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高等数学微积分复习题

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第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 ） 2．本章重点难点分析

（1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析

例1：求不定积分sin3xdx

解：被积函数sin3x是一个复合函数，它是由()sinfuu和()3uxx复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x变形为'1sin3sin3(3)3xxx，故有 '111sin3sin3(3)sin3(3)3(cos)333xdxxxdxxdxxuuC

13cos33uxxC

例2：求不定积分22(0)axdxa （ 解：为了消去根式，利用三解恒等式22sincos1tt，可令sin()22xatt，则

22222sincosaxaatat，cosdxadt，因此，由第二换元积分法，所以积分

化为 222221cos2coscoscos2taxdxatatdtatdtadt

2222cos2(2)sin22424aaaadttdtttC 2(sincos)2atttC 由于sin()22xatt，所以sinxta，arcsin(/)txa，利用直角三角形直接写出22cosaxta邻边斜边，于是222221arcsin(/)22aaxdxxaxaxC 例3：求不定积分sinxxdx 分析：如果被积函数()sinfxxx中没有x或sinx，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x（因为'1u） 解令,sinuxdvxdx，则dudx，cosvx. 于是sin(cos)(cos)cossinxxdxudvuvvduxxxdxxxxC。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,uv，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：

sincos(coscos)cossinxxdxxdxxxxdxxxxC

` 例4：求微分方程21dyydx的通解。 解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得

12dydxy，两端积分得：12dydxy，得11ln212yxC 从而

122111ln21222Cxe

yxCye。

因为122Ce仍然是常数，把它记做C，故原方程的通解为212xyCe其中C为任意常数 例5：求微分方程22dyyxdxx的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()(())pxdxpxdxyeQxedxC 在本题中22(),()PxQxxx，由通解公式知 22()()2(())()dxdxpxdxpxdxxxyeQxedxCexedxC



= 52ln22ln42211()()()5xxxexedxCxdxCCxx ( 即原方程的通解为：225Cxyx



例6：求定积分120xdx 分析：设函数()fx在区间[,]ab上连续，()Fx是在[,]ab上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba，这就是牛顿-莱布尼茨公式。

解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为33x是2x的一个原函数，所以原式有 33312

0

110103333x

xdx

例7：求定积分83011dxx 分析：在应用定积分换元时应注意两点： （1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用()xt把原来的变量换成了新变量t，积分限也必须也必须换成新变量t的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。

（2） 求出换元后的原函数()t后，不必像计算不定积分那样将它还原成x的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。 解 为了去掉被积函数中的根式，令3xt，即3xt，于是23dxtdt，并且当x=0时，t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有 \ 22822

3000

13(1)13111ttdxdtdtttx





=222000113(1)3[(1)(1)]11tdttdtdttt =2223[()ln(1)]3ln3002ttt 例8：计算定积分10xxedx 分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样．

解 令ux，xdvedx，则,xdudxve．故由分部积分公式得 11110001()()()0xxxxxedxxeedxeedx11210xeee

例９ 求反常积分0xxedx 分析： 设()fx在[,)a或(,]b或(,)上连续，定义反常积分 ()lim()baabfxdxfxdx | ()lim()bbaafxdxfxdx

00()()()fxdxfxdxfxdx

若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散． 解 因为

0000()()[()]0bbbbxxxxbxbxedxxdexeedxbeedx

1()10bxbbbbeee ，

所以 001limlim(1)bxxbbbbxedxxedxe11lim1bbbe 这里．极限1limbbbe是型未定式，由洛必达法则易知其极限为０ 例１０ 计算由抛物线2yx与2yx，0,1xx所围阴影图形的面积

— 分析：设函数(),()fxgx在区间[,]ab上连续，并且()()([,])fxgxxab，则由曲线

()yfx与()ygx以及,xaxb所围成的图形面积Ａ为[()()]baAfxgxdx

解 联立两抛物线方程22yxxy，得交点(0,0),(1,1)OB，并且由图形可知当[0,1]x时均有2()()fxxxgx，则所求图形面积为3123201211()[]0333Axxdxxx 第六章 多元函数微积分 1．基本要求 （1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。 （2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。 （3）了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。 2．本章重点难点分析 （3） 本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。 （4） 本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。 ￥ 3．本章典型例题分析

例1. 求函数(xy) cossin(xy)z2的一阶偏导数. 解: 把y 看成常数, 对x求导. )]2sin()[cos()]sin([)cos(2)cos(xyxyyyxyxyxyyxz

例2. 设,yxxyz求dz 解：根据全微分公式，先求两个偏导数 yyxz1；2yxxyz。

所以.)()1(2dyyxxdxyydyyzdxxzdz 例3. 计算二重积分Dxyd，其中D是由直线2,1xy及xy所围成的闭区域． 解 区域D如图所示，可以将它看成一个x-型区域， 即 }1,21|,{xyxyxD．所以

xDxydydxxyd

121

213211289212121dxxxdxyx

xy

y

例4. 计算二重积分Dxyd，其中D是有抛物线xy2及2xy所围成的有界闭区域． 解：如图，区域D可以看成是y－型区域，它表示为

￥

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高等数学微积分上复习题及解答

高等数学微积分上复习题及解答


（D）a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
（A）0
（B） 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
（C）－1
（D）1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
（A）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
（B）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
（D）－ 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
（A） k >0
（B） k ≥0
（C） k <0
（D） k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时， esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导，且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ，则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=

x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f
高等数学微积分练习题集全套(含答案)

高等数学微积分练习题集全套(含答案)

高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.dx19.计算定积分I=0.a⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

微积分复习题

微积分复习题

微积分复习题微积分复习题微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的极限、导数和积分等概念与性质。

在学习微积分的过程中，我们经常会遇到各种各样的复习题，通过解答这些题目可以巩固对微积分知识的理解和应用能力。

本文将以一些典型的微积分复习题为例，展示微积分的一些重要概念和解题技巧。

一、极限题1. 求函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处的极限。

解析：首先，我们可以将函数$f(x)$进行因式分解，得到$f(x)=x+2$。

因此，当$x$趋近于2时，$f(x)$趋近于4。

所以，$\lim_{x\to 2} f(x)=4$。

2. 求函数$g(x)=\frac{\sin x}{x}$在$x=0$处的极限。

解析：对于这个函数，我们可以利用泰勒展开的方法来求解。

将$\sin x$展开为其泰勒级数形式，得到$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$。

因此，当$x$趋近于0时，$g(x)$趋近于1。

所以，$\lim_{x\to 0} g(x)=1$。

二、导数题1. 求函数$h(x)=3x^2-2x+1$的导函数。

解析：根据导数的定义，我们可以直接对函数$h(x)$进行求导。

对于多项式函数来说，求导的规则是将指数降低1，并乘以原指数的系数。

所以，导函数为$h'(x)=6x-2$。

2. 求函数$y=e^x$的导数。

解析：对于指数函数$y=e^x$来说，它的导数与其本身相等。

所以，导函数为$\frac{dy}{dx}=e^x$。

三、积分题1. 计算$\int (2x+1)dx$。

解析：根据积分的定义，我们可以将被积函数的每一项按照幂次降低1，并乘以原幂次的倒数。

所以，$\int (2x+1)dx=x^2+x+C$，其中C为常数。

2. 计算$\int_0^1 x^2dx$。

解析：这是一个定积分，我们可以直接根据积分的性质进行计算。

微积分(下)复习题及答案

微积分(下)复习题及答案

一、选择题1.若()()F x f x '=，C 是任意常数，则下列等式中错误的是（ C ）A.()()F x C f x C '+=+B.()()F x C f x C '+=+C.()()f x C dx F x C +=+⎰ D.()()()b a f x dx F b F a =-⎰2.10=⎰( A ) A.6π B.3π C.2π D.π 3.302x ax e dx +∞-=⎰，则a =（ C ）A.1B.12C.13D.16 4.00x y →→= ( B ) A .0 B .12C .1D .1- 5.已知()22,f x y x y x y +-=+，则()1sin ,cos f θθ'=( )A.2sin θB.2cos θC.sin 2θD.1注：题目有误，由题意得到()()221,,2f x y x y =+故有：()1sin ,cos sin .f θθθ'= 二、填空题1.101dx x =+⎰22π- 2.220sin lim x x x tdt x→=⎰ 12- 3.由2,y x =0x =和1y =所围图形围绕x 轴旋转得到的旋转体体积为45π4.z = 的定义域为(){},1x y x y +>5. 设y z x =，则dz =1ln y y yx dx x xdy -+ 三、解答题1.计算22143x dx x x +-+⎰. 解：()()22212415434313x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+--⎰⎰⎰ 2251153ln 43ln 43ln 23121x x x dx x x C x x x -⎛⎫=-++-=-+++ ⎪---⎝⎭⎰ 或者用待定系数法： 设()()22121,431313x x A B x x x x x x ++==+-+----对应解出：37,.22A B =-= 故有：221317137ln 1ln 343212322x dx dx dx x x C x x x x +=-+=--+-+-+--⎰⎰⎰ 2. 计算()2xt x f x e dt -=⎰在[)0,+∞上的单调区间。