随机变量模型的确定

1 第十一章 随机变量模型的确定

11.1 随机变量模型的确定

三种情形：①. 随机变量分布的类型已知, 需要由观测数据确定该分布的参数

②. 由观测数据确定随机变量概率分布类型, 并在此基础上确定其参数

③. 由已有的观测数据难以确定该随机变量的理论分布形式, 则定义一个实验分布

1 分布参数的确定

 分布参数的类型

(1) 位置参数(记为)

确定分布函数取值范围的横坐标。当改变时, 相应的分布函数仅仅向左或向右移动而不发生其它变化, 因而又称为位移参数。

例如, 均匀分布函数U(a,,b), 其密度函数为:

图11.1 均匀分布U(a, b)

的密度函数

f(x)

1/ (b-a)

0 a b x 2 fxbaaxb()10其它 其中参数a定义为位置参数, 当a改变时(保持ba不变), fx()向左或向右移动。

(2) 比例参数(记为)： 决定分布函数在其取值范围内取值的比例尺。

的改变只压缩或扩张分布函数, 而不会改变其基本形状。

例如, 指数分布函数EXPO(), 其密度函数为:

fxexx()/100其它

(3) 形状参数(记为α)：确定分布函数的形状, 从而改变分布函数的性质,

例如, 韦伯分布Weibull(,), 其密度函数为: fxxexx()(/)1100其它 图11.2 指数分布EXPO()

的密度函数

0 0.5 1.0 x f(x)

2.0

1.0

=0.5

=1.0

=2.0 3 当改变时, 其形状发生很大的变化。

随机变量XY,, 如果存在一个实数, 使X与Y具有相同的分布,

则称X与Y仅仅是位置上不同变量; 如果对于某个正实数, 使得X与Y具有相同的分布, 则称X与Y仅仅是比例尺不同的随机变量;

如果X与Y具有相同的分布, 则称X与Y仅在位置与比例上不同。

2. 分布参数的估计

最大似然估计: 设参数, 观测数据为xxxn12,,,

在离散分布情形, 可令Px()为该分布的概率质量函数, 定义似然函数L()为:

LPxPxPxn()()()...()12

则L()是联合质量函数, 的最大似然估计值是使L()取最大值的, 即对于所有可能的值, 图11.3 韦伯分布Wilbull(,)

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x f(x)

1.5

1.0

=3

=2

=1 4 )()((LL。

在连续分布情形, 令)(xf为该分布的概率密度函数, 其似然函数定义为)(L:

)()...()()(21nxfxfxfL

例：指数分布, 被估计的参数()0, 其分布密度函数为fxex()/1

由 Leeexxxxninin()exp///1111121

为求使L()取最大值的, 先对L()取自然对数:

RLnxini()ln()ln11

由于RL()ln()是严格递增的, L()取最大值等价于R()取最大值, 为此, 对R()求极值:

dRdnxini1021 可得 inixnxn1/() 5 又由 dRdnxini222312

当xn()时, 由于xi为正, 可见dRd220, 因而xn()为最大值, 从而得到参数的最大似然估计值为 ^()/xnxnini1

11.2 分布类型的假设

由观测数据来确定随机变量的分布类型----对观测数据进行适当的预处理, 然后根据预处理的结果对分布类型进行假设。

1. 连续分布类型的假设

预处理方法有三种, 即点统计法、直方图法及概率图法。

(1) 点统计法： 基于连续分布的变异系数特征来进行分布类型的假设。变异系数的定义是: 6 VarxEx()/() 其中Var()x与E()x分别为分布的方差与均值。

点统计法对观测数据进行如下预处理:

xnxnini()/1 Snxxnnini2121()()/()

则的似然估计为: Snxn2()/()

然后根据值并参照各类分布的变异数据来假设观测数据的分布类型------粗

(2) 直方图法

将观测数据xxxn12,,,的取值范围分成k个断开的相邻区间bbbb0112,,, , ,, bbkk1, 每个区间宽度相等, 记为bbbjj1 (,,,)jk12 。

对任意j,设ni为第j个区间上观测点的个数, 记gnnij/ (,,,)jk12  7 定义函数 hxxbgbxbxxijik()0001

做出hx()的直方图, 再将该图与基本理论分布的密度函数图形进行比较(先忽略位置及比例尺的差别), 观察何种分布与hx()的图形类似, 则可假设观测数据xxxn12,,,服从该类型分布，然后再采用前面介绍的方法确定其参数。

在实际使用时, 可能需要增加一些其值特别大或特别小的观测数据，以便与理论分布进行比较。

使用直方图法的困难在于如何确定区间长度b。b太大, 将丢失信息, b太小, 则观测数据中的噪声滤除得不够(一般观测数据中总是存在一定的噪声)。 193224111615413811115655414321432211111111时间样本数050b.0 1.0 2.0 0.20

0.15

0.10

0.05

8 (3) 概率图法

直方图法：将观测数据的直方图与理论分布的密度函数进行比较

概率图法：将观测数据定义成一个实验分布函数, 然后将它与理论分布函数进行比较后再进行假设

设观测数据xxxn12,,,共有m个取值(mn, 因为可能存在取值相同的观测点), 分别记为x(1),

x(2), „, xm(), 实验分布函定义为:

nnixFi/)((,,,)im12

其中ni表示小于或等于xi()的观测数据的个数, 且nnm。

为了避免由有限个观测数据得到的实验分布函数值等于1, 对上式可略加修正, 可采用下式来定义:

~()(.)/Fxinnni05

概率图法采用所谓“分位点”比较法:

定义：分布函数的分位点为： 设01g, 则xFgg1()称为Fx()的分位点。

如果Fx()与Gy()都是分布函数, 分别取不同的g值, 相应得到不同的(xygg,), 若Fx()与Gy() 9 是相同的分布函数, 则由(xygg,)形成的轨迹是斜率为45的直线。

反过来说，如果由两个分布函数Fx()与Gy()按相同的一组g值求得各自的分位点xygg,, 在xoy平面上确定(,)xygg的轨迹, 若该轨迹是一条斜率为45的直线, 则可以确认Fx()与Gy()的分布是相同的。

为了假设~()(.)/Fxinngii05的分布类型, 可取~()Fxi的分位点为xi(), 分别对应~()Fxi的值为gi,

然后从基本理论分布中选择一种, 按gi分别求得其分位点yi, 然后在xoy平面上画出xiyi(), 的轨迹, 观察是否是斜率为45的直线, 若比较接近, 则可假设观测数据的分布类型与所选分布的类型相同。

有时, xiyi(), 的轨迹虽然呈直线形状, 但斜率却不是45, 这说明这两个分布的类型是相同的, 只是位置参数和(或)比例参数不同, 那么可对xi()进行如下下变换:

)('ixyi

得到的iy ix'),(的轨迹必然是斜率为45的直线。这就说明, 只要分位点xiyi(), 的轨迹接近直线, 不管其斜率如何, 观测数据的分布与所选分布的类型是相同的。

概率图法只需要判断分位点轨迹偏离线性度的程度, 不会对观测数据造成信息丢失。 10 3 实验分布------难以由观测数据确定一个理论分布

原始观测数据为单个数据：xxxn12,,, ,先将该n个数据按递增顺序排列。由于可能有相同值的数据,

经排序后得到x(1), x (2), „, xm(), （mn），该观测数据的实验分布可由下式来定义:

Fxxxinnxxjxjxjxjxxjjmxxn()()()()()()()(,,,)01111111121 

观测数据是分组数据：即不知道观测数据的数值, 而仅知道该n个数据分布在m个相邻区间aa01,,

aa12,, „, aamm1,上及每个区间上数据的个数。记第j个区间上的个数为njmj(,,..)12, 则nnnnm12..., 实验分布函数的表达式为: 11 Fxxannnnxaaaaxajmxaikijjjjjjm(),,,0121011111

11.3 拟合优良度检验

由观测数据假设了其分布的类型并估计出其参数以后, 一般需要检验该分布与这些观测数据吻合的程度,

即进行拟合优良度检验。

1 2检验

将该拟合分布的取值范围分为K个相等子区间aa01,, aa12,, „, aakk1,, 其中可能a0, 或/

ak, 然后计算:

Pfxdxjaajj1() (,,,)jK12，其中()fx是拟合的分布密度函数。