15.2补充：十字相乘法_

、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项

系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出

错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都

简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例： 1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目

例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本

题

解：因为 1 -2 1 ╳ 6

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x²+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2

时，才符合本题 解： 因为 1 2

5 ╳ -4

所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）

例3解方程x²-8x+15=0

分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解： 因为 1 -3

1 ╳ -5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，

-25×1。

解： 因为 2 -5

3 ╳ 5

所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x²-67xy+18y²分解因式

分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y ,

因式分解的一点补充——十字相乘法

一、学习目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；

2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。

二、学习重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。

三、学习难点：灵活运用十字相乘法因分解式。

四、自主学习：

（一）导入新课

关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：下列各式因式分解

1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+12

3．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

（二）、探究：

例1 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1；

分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1

1 -3

2 × 3 2 × 1 2 × -3

2 × -1

1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）

=5 =7 = -5

六年级提高 十字相乘法

- 1 - 因式分解之“十字相乘法”

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax2+bx+c（a、b、c都是整数，且a≠0）来说，如果存在四个整数acac1122，，，满足aaaccc1212，，并且acacb1221，那么二次三项式ax2+bx+c即aaxacacxcc122122112 可以分解为axcaxc1122。这里要确定四个常数acac1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

【思考】10~20以内的平方数心算办法。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：x2－11x+24>0，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

例1解： ∵x2－11x+24>0 ∴(x－3)(x－8)>0 分解为

08030803xxxx或

∴ x>8 或 x<3

例2. 如果x4－x3+mx2－2mx－2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x4分成x2·x2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。

例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x2+ax－1)(x2+bx+2)，其中a、b为整数，去括号，得：

x4+(a+b)x3+x2+(2a－b)x－2

将它与原式的各项系数进行对比，得： a+b=－1, m=1, 2a－b=－2m

——您身边的个性化教育专家

十字相乘法

教学目标：

1.了解十字相乘法的依据

2.掌握十字相乘法分解的多项式特征

3、掌握十字相乘法的符号规律

教学重难点：

1.用十字相乘法分解二次项系数不为0的二次三项式

2、分解形如x2-- 5xy+6y2

新授课内容:

【知识要点梳理】

1．二次三项式

多项式cbxax2，称为字母x的二次三项式，其中2ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，322xx和652xx都是关于x的二次三项式．

在多项式2286yxyx中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式37222abba中，把ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)多项式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式qpxx2，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式))(()(2bxaxabxbax

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在——您身边的个性化教育专家

四个整数2121,,,ccaa，使aaa21，ccc21，且bcaca1221，