九上2.2二次函数的图像总结

(1) y=(x-3)2+2 (2)y=(x+4)2－5
2.与抛物线y=－4x 2形状相同， 顶点为（2，-3）的抛物线 解析式为_y_=__-_4_(_x_-2_)_2_-3_或__y_=__4_(_x_-2_)_2_-3
函数y= (x+1)2-9的图象
y 1
是 称轴是
，开口 ，对 ，顶点坐标是
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
各种情势的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
左
右
下
加
平 移
平 移
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习4:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
右 减
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 上
加
下Hale Waihona Puke 上下平移 y = ax2 左右平移
减
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
小练习:
抛物线
y 1 x2 2

二次函数图像和性质，解析式求法二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1 D ． y=x 2+例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x=-+，其中二次函数的个数为（ ）随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质三点剖析题模精讲随堂练习知识精讲a 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2）例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的三点剖析题模精讲随堂练习坐标为（ ）A ． ()3,3-B ．()3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3 C ． ()2,3-- D ． ()2,3-例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5C ． 3D ． 3-例3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>题模二：y=a （x-h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =-- D ． 22(4)33y x =--题模精讲随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象 开口方向对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．知识精讲三点剖析二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ． 2C ．D ．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）题模精讲A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ． C． D ．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．随练4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）O y x11随堂练习A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4随练4.4在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式． 题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5-B ． 5C ． 3D ． 3-x =1y xO知识精讲三点剖析题模精讲例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式．例5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．随练5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．随练5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： 随堂练习知识精讲()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<；（2）至少有一个正根．题模二：二次函数与x 轴交点三点剖析题模精讲例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．随堂练习自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ．22y x =+ D ． 2122y x x =-作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ） A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ）A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．作业7 在同一直角坐标系中画出二次函数2y x =-，212y x =-，2y x =，212y x =的图像，并简单说明图像之间的规律．课后作业作业8 对于()2232y x =++的图象下列叙述错误的是（ ） A ． 顶点坐标为()3,2-B ． 对称轴为3x =-C ． 当3x <-时y 随x 增大而减小D ． 函数有最大值为2作业9 抛物线()223y x =-+-的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3- C ．()2,3 D ．()2,3--作业10 若二次函数22y x x c =++配方后为2()7y x h =++，则c 、h 的值分别为（ ）A ． 8、－1B ． 8、1C ． 6、－1D ． 6、1作业11 已知二次函数()23y a x b =--和()25y b x a =+-分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．作业12 将抛物线23y x =向_______平移________个单位，再向_______平移________个单位，就能得到抛物线()2335y x =+-．作业13 已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．作业14 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y <<C ． 312y y y <<D ． 132y y y <<作业15 二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求()()231421m m m +-+的值及点B 、点C 的坐标； （2）直接写出当0y >时，x 的取值范围； （3）直接写出当12x -≤≤时，y 的取值范围．作业16 设23y x ax a =++-，（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．作业17 在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y bx a =+的图象可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图作业18 小明从二次函数2y ax bx c =++的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->．你认为其中正确的信息是（ ）A ． ②③④⑤B ． ①②③④C ． ①③④⑤D ． ①②③⑤作业19 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．（1）确定a 、b 、c 的符号； （2）求a b c ++的取值范围．作业20 如果抛物线2y ax bx c =++经过点()1,12-，()0,5和()2,3-，则a b c ++的值为（ ）A ． 4-B ． 2-C ． 0D ． 1作业21 已知二次函数图象经过点()1,3A ，()0,2B ，()5,3C 三点，求此二次函数解析式．作业22 把二次函数243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，其结果是（ ） A ． ()221y x =-- B ． ()221y x =+- C ． ()227y x =-+ D ． ()227y x =++作业23 已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0和()5,0-两点，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式．作业24 已知二次函数的图象经过原点及点（-12，-14），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．作业25 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()2,0、()4,0，顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式．作业26 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A ． 1213x x <<<B ． 1213x x <<<C ． 1213x x <<<D ． 1201,34x x <<<<作业27 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．作业28 已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为1x a =，2x b = ()a b <，则二次函数2y x mx n =++中，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ． x a < B ． x b >C ． a x b <<D ． x a <或x b >作业29 已知关于x 的一元二次方程()231230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．yxO 21 3。

6
2
②作出y= x 的图象

4
-4
·2 ·
0
-2 ·
2
1、在下列平面直角坐标系中
①作出y=2x2的图象
2、它们有什么相同点和不同点？
x
③作出y=-x2和y=-2x2的图象
10 y
归纳：
8
6
抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标
a的符号决定开口方向：
当a＞0时,开口向上,有最小值；
(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( C )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
变式训练3：如图，从y＝－x2的图象上
可看出当－3<x≤1时，函数y的取值范
－9＜y≤0
围是_________．
二、y=ax2 的图象
y=2x²10 y
·
8
· y=x2
并且抛物线开口向上.
是轴对称图形，
对称轴是y轴.
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，
它是图象的最低点.
当x=0 时，y的值最小, 最小值是y=0 .
二次函数y
=-x2的图象是什么形状？
它的图象与二次函数y = x2的图象有什么关系？
y
当a＜0时,开口向下,有最大值；
决定开口大小，
越大,开口越小．
例2．
m=2或m= -3
变式训练4：如图，四个二次函数的图象
中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；
③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小

初中数学二次函数知识点梳理二次函数是数学中非常重要的一个概念，在初中数学中也是一个重点内容。

在这篇文章中，我们将对初中数学二次函数的知识点进行梳理和总结。

一、基本定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，x 为自变量，y为因变量。

1.1 二次项与二次函数在二次函数中，二次项就是ax^2，其中a为常数且a≠0。

二次项是二次函数的重要组成部分，它决定了二次函数的开口方向和形状。

1.2 线性项与二次函数在二次函数中，线性项就是bx，其中b为常数。

线性项使得二次函数的图象发生平移。

1.3 常数项与二次函数在二次函数中，常数项就是c，其中c为常数。

常数项使得二次函数的图象在纵轴上发生上下平移。

二、二次函数的图象2.1 抛物线的开口方向二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a决定。

- 当a>0时，抛物线开口向上；- 当a<0时，抛物线开口向下。

2.2 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（a>0）或最高点（a<0）。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

2.3 抛物线的对称轴在二次函数图象中，存在对称轴，对称轴垂直于x轴。

对称轴的方程为x=-b/2a。

2.4 抛物线与x轴或y轴的交点抛物线与x轴的交点称为零点，抛物线与y轴的交点称为截距。

求二次函数与x轴或y轴的交点，可以将y或x取值为0，解方程即可。

三、二次函数的性质3.1 二次函数的增减性当二次函数的二次项系数a>0时，函数增加；当二次项系数a<0时，函数减少。

3.2 二次函数的最值当二次函数的二次项系数a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次项系数a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

3.3 零点和截距零点和截距是二次函数的重要性质，求解二次函数的零点可以用因式分解、配方法、求根公式等方法，通过求解方程来获得。

3.4 二次函数的平移二次函数的横向平移和纵向平移可以通过改变二次函数的线性项和常数项来实现。