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高中数学 立体几何线面关系的常见规律总结大全

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立体几何线面关系的常见规律总结大全规律一：线线平行与线线垂直的判定1、直线与直线平行的判定方法：公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行 2、直线与直线垂直的判定方法：利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B

＝A1D，AB＝AD.求证：

(1)AA1⊥BD；

(2)BB1∥DD1.

证明　(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD

⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M⊂平面A1AM，

所以BD⊥平面A1AM.

因为AA1⊂平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1⊄平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平

面D1DCC1.

又AA1⊂平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.

例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，SA=AB=AC=,

3

3BC

点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE,点M是线段SD上一点，求证：BCAM

方法小结：（1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘（2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视

同步练习1：在如图所示的多面体中，，．

11//AABB11CCACCCBC，（1）求证：；1CCAB

（2）求证：． 11//CCAA

同步练习2：如图，在四棱柱中，已知平面平面

1111DCBAABCDCCAA11,ABCD

且,.求证：3CABCAB1CDAD;

1AABD

同步练习3：（13南京期初）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC

的中点，若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；

规律二：线面平行的判定：方法一：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

BA1A

1B1CC

（第16题图）

1AECDBA

1D1B1C

第16ABC

D

A1

B1

C1

(第16题)方法二：平面与平面平行的定义：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面

例题2：三棱柱中，面面，，D是111ABCABC11BBCCABCABAC

BC的中点，M为 上一动点．1AA

若，求证：∥平面；1AMMAAD1MBC

例题3：如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．求证：直线AE∥平面BDF；

例题4：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，如(图1)，将此梯形沿EF折成一个直二面角A—EF—C，如(图2)．求证：BF∥平面ACD；方法小结： 在证明线面平行有两条思路：第一：通过线面平行的判定，即在平面上找一条直线与已知直线平行，在平面上找直线与已知直线平行有三种方法：1、构造平行四边形；2、通过中位线寻找平行；3、通过比例关系找平行相似。第二，当在已知平面找不出或很难找出直线与已知直线平行时可以考虑用面面平行的性质来证明，即过已知直线构造平面与已知平面平行。

同步练习1：

在正三棱柱中，点是的中点，．

111ABCABCDBC1BCBB

求证：∥平面；1AC1ABD

同步练习2：如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′；

DC1

B

1

A1

CB

A证明　法一　连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二　

取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.

同步练习3：如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.

证明　法一　如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.图1∵F，H分别是AB，AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴＝.BKBH23

又据题设条件知，＝，BEBG23

∴＝，∴EK∥GH.BKBHBEBG

∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.法二　

图2如图2，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，

∴FH綉BC，EN綉BC，∴FH綉EN，1212

∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.

规律三：线面平行中的探索问题如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.(1)证明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，又BF∩BC＝B∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.(2)解　在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作

GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE.13

∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE.同理，GN∥平面ADE.又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

方法小结：解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结

果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．同步练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解　在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綉AD.12

又在平行四边形ABCD中，CM綉AD.所以NE綉MC，即四边形MCEN是平12

行四边形．所以NM綉EC.又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

规律三：平面与平面平行的判定：平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.例题5：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.

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高中文科立体几何基础知识点

高中文科立体几何基础知识点

高中《立体几何》（文科数学知识要点）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,mlα方法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角) (二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结

高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结

又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
证法二：∵SA=SB=SC=a,又 ∠ASB=∠ASC=60°, ∴△ASB,△ASC都是等边三角形. ∴AB=AC=a. 作AD⊥平面BSC于点D， ∵AB=AC=AS, ∴D为△BSC的外心. 又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
2 3
.
即CE与底面BCD所成角的正弦值为
2 3
.
【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是： 在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线， 连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出 斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大 小，同时要注意其取值范围.
在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE，
图2-4-2
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∴SA⊥BC. 又∵AD⊥BC,AD∩AS=A, ∴BC⊥平面SAD.
∵SH 平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC.
【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.
【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连
接AD，SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，
∴AD⊥BC,SD⊥BC. 令SA=a,在△SBC中，SD=2 a,
2
又AD=AC2 -CD=2 a,2
2
∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.
立体几何线面关系经典

立体几何线面关系经典

立体几何线面关系一、柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式概念基本性质表面积体积二、线面关系及判定1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（4）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：（1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直那么它和这条斜线的射影垂直。

（3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：（1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

5、面面平行的判断：（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

6、面面垂直的判断：（1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

三、线面关系网络图公理4 线线平行线面平行面面平行三垂线定线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理立体几何线面关系训练一.选择题：1.线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A.AB α∈B. AB α⊂C.有线段AB 的长短而定D.以上都不对 2.下列说法正确的是（ ）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个相交平面有不同在一条直线上的三个交点 3.利用斜二测法画得的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。

高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明

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高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。

本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。

一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。

3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。

二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。

2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。

3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。

三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。

2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。

3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。

四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。

2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。

3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。

（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。

通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。