人教版初三(上)数学第70讲：与圆有关的计算(学生版)

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与圆有关的计算

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1.掌握弧长、扇形面积、圆锥的体积和表面积的计算公式；

2.掌握弧长、扇形面积、圆锥的体积和表面积的应用.

1．相关名词

弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。

扇形：_____________________所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。

圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；

圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线÷2；没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。

2.圆中有关计算：

（1）圆的面积公式：，周长C＝2πR．

（2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ________________．

（3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l，____________．

（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

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需根据不同的情况作出不同的处理：

①当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△

②当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△

③当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆

（5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．

（6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．

1.弧长的有关计算

【例1】已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】根据弧长公式带公式计算即可。

【答案】B

练习1. 在半径为5的O中，弦AB=5，则AB的长为（ ）

A． B． C．32 D．2

练习2.弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 （ ）

A．0360 B．0180 C．090 D．60°

2.扇形面积的有关计算

【例2】如图，△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( )．

A．9π4 B．9π84 C．94π8 D．98π8

【解析】阴影部分的面积可用三角形的面积减去扇形的面积即可求。

【答案】B

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练习3．已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，a21长为半径作

，，，求阴影部分的面积．

练习4．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，,34BC以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影部分的面积．

3.圆锥的有关计算

【例3】用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）

A.3 B.2.5 C.2 D.1.5

【解析】设底面半径为R，圆锥的底面圆周长等于半圆的周长可求底面圆半径。

【答案】解：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，半圆的弧长=×2π×6=2πR，

∴R=3．

故选A．

练习5. 已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（ ）

A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm

练习6. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）

A. 2πcm B. 1.5cm C. πcm D. 1cm

4.弓形面积

【例4】如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm,的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。

【解析】本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。阴影面积等于两个扇形面积之差。

【答案】解：设∠O=α，由弧长公式得6π=, 10π=,

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∴ OA=, OB=.

又∵ AB=OB-OA,

∴ 12=-,

∴ α=60°,

∴ OA==18, OB==30.

∴ 阴影部分的面积为：-==96π

练习7. 已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于弧长的。

练习8. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为( )．

8题图

A．2πcm100 B．2πcm3400

C．2πcm800 D．2πcm3800

5.阴影部分的面积

【例5】已知如图半径OA=6cm,C为OB的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S阴影ABC.

【解析】求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或

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差，以上为例，S阴影可以折分为S扇形OAB与SDAOC的差，也可以折分为SDABC与S弓形AB的和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。欲求S阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面积的和或差，观察图形会发现S阴影=S扇形OAB-S△ACO,故可求得.

【答案】解:由图示可知S阴影ABC=S扇形-S△ACO,

而S扇形OAB==12π(cm2),

∴ S△ACO=×6×3·sin60°=(cm2),

∴ S阴影ABC=(12π-)cm2.

练习9．如图,PA,PB分别切圆O于A、B,并且∠AOB是钝角,如果四边形PAOB的周长和面积分别为8(1+)和16,求劣弧AB与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积)

练习10.如图,∠AOB=90°,AC∥OB,OA=1,是以O为圆心的弧,是以A为圆心的弧,求图中阴影部分ABC的面积.

【例6】（2018广东广州一模）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为2，AB.CD分别是两底面的直径，AD.BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是

(结果保留根式)．

【解析】把圆锥体展开，两点之间线段最短，求对角线的长度即可。

【答案】解.小虫爬行的最短路线的长度是=2222

=22

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练习11. AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）

A.43π－3 B.23π C.23π－3 D.13π

练习12. 已知矩形ABCD的一边AB=5cm,另一边AD=2cm，求：以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积

1.一条弧所对的圆心角是90，半径是R，则这条弧的长是 ．

2.在半径为1的圆中，弦AB=1，则AB的长为 。

3. 若AB的长为所对的圆的直径长，则AB所对的圆周角的度数为 ．

4.如图所示，OA=30B，则AD的长是BC的长的_____倍．

5.一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm•的圆周长，求这弧所在圆的半径．

6.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．

7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )．

7题图

A．π425 B．π825 C．π1625 D．π3225

8．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；若l为扇形的弧长，则S扇形=__________．

9．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形．

当为劣弧时，S弓形=S扇形－______；

当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB．

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10．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______(精确到1′)．

11．半径为5cm的圆中，若扇形面积为2cm3π25，则它的圆心角为______．若扇形面积为2，则它的圆心角为______．

12．若半径为6cm的圆中，扇形面积为2，则它的弧长为______．

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1.（2018辽宁旅顺一中期末）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为 ．

2.（2018海南中考）正方形ABCD的边长为2cm，以B点为圆心，AB长为半径作AC，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.（4— π）cm2 B.（8—π ）cm2 C .（2π —4）cm2 D.（π —2）cm2

3.（2018山西太谷中考）要在面积为1256m2的三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是 m（π取3.14）

4.（2018陕西西安中考）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（ ）

A.48π B.48 C.24π D.24

5.钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）

A.cm310π B.cm320π C.cm325π D.cm350π

6.如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A为圆心.2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交 AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．