【中小学资料】2018版高中数学 第二章 概率 2.1 随机变量及其概率分布学案 苏教版选修2-3

2．3.1 条件概率学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．思考1 试求P(A)、P(B)、P(AB)．思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系．梳理(1)条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知________发生的条件下________发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为________．(2)条件概率的计算公式①一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝________.②利用条件概率，有P(AB)＝________________.知识点二条件概率的性质1．任何事件的条件概率都在______之间，即________________________________________________________________________．2．如果B 和C 是两个互斥的事件，则P (B ∪C |A )＝____________________.类型一 求条件概率 命题角度1 利用定义求条件概率例1 某个班级共有学生40人，其中团员有15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人．如果要在班内任选1人当学生代表，(1)求这个代表恰好在第一小组的概率；(2)求这个代表恰好是团员代表的概率；(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率；(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率．反思与感悟 用定义法求条件概率P (B |A )的步骤(1)分析题意，弄清概率模型．(2)计算P (A )，P (AB )．(3)代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ). 跟踪训练1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，记事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________. 命题角度2 缩小基本事件范围求条件概率引申探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．例2 集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB .而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )，这里n (A )和n (AB )的计数是基于缩小的基本事件范围的．跟踪训练2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．类型二 条件概率的综合应用例3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．反思与感悟当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．跟踪训练3 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？1．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )＝________. 2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是________．3．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率为________．4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．5．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率；(2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．1．P (A |B )表示事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．2．若事件A ，C 互斥，则P [A ∪C |B ]＝P (A |B )＋P (C |B )．答案精析问题导学知识点一思考1 P (A )＝93100，P (B )＝90100， P (AB )＝85100. 思考2 事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590. 思考3 P (A |B )＝P (AB )P (B ). 梳理 (1)事件B 事件A P (A |B ) (2)①P (AB )P (B ) ②P (A |B )P (B ) 知识点二1．0和1 0≤P (B |A )≤12．P (B |A )＋P (C |A )题型探究例1 解 设A ＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班内任选1名学生，该学生是团员}．(1)P (A )＝1040＝14. (2)P (B )＝1540＝38. (3)P (AB )＝440＝110. (4)方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝11038＝415. 方法二 P (A |B )＝n (AB )n (B )＝415. 跟踪训练1 解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14. 例2 解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 引申探究1．解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 2．解 甲抽到的数大于4的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16. 跟踪训练2 解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .根据分步计数原理得n (A )＝A 14A 15＝20，n (AB )＝A 24＝12. 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35. 例3 解 设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}，B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}，R ＝{第二次取出的球是红球}，W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310， P (R |A )＝12，P (W |A )＝12，P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为AR ∪BR ，又事件AR 与事件BR 互斥，故由概率的加法公式，得P (AR ∪BR )＝P (AR )＋P (BR )＝P (R |A )P (A )＋P (R |B )P (B )＝12×710＋45×310＝0.59. 跟踪训练3 解 记事件A ＝“最后从2号箱中取出的球是红球”，事件B ＝“从1号箱中取出的球是红球”，则P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13， P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B )＝38＋1＝13， 从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝49×23＋13×13＝1127. 当堂训练1.122.0.6653.254.235．解 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为6×2＝12，所以P (A )＝1236＝13. 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8， 所以事件B 的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，所以P (B )＝1036＝518. 事件AB 的基本事件数为6，故P (AB )＝636＝16. 由条件概率公式，得(1)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1613＝12. (2)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝16518＝35.。

以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法

因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P (X k ) C n kp k q n k ,k 0 ,1 , ,n
C
k n
p
k
q
n k C n 0 p 0 q n C n 1 p q n 1 C n n p n q 0 1
.
k 0
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二项分布（Binomial distribution）
k! n
nn
li(1 m )n k li(1 m )nli(1 m ) k
n nln in C lnm in k m p (1kqn nn )k nn ( k )k !ee n ,k0,1,2,
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将 样 本 空 间 与 实 数 值 之 间 建 立 一 种 对 应 关 系 ， 以 便 利 用 数 学
分 析 的 方 法 对 随 机 试 验 的 结 果 进 行 深 入 广 泛 的 研 究 和 讨 论 .
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1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每 一个样本点 eS, 变量X 都有唯一确定实数与之对应, 则X是定义在 S上的单值实函数, 即 XX(e), 称
辆汽车通过的概率.
解： 由题意知
P(X0)0e0.2, 则1.61.
0! 而 P ( X 1 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 )
10.21 e 1 0 .2 1 .6 0 1 .2
1!
0.478.
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P ( X 2 ) P ( A ) P ( A B ) P ( B |A ) 0 . 7 0 . 8 5 0 . 6

（3）>> poisscdf(6.1,3) 运行结果为： ans = 0.9665 >> poissinv(0.345,3) 运行结果为： ans = 2 或者：>> icdf('poiss',0.345,3) 运行结果为： ans = 2
3．设随机变量 X服从区间[2, 6]上的均匀 分布，求 （1）X=4 时的概率密度值； （2） P{X≤5}； （3）若P{X≤x}=0.345，求x。 (1)>> unifpdf(4,2,6) 运行结果为： ans = 0.2500
（3）>> expinv(0.345,6) 运行结果为： ans = 2.5387 或者：>> icdf('exp',0.345,6) 运行结果为： ans = 2.5387
5．设随机变量 X 服从均值是 6，标准差是2 的正态分布，求： （1）X=3，4，5，6，7，8，9 时的概率密度 值； （2）X=3，4，5，6，7，8，9 时的分布函数 值； （3）若P{X≤x}=0.345，求x； （4）求标准正态分布的上0.05分为点。 （1）>> normpdf(3:9,6,2) 运行结果为： ans = 0.0648 0.1210 0.1760 0.1995 0.1760 0.1210 0.0648
2.1 验证性实验
实验一 常见分布的概率密度、分 布函数生成
【实验目的】 1.会利用 Matlab 软件计算离散型随机变量 的概率、连续型随机变量概率密度值, 以及 产生离散型随机变量的概率分布(即分布律) 2.会利用 Matlab 软件计算分布函数值, 或计 算形如事件{X≤x}的概率 3.会求上α分位点以及分布函数的反函数值