练习）对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为．变式46．（2024·江西·高考真题）设有一组圆k C ：()()()224*,132x k y k k k N -++-=∈．下列四个命题其中真命题的序号是①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．变式47．（2024·全国·高二专题练习）对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为.【解题方法总结】特殊值法。

圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
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圆系方程推导圆是一个非常常见的几何图形，它具有许多有趣的性质和特点。

在代数学中，我们可以通过一些方程来描述和研究圆的性质。

本文将为您介绍圆的方程推导过程，并解释如何利用这些方程来解决一些相关的几何问题。

首先，让我们从圆的定义开始。

一个圆是由到一个固定点（圆心）距离相等的所有点组成的。

假设圆心是点（h，k），半径为r。

我们想要找到一种方程，用来表示满足这个条件的所有点。

根据勾股定理，任何一个点（x，y）到圆心的距离可以表示为√[(x-h)²+(y-k)²]。

因为圆的特点是到圆心距离相等，我们可以将这个表达式设置为半径r。

由此可得方程：√[(x-h)²+(y-k)²]=r然而，这个方程不方便用来进行计算和研究。

为了简化方程，我们可以对其进行平方操作，这样就可以消去开方运算符。

得到如下方程：(x-h)²+(y-k)²=r²这个方程就是圆的标准方程，也被称为圆的一般方程。

通过这个方程，我们可以方便地研究和描述圆的性质。

在实际应用中，我们有时需要通过已知的条件来确定一个圆。

比如已知圆心和一个点，我们需要找到圆的方程。

让我们假设圆心为点（h，k），半径为r，另外给定一个点（x₁，y₁）。

我们知道该点到圆心的距离等于半径r，因此可以得到以下方程：√[(x₁-h)²+(y₁-k)²]=r同样地，对该方程进行平方操作，可以得到：(x₁-h)²+(y₁-k)²=r²这个方程描述了过已知点的圆。

除了标准方程外，我们还可以利用其他方程形式来描述圆。

例如，我们可以使用圆的参数方程：x=h+rcosθy=k+rsinθ其中，θ是一个参数，代表圆上的一个点。

通过改变θ的取值，我们可以遍历整个圆的轮廓。

此外，我们还可以将圆的方程与直线的方程联立，从而求解圆与直线的交点。

以圆的一般方程和直线方程为例，我们可以将两个方程联立并求解x和y的值。