分式方程培优讲义

《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。

之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。

那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。

比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。

因为在这些方程中，分母中都含有未知数。

二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。

解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。

我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。

例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。

2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。

接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。

就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。

3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。

我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。

还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。

三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。

增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。

为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。

而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。

分式方程一【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是（即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

验根的方法是将所求的根代人或，若的值为零或的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。

6. 分式方程的解法有和。

二：【经典考题剖析】 1.1111x x x --=+2、 若关于x 的分式方程226224m x x x x -+=+--有增根，求m 的值。

3. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m 3，求该市今年居民用水的价格．三、当堂训练一、选择题1．把分式方程1x －2－1－x 2－x＝1的两边同时乘以(x －2)，约去分母，得( ) A ．1－(1－x )＝1 B ．1＋(1－x )＝1 C ．1－(1－x )＝x －2 D ．1＋(1－x )＝x －22．(2021·重庆)关于x 的方程2x －1＝1的解是( )A ．x ＝4 B ．x ＝3 C ．x ＝2 D ．x ＝1 3．(2021·湘潭)分式方程5x ＋2＝3x的解为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知a 与2a －2互为倒数，则满足条件的实数a 的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．关于x 的方程2ax ＋3a －x ＝34的解为x ＝1，那么a 的值是( )A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3 6．(2021·莱芜)已知A ，C 两地相距40千米，B ，C 两地相距50千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A.40x ＝50x －12B.40x －12＝50x C.40x ＝50x ＋12D.40x ＋12＝50x二、填空题7．要把分式方程32x －4＝1x化为整式方程，方程两边需要同时乘以____． 8．写出一个解为x ＝－1的分式方程____．9．(2021·安徽)方程4x －12x －2＝3的解是x ＝____． 10．当x ＝____时，1x －2＝1. 11．(2021·宁夏)甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x 吨/小时，依题意列方程正确的是____．12．(2021·青岛)某工程队准备修建一条长1200 m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m ，则根据题意可列方程为____．三、解答题13．(2021·攀枝花)解方程：x x －1＋1x 2－1＝1.14．解方程：2－x x －3＝1－13－x.15．(2021·长春)某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．16．(2021·汕尾)某校为美化校园，计划对面积为1800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？17．当k 为何值时，去分母解方程2x －2＋kx x 2－4＝3x ＋2会产生增根？18．(2021·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？。

《分式方程》 讲义 一、分式方程的定义 分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。例如：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 3$，＄＼frac{1}｛x} ＋ 2x ＝ 5$ 等都是分式方程。

与整式方程不同，分式方程的分母中含有未知数，这也是分式方程的重要特征。

二、分式方程的解法 解分式方程的一般步骤如下： 1、 去分母 将方程两边同时乘以各分母的最简公分母，把分式方程化为整式方程。

例如，对于方程 ＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 3$，最简公分母是 ＄x 1$，方程两边同时乘以 ＄x 1$ 得到：

＄x ＝ 3(x 1)＄ 2、 解整式方程 按照解整式方程的方法求出未知数的值。 对于上面得到的整式方程 ＄x ＝ 3(x 1)＄ ，展开括号得： ＄x ＝ 3x 3$ 移项得： ＄3x x ＝ 3$ ＄2x ＝ 3$ 解得： ＄x ＝ ＼frac{3}｛2}＄ 3、 检验 将求得的未知数的值代入最简公分母，如果最简公分母不等于 0，则这个值是原分式方程的解；如果最简公分母等于 0，则这个值是原分式方程的增根，原分式方程无解。

在上面的例子中，将 ＄x ＝ ＼frac{3}｛2}＄ 代入最简公分母 ＄x 1$ 得：

＄＼frac{3}｛2} 1 ＝ ＼frac{1}｛2} ＼neq 0$ 所以，＄x ＝ ＼frac{3}｛2}＄ 是原分式方程的解。 三、分式方程的增根 增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为 0 的根。

产生增根的原因是在去分母的过程中，方程两边同乘了一个可能为 0 的整式。 例如，方程 ＄＼frac{x}｛x 1} ＼frac{1}｛x} ＝ 0$ ，去分母得： ＄x^2 （x 1) ＝ 0$ ＄x^2 x ＋ 1 ＝ 0$ 这个方程没有实数根，但在去分母的过程中，当 ＄x ＝ 0$ 或 ＄x ＝ 1$ 时，原分式方程的分母为 0，所以 ＄x ＝ 0$ 和 ＄x ＝ 1$ 是增根。

培优专题：分式方程一、【基础知识精讲】1.分式方程的定义：分母中含有 的方程叫分式方程。

2.解分式方程的基本思想方法: 整式方程分式方程去分母−−→−3.解分式方程的一般方法和步骤:(1)去分母,即在方程两边都乘以 ,把原方程化成 。

(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.4．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看最简公分母是否为0.5.列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审:审清题意. (2)设:设未知数.(3)找:找出相等关系. (4)列:列出分式方程.(5)解: 解这个分式方程.(6)验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要检验根是否符合题意.(7)答:写出答案.二、【例题精讲】例1：去分母法解分式方程1、()()113116=---+x x x 2、22416222-+=--+-x x x x x3、22412212362xx x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x例2：整体换元与倒数型换元：1、用换元法解分式方程：（1）6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x变式练习： （11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=例3：分式方程的（增）根的意义1、 若分式方程：024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。