高中数学第二章概率2.1随机变量及其概率分布优化训练苏教版选修2_3
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1 2.1 随机变量及其概率分布
5分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是( )
A.2颗都是4点
B.1颗1点,另1颗3点
C.2颗都是2点
D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点
答案:D
解析：由于抛掷1颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和,所以X=4=1+3=2+2表示的随机试验结果是:1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点.故选D.
2.设ξ的概率分布如下,则完全正确的选项是( )
ξ X1 x2 … xn
Pi P1 P2 … pn
A.pi≥0 B.p1+p2+…+pn=1
C.pi≥0且p1+p2+…+pn=1 D.0≤pi≤1
答案:C
解析：由离散型随机变量的分布列性质可知选C.
3.设某运动员投篮投中的概率为P=0.3,则一次投篮时投中次数的分布列是_____________.
答案:
X 0 1
P 0.7 0.3
此分布列为两点分布列.
10分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1.投掷均匀硬币一次，随机变量为( )
A.出现正面的次数
B.出现正面或反面的次数
C.掷硬币的次数
D.出现正、反面次数之和
答案:A
解析：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故A正确；而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量；D中对应的事件是必然事件.
2.给出下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是（ ）
A.
ξ 0
1
P 0.6 0.3
B.
ξ 0 1
2
P 0.902 5 0.095 0.002 5
C.
ξ 0 1 2 … n 2 P 21 41 81 … n21
D.
ξ 0 1 2 …
n
P 31 3231 312)32(
…
n)32(31
答案:B
解析：对于表A：由于0.6+0.3=0.9＜1,故不能成为随机变量ξ的分布列；仿上，可知对于表C，有21+41+81+…+n21=1-n21＜1；对于表D，知31+31×32+31×（32）2+…+31×（32）n=31［1+32+(32)2+…+(32)n=1-(32)n+1＜1,故表C、D均不能成为随机变量ξ的分布列；对于B，由于0.902 5+0.095+0.002 5=1,故表B可以成为随机变量ξ的分布列.
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于( )
A.0 B.21 C.31 D.32
答案:C
解析：由题意可知成功的概率是32，但是P(ξ=0)表示的是失败的概率，故P(ξ=0)=31.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_____________.
答案:54
5.将3个不同小球任意地放入4个大小有别的玻璃杯中去,杯子中球的最大个数记为X,求X的分布列.
解：依题意,可知杯子中球的最大个数X的所有可能值为1,2,3.当X=1时,对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形;当X=2时,对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形;当X=3时,对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形.
当X=1时,P(X)=3344A=83;
当X=2时,P(X)=31314234CCC=169;
当X=3时,P(X)=3144C=161.
依上可得X的分布列为
X 1 2 3
P 83 169 161
30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.设ξ的概率分布如下,则p等于( ) 3 ξ
-1 0
1
P
21
31 31-p
A.0 B.61` C.31 D.51
答案:B
解析：∵21+31+31-p=1,∴p=61.
2.设随机变量ξ的分布列是,则a等于( )
A.0 B.1 C.31 D.±22
答案:D
解析：由a2+31+61=1,得a2=21.故选D.
3.从标1~10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有_______________个（ ）
A.17 B.18 C.19 D.20
答案:A
解析：任取2支竹签，每支竹签的可能值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以ξ的取值可为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，共17个.
4.抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为（ ）
A.0≤ξ≤5，ξ∈N B.1≤ξ≤6,ξ∈N
C.-5≤ξ≤0，ξ∈Z D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z
答案:D
解析：掷第一枚骰子与掷第二枚骰子的点数分别为1，2，3，4，5，6，则它们的点数之差为-5≤ξ≤5,且ξ∈Z.
5.在掷一枚图钉的随机试验中,令X=针尖向下针尖向上,0,,10,针尖向下.如果针尖向上的概率为0.8,试写出随机变量X的分布列为__________________.
解：
X 0 1
P 0.2
0.8
6.有5支不同标价的圆珠笔,分别标有10元、20元、30元、40元、50元,从中任取3支,若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价,试求ξ的分布列.
解：ξ的可能取值为30,40,50.P(ξ=30)=351C=101,P(ξ=40)=3523CC=103,P(ξ=50)=3524CC=53,分布列为 4 ξ 30 40 50
P 101 103 53
7.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)随机变量ξ的概率分布;
(3)计分介于20分到40分之间的概率.
解：(1)方法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,
则P(A)=3231012121235CCCCC.
方法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件，因为P(B)=310182215CCCC=31.
所以P(A)=1-P(B)=1-31=32.
(2)由题意,ξ所有可能的取值为2,3,4,5.
P(ξ=2)=30131022121222CCCCC;P(ξ=3)=15231022141224CCCCC;
P(ξ=4)=31022162126CCCCC=103;
P(ξ=5)=31022181228CCCCC=158.
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 2 3 4
5
P 301 152 103 158
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)＝P(ξ＝3或ξ=4)=P(ξ＝3)＋P(ξ=4)=152+103=3013.
8.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,求随机变量ξ的分布列.
解：P(ξ=0)=2522CC=0.1,P(ξ=1)=251213CCC=0.6,P(ξ=2)=250223CCC=0.3.
Ξ 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
9.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以ξ表示取出球的最大号码,求ξ的分布列. 5 解：随机变量ξ的取值为3,4,5,6.从袋中随机地取3个球,包含的基本事件总数为36C,事件“ξ=3”包含的基本事件总数为33C,事件“ξ=4”包含的基本事件总数为2311CC；事件“ξ=5”包含的基本事件总数为2411CC；事件“ξ=6”包含的基本事件总数为2511CC.从而有
P(ξ=3)=3633CC=201,
P(ξ=4)=362311CCC=203,
P(ξ=5)=362411CCC=103,
P(ξ=6)=362511CCC=21.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 3 4 5 6
P 201 203 103 21
