大学物理期末复习题

大学物理期末复习题

注意事项：

1． 用铅笔，圆规，尺子作图，并在题中标示清楚如图

2． 公式原式带入，注意写上单位，单位（）括起来

3． 要有一定的文字叙述，不能用 ∵ ∴

9-7 若简谐运动方程为 m25.020cos10.0ππ tx，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s2 t时的位移、速度和加速度．

分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式tAx cos1 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．

解 （1） 将mπ25.0π20cos10.0tx与tAxcos比较后可得：振幅A ＝0.10m，角频率1sπ20ω，初相＝0.25π，则周期s1.0/π2ωT，频率Hz/1Tv．

（２）s2t时的位移、速度、加速度分别为

m1007.7π25.0π40cos10.02tx

-1sm44.4π25.0π40sinπ2d/dtxv

-22222sm1079.2π25.0π40cosπ40d/dtxa

9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0 ×10-2 m，周期T＝0.50ｓ．当t＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x＝-1.0×10-2 m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．

分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x0 和v ＝v0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x0 和速度v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．

题9-12 图

9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为m 的物体时， 伸长量为9.8 ×10-2 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当t ＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当t ＝０ 时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s-1的速度向上运动，求运动方程．

分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k）决定的，即km/，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．

题9-13 图

解 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl ＝9.8 ×10-2m．则弹簧的劲度系数k ＝F

／Δl ＝mg ／Δl．系统作简谐运动的角频率为

1s10lgmk//

（1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x10 ＝8.0 ×10-2 m、v10 ＝0 可得振幅m10082210210./vxA；应用旋转矢量法可确定初相π1［图（a）］．则运动方程为

mπ10tcos100.821x

（2）t ＝０ 时，x20 ＝0、v20 ＝-0.6 ｍ·s-1 ，同理可得m100622202202./vxA；2/π2［图（b）］．则运动方程为

mπ5.010tcos100.622x

9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？ （1） 由平衡位置到最大位移处；（2） 由平衡位置到x ＝A/2 处； （3） 由x ＝A/2处到最大位移处．

解 采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O．

（1） 平衡位置x1 到最大位移x3 处，图中的旋转矢量从位置1

转到位置3，故2/πΔ1，则所需时间

411//Tt

（2） 从平衡位置x1 到x2 ＝A/2 处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有6/πΔ2，则所需时间

1222//Tt

（3） 从x2 ＝A/2 运动到最大位移x3 处，图中旋转矢量从位置2 转到位置3，有3/πΔ3，则所需时间

633//Tt

题9-15 图

9-25 质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s-1

求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？

分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度2maxAa，由此可确定振动的周期T．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA2/2．当动能与势能相等时，Ek ＝EP ＝kA2/4．因而可求解本题．

解 （1） 由分析可得振动周期

s314.0/π2/π2maxaAωT

（2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即

J100221213max22k.mAamAEE

（3） 设振子在位移x0 处动能与势能相等，则有

42220//kAkx

得 m100772230./Ax

（４） 物体位移的大小为振幅的一半（即2xA/）时的势能为

4/2212122PEAkkxE

则动能为 43PK/EEEE

9-28 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为mπ75.010cos05.01tx；mπ25.010cos06.02tx．求：（1） 合振动的振幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动m10cos07033tx.，则3为多少时，x1 ＋x3 的振幅最大？ 又3 为多少时，x2 ＋x3 的振幅最小？

题9-28 图

分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动

的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅12212221cos2AAAAA，其大小与两个分振动的初相差12相关．而合振动的初相位

22112211coscossinsinarctanAAAA/

解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为2/πΔ12，故合振动振幅为

m1087cos2212212221.AAAAA

合振动初相位

rad1.48arctan11coscossinsinarctan22112211AAAA/ （2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由π2Δk得

,...2,1,0,π75.0π2π213kkk

要使x1 ＋x3 的振幅最小，即两振动反相，则由π)12Δk得

,...2,1,0,π25.1π2π1223kkk

10-10 波源作简谐运动，周期为0.02ｓ，若该振动以100m·ｓ-1

的速度沿直线传播，设t ＝0时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，求：（1） 距波源15.0ｍ 和5.0 m 两处质点的运动方程和初相；（2） 距波源为16.0 m 和17.0m的两质点间的相位差．

分析 （1） 根据题意先设法写出波动方程，然后代入确定点处的坐标，即得到质点的运动方程．并可求得振动的初相．（2） 波的传播也可以看成是相位的传播．由波长λ的物理含意，可知波线上任两点间的相位差为Δφ＝2πΔx／λ．

解 （1） 由题给条件1sm100s020uT,.，可得

m2;smπ100/π21uTλTω

当t ＝0 时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相为φ0 ＝－π／2（或3π／2）．若以波源为坐标原点，则波动方程为

2/π100π100cosx/tAy

距波源为x1 ＝15.0 m 和x2 ＝5.0 m 处质点的运动方程分别为

π5.5tπ100cosπ15.5tπ100cos21AyAy

它们的初相分别为φ10 ＝－15.5π和φ10 ＝－5.5π（若波源初相取φ0＝3π/2，则初相φ10 ＝－13.5π，φ10 ＝－3.5π．） （2） 距波源16.0m 和17.0 m 两点间的相位差

π/π2Δ1212xx

10-12 图示为平面简谐波在t ＝0 时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时图中质点P 的运动方向向上．求：（1） 该波的波动方程；（2） 在距原点O 为7.5 m 处质点的运动方程与t ＝0 时该点的振动速度．

分析 （1） 从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径．具体步骤为：1. 从波形图得出波长λ、振幅A 和波速u ＝λ；2. 根据点P 的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转矢量法确定其初相φ0 ．（2） 在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O 为x 处的运动方程y ＝y（t），及该质点的振动速度＝dy/dt．

解 （1） 从图中得知，波的振幅A＝0.10 m，波长λ＝20.0m，则波速u ＝λ＝5.0 ×103 ｍ·ｓ-1 ．根据t ＝0 时点P 向上运动，可知波沿Ox 轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy 轴负方向运动．利用旋转矢量法可得其初相φ0 ＝π/3．故波动方程为

m3/π5000/π500cos10.0/cos0xtuxtAy

（2） 距原点O 为x ＝7.5ｍ 处质点的运动方程为

m12π13π5000.10cosy/t

t ＝0 时该点的振动速度为

-10sm40.6/12πsin13π50/ddttyv