圆系方程及其应用
一、常见的圆系方程有如下几种：
1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>
与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０
2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）
3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）
特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=
二、圆系方程在解题中的应用：
1、利用圆系方程求圆的方程：
例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2
+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。 解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。 （注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）
解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：
1．两交点的中垂线与直线相交；
2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；
3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：
（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０
∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２
故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x
即 2
277y x +＋7x ＋y ＝０。
2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：
例2（1）：求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=
过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为 2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，
圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。即22110λλ--+=，则114λ=-
代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448
x y -+-= 例２（2）; 求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．
解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝０
即22y x +＋y x )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝０则[]
54)58(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝5
8时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０ 练习：
1．求经过圆x 2+y 2
+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）
2．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）
3．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）
4．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且与x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x 轴的距离等于半径）
3、利用圆系方程求参数的值：
例3：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值。
分析：此题最易想到设出1122(,),(,)P x y Q x y ，由OP OQ ⊥得到12120x x y y +=，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m 的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OP OQ ⊥，不难得出O 在以PQ 为直径的圆上。而P ，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线230x y +-=与圆22
60x y x y m ++-+=的交点的圆系方程为： 226(23)0x y x y m x y λ++-+++-=，即
22(1)2(3)30x y x y m λλλ++++-+-=………………….①
依题意，O 在以PQ 为直径的圆上，则圆心1(,3)2λλ+--显然在直线230x y +-=上，则12(3)302
λλ+-+--=，解之可得1λ=又(0,0)O 满足方程①，则30m λ-=，故3m =。
4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：
例4 圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？
解：圆系方程可化为：22y x +＋10y ＋20＋k （2x ＋4y ＋10）＝０
∵ 与k 无关 ∴ ⎩⎨⎧=+++=++020100
104222y y x y x 即⎩⎨⎧=++=++5
)5(0
5222y x y x 易知圆心（０，-５）到直线x ＋2y ＋5＝０的距离恰等于圆2
2)5(++y x ＝５的半径．故直线x ＋2y ＋5＝０与圆22)5(++y x ＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．
总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。
