高中数学必修一函数零点知识点
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高中数学必修一函数零点知识点
1.函数f (x )=log 5(x -1)的零点是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:选C.log 5(x -1)=0,解得x =2,
∴函数f (x )=log 5(x -1)的零点是x =2,故选C.
2.根据表格中的数据,可以判断方程e x -x -2=0必有一个根在区间( )
x -1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x +2 1 2 3 4 5
A.(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3)
解析:选C.设f (x )=e x
-x -2,∵f (1)=2.78-3=-0.22<0,f (2)=7.39-4=3.39>0.∴f (1)f (2)<0,由根的存在性定理知,方程e x -x -2=0必有一个根在区间(1,2).故选C.
3.(2010年高考福建卷)函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2+2x -3,x ≤0-2+ln x ,x >0的零点个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
解析:选C.当x ≤0时,由f (x )=x 2+2x -3=0,得x 1=1(舍去),x 2=-3;当x >0时,由f (x )=-2+ln x =0,得x =e 2,所以函数f (x )的零点个数为2,故选C.
4.已知函数f (x )=x 2-1,则函数f (x -1)的零点是________.
解析:由f (x )=x 2-1,得y =f (x -1)=(x -1)2-1=x 2-2x ,∴由x 2-2x =0.解得x 1=0,x 2=2,因此,函数f (x -1)的零点是0和2.
答案:0和2
1.若函数f (x )=ax +b 只有一个零点2,那么函数g (x )=bx 2-ax 的零点是( )
A .0,2
B .0,-1
2
C .0,12
D .2,1
2
解析:选B.由题意知2a +b =0,
∴b =-2a ,∴g (x )=-2ax 2-ax =-ax (2x +1),
使g (x )=0,则x =0或-1
2
.
2.若函数f (x )=x 2
+2x +a 没有零点,则实数a 的取值范围是( ) A .a <1 B .a >1 C .a ≤1 D .a ≥1 解析:选B.由题意知,Δ=4-4a <0,∴a >1.
3.函数f (x )=ln x -2
x
的零点所在的大致区间是( )
A .(1,2)
B .(2,3)
C .(3,4)
D .(e,3)
解析:选B.∵f (2)=ln2-1<0,f (3)=ln3-2
3
>0,
∴f (2)·f (3)<0,∴f (x )在(2,3)内有零点. 4.下列函数不存在零点的是( )
A .y =x -1
x
B .y =2x 2-x -1
C .y =⎩
⎪⎨⎪⎧
x +1 (x ≤0)
x -1 (x >0)
D .y =⎩
⎪⎨⎪⎧
x +1 (x ≥0)
x -1 (x <0)
解析:选D.令y =0,得A 和C 中函数的零点均为1,-1;B 中函数的零点为-1
2
,1;
只有D 中函数无零点.
5.函数y =log a (x +1)+x 2-2(0<a <1)的零点的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .无法确定
解析:选C.令log a (x +1)+x 2-2=0,方程解的个数即为所求函数零点的个数.即考查图象y 1=log a (x +1)与y 2=-x 2+2的交点个数.
6.设函数y =x 3与y =(12
)x -
2的图象的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( )
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,3)
D .(3,4)
解析:选B.设f (x )=x 3-(12
)x -
2,
则f (0)=0-(12)-2<0;f (1)=1-(12)-1<0;f (2)=23-(1
2
)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)上.
7.函数f (x )=ax 2+2ax +c (a ≠0)的一个零点为1,则它的另一个零点为________. 解析:设方程f (x )=0的另一根为x ,
由根与系数的关系,得1+x =-2a
a
=-2,
故x =-3,即另一个零点为-3. 答案:-3 8.若函数f (x )=3ax -2a +1在区间[-1,1]上存在一个零点,则a 的取值范围是________. 解析:因为函数f (x )=3ax -2a +1在区间[-1,1]上存在一个零点,所以有f (-1)·f (1)≤0,即(-5a +1)·(a +1)≤0,(5a -1)(a +1)≥0,
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a -1≥0a +1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧
5a -1≤0,a +1≤0,
解得a ≥15或a ≤-1.
答案:a ≥1
5
或a ≤-1.
9.下列说法正确的有________:
①对于函数f (x )=x 2+mx +n ,若f (a )>0,f (b )>0,则函数f (x )在区间(a ,b )内一定没有零点.
②函数f (x )=2x -x 2有两个零点.
③若奇函数、偶函数有零点,其和为0.
④当a =1时,函数f (x )=|x 2-2x |-a 有三个零点. 解析:①错,如图.
②错,应有三个零点.