四川省成都市2017-2018学年高二下学期期中考试理数试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}24|0log 1,|40A x x B x x =<<=-≤,则AB =( )A .()0,1B .(]0,2C .()1,2D .(]1,2 【答案】D 【解析】试题分析:由题意得{}{}|14,|22A x x B x x =<<=-≤≤,所以{|12}A B x x =<≤,故选D.考点:集合的运算.2.设x R ∈,且0x ≠,“112x⎛⎫> ⎪⎝⎭”是“11x <”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A考点:充要条件的应用.3.已知动点P 到点()2,0M -和到直线2x =-的距离相等,则动点P 的轨迹是( )A .抛物线B .双曲线左支C .一条直线D .圆 【答案】C 【解析】试题分析:由题意得,设(,)P x y ,因为动点P 到点()2,0M -和到直线2x =-的距离相等,即PA d =,2x =+,化简得0y =,所以动点P 的轨迹是一条直线,故选C. 考点:轨迹方程的求解.4.下列结论中,正确的是( )A .“2x >”是“220x x ->”成立的必要条件B .命题“若21x =,则1x =”的逆否命题为假命题C .命题“2:,0p x R x ∀∈≥”的否定形式为“200:,0p x R x ⌝∃∈≥”D .已知向量,a b ,则“a b ”是“0a b +=” 的充要条件 【答案】B考点:命题的真假判定.5.如图,该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输出的3a =,则输入的,a b 分别可能为( )A .15,18B .14,18C .13,18D .12,18 【答案】A 【解析】试题分析:根据题意,执行程序后,输出的3a =,则执行该程序框图前,输入,a b 的最大公约数是3,分析选项中的四组数,满足条件的选项A ,故选A. 考点:程序框图.6.过抛物线24y x =的焦点作两条垂直的弦,AB CD ,则11AB CD+=( ) A . 2 B .4 C .12D .14【答案】D考点:抛物线的标准方程及其简单的几何性质.7.过点()1,1M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点, 且点M 平分弦AB ,则直线AB 的方程为( ) A .4370x y +-= B .3470x y +-= C .3410x y -+= D .4310x y --= 【答案】B 【解析】试题分析:设1122(,),(,)A x y B x y ,代入椭圆的方程可得:222211221,14343x y x y +=+=,两式相减可得:12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=,又211212212,2,y yx x y y k x x -+=+==-,所以12123()34()4x x k y y +=-=-+,所以直线AB 的方程为31(1)4y x -=--,即3470x y +-=,故选B.考点:直线与椭圆的位置关系的应用.8.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为( )A .16B .13C .12D .43【答案】D考点:几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则,还原出原几何体的形状,本题的解答中,根据几何体的三视图,得出是一个三棱锥,确定三棱锥的底面积和高是解答问题的关键.9.已知正方体1111ABCD A BC D 的棱长为2,E 是棱11C D 的中点,点F 在正方体内部或正方体的表面上,且EF 平面11A BC ,则动点F 的轨迹所形成的区域面积是( )A .92B ...【答案】C 【解析】试题分析:如图所示,分别取1111,,,,CC BC AB AA A D 的中点,,,,G H M N K ,并连同点E 顺次连接,根据EG 为11C CD ∆的中位线,可得1//EG CD ,而11//CD A B ,所以1//EG A B ,因为1A B ⊂平面11,A BC EG ⊄平面11A BC ,所以//EG 平面11A BC ,同理可证,,,,,GH HM MN NK KE 都平行与平面11A BC ,由题意得,点F 的轨迹为正六边形EGHMNK ,该正六边形EGHMNK 的边长为,所以该正六边形EGHMNK 的面积为016(60)2⋅= C.考点:线面位置关系的应用.10.如图所示,,,A B C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过原点O ,AC 经过右焦点F ,若BF AC ⊥且BF CF =,则该双曲线的离心率是( )A .32 D .3【答案】A 【解析】试题分析:由题意得可得在直角三角形ABF 中,OF 为斜边AB 上的中线,即有222AB OA OF c ===,设(,)A m n ,则222m n c +=,又22221m n a b -=,解得2b m n c==,即有22),()b b A BA c c-,又(,0)F c ,由于BF AC ⊥且BF CF =,可设(,)C x y ,考点:双曲线的标准方程及其简单的几何性质.11.已知函数()cos sin 2f x x x =,下列结论中不正确的是( ) A .()y f x =的图象关于点(),0π中心对称 B .()y f x =的图象关于直线2x π=对称C .()f xD .()f x 既是奇函数,又是周期函数 【答案】C 【解析】试题分析:对于A 中,因为()()()cos sin2cos sin2fx x x x x πππ+=++=-,则()()()cos sin2cos sin2f x x x x x πππ-=--=,所以()()0f x f x ππ++-=,可得()y f x =的图象关于(,0)π中心对称,故A 正确;对于B ,因为()cos()sin 2()sin (sin 2)222f x x x x x πππ+=++=-- sin sin 2x x =,()cos()sin 2()sin sin 2222f x x x x x πππ-=--=,所以()()22f x f x ππ+=-,可得()y f x =的图象关于2x π=中心对称,故B 正确;对于C ,化简得()2cos sin22cos sin f x x x x x ==22sin (1sin )x x =-,令()()2sin ,2(12),11t x f x g t t t t ===--≤≤,因为()22(1)g t t t =-的导数()2262(1)(1)g t t '=-=,所以当(1,t ∈-或t ∈时,()0g t '<,函数()g t 为减函数;当()33t ∈-时,()0g t '>,函数()g t 为增函数,因此函数()g t 的最大值为1t =-或3t =时的函数值,结合()10g g -=<=()g t ,由此可得()f x 的最大值为D ,因为()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-,所以()f x 是奇函数,因为(2)cos(2)sin(42)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==,所以2π为函数的一个周期,得()f x 为周期,可得()f x 既是奇函数,又是周期函数,所以正确,故选D. 考点:三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质及三角函数的最值问题,其中解答中涉及到三角函数的解析式、三角函数的奇偶性、三角函数的单调性和周期性等知识点的综合考查,着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数的图象的对称性等知识,体现了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.12.设奇函数()f x 在R 上存在导数()'f x ,且在()0,+∞上()2'f x x <,若()()()331113f m f m m m ⎡⎤--≥--⎣⎦,则实数m 的取值范围为( )A .11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D .11,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B考点:函数的奇偶性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用,其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查,着重考查了转化与化归的思想方法,以及学生的推理与运算能力,属于中档试题,解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.)13.211dx x+=⎰⎰. 【答案】ln 24π+考点:定积分求解曲边形的面积.14.在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中, 斜率为()0k k >的直线交椭圆于左顶点A 和另一点B ,点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若椭圆离心率13e =,则k 的值为_ . 【答案】23【解析】试题分析:因为椭圆的离心率为13e =,所以13c a =,所以1,33c a b a ==,因为点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,所以点2(,)b B c a ,又(,0)A a -,所以22829133b a a kc a a a ===++.考点:椭圆的几何性质.15.若直线:1l y kx =+与圆22:230C x y x +--=交于,A B ,则AB 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析:由题意得,直线:1l y kx =+恒经过定点(0,1),当直线l 和过(0,1)的直径垂直时,AB 取得最小值,此时圆心为(1,0)到(0,1)的距离d =AB ==.考点:直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到圆的弦长公式、两点间的距离公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归的思想方法,属于中档试题,本题的解答中,根据直线与圆的位置关系,得到当直线l 和过(0,1)的直径垂直时,AB 取得最小值是解答的关键.16.已知双曲线2214y x -=的右焦点为F ,过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ,M 在直线PF 上, 且满足0OM PF =,则PM PF= .【答案】12考点:双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质,其中解答中涉及到双曲线的标准方程、渐近线方程和直线、双曲线的位置关系以及共线向量的坐标表示等知识点综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档试题,本题的解答中把直线的方程代入双曲线的方程,求解点P 的坐标是解得难点和一个易错点.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且2441,1,a a S ++成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设112n n n n na ab a a ++=+-,求数列{}n b 的前n 项和为n T . 【答案】(1)21n a n =-;(2)421n nn T =+.考点:等差数列的通项公式及数列求和.18.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求角C 的大小;(2)若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值.【答案】(1)3C π=;(2)a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】考点:正弦定理;余弦定理.19.(本小题满分12分)如图 1,在等腰梯形ABCD 中,1,2,602BCAD BC AD A ==∠=,E 为AD 中点, 点,O F 分别为,BE DE 的中点, 将ABE ∆沿BE 折起到 1A BE ∆的位置,使得平面1A BE ⊥平面BCDE (如图 2).(1)求证:1AO CE ⊥; (2)求直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值; (3)侧棱1AC 上是否存在点P ,使得BP 平面1AOF ?若存在,求出11A PAC 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)5;(3)1113A P AC =. 【解析】试题分析:(1)要证1AO CE ⊥,只需证明1AO ⊥平面BCDE 即可;(2)以O 为原点,1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设平面1ACE 的一个法向量为(),,n x y z =,根据法向量与平面的两个向量的数量积为零,解得()3,1,1n =-,进而可求解直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值;(3)假设在侧棱1AC 上存在点P ,使得BP 平面1A OF ,设[]11,0,1A P AC λλ=∈,由四边形BCDE 为菱形,且CE BD ⊥,结合(1)可知,CE ⊥平面1AOF,得到()1,CE =-为平面1AOF 的一个法向量.据此可求解11APAC 的值. 因为2BC =,易知(()()()11,1,0,0,,1,0,0OA OC A B C E ==∴-,()()(1111,0,3,0,3,3,1,0,,A B AC A E ∴=-=-=- 设平面1ACE 的一个法向量为(),,n xy z =, 由1100n AC n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得00x =-+=⎪⎩,即00y z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z =,得()3,1,1n =-,设直线1A B 与平面1ACE 所成角为θ,则1sin cos ,A B n θ-====所以直线1A B 与平面1ACE 所成角的正弦值为5. (3)假设在侧棱1AC 上存在点P ,使得BP 平面1AOF ,设[]11,0,1A P ACλλ=∈,因为1111BPBA A P BAAC λ=+=+,所以((()BP λ=-+=-. 易证四边形BCDE 为菱形,且CE BD ⊥,又由(1)可知,1,AO CE CE ⊥∴⊥平面()1,1,AOF CE ∴=-为平面1AOF 的一个法向量. 由()()1,3,331,3,0130BP CE λλλ=----=-=,得[]10,13λ=∈,所以侧棱1AC 上存在点P ,使得BP 平面1AOF ,且1113A P AC =. 考点:直线与平面垂直的判定与证明;直线与平面所成的角;空间向量的运算. 20.(本小题满分12分)已知函数()xf x e x =-.(1)求()f x 的极小值;(2)对()()0,,x f x ax ∀∈+∞>恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)()f x 的极小值为1;(2)(),1e -∞-. 【解析】试题分析:(1)求解函数的导数()'1xf x e =-,判定函数的单调性,即可求解()f x 的极小值;(2)当0x >时,1x e a x -> 恒成立,令()1,0xe g x x x=->,求解()'g x ,得出函数的单调性,求解函数()g x 的最小值,即可求解实数a 的取值范围.试题解析:(1)()'1xf x e =-()f x 的极小值为1.(2)当0x >时,1x e a x -> 恒成立. 令()1,0xe g x x x =->,则()()21'x e x g x x-=,()()min 11g x g e ==-,实数a 的取值范围是(),1e -∞-.考点:利用导数研究函数的单调性与极值;恒成立问题的求解.21.(本小题满分12分)定圆(22:16M x y ++=,动圆N 过点)F且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程;(2)设点,,A B C 在E 上运动,A 与B 关于原点对称,且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时, 求直线AB 的方程.【答案】(1)2214x y +=;(2)y x =或y x =-. 【解析】试题分析:(1)因为4NM NF FM +=>,所以点N 的轨迹E 为椭圆,且24,a c ==1b =,从而可求解轨迹E 的方程;(2)分类讨论,直线AB 的方程为y kx =,代入椭圆的方程,求出,OA OC ,表示出ABC S ∆=2OAC S OA OC ∆=⋅,利用基本不等式求最值,即可求解直线AB 的方程.当且仅当 22144k k +=+,即1k =±时等号成立,此时ABC ∆面积最小值是85. 82,5ABC >∴∆面积最小值是85,此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.考点:椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到基本不等式的运用,三角形的面积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及分类讨论思想的应用,其中此类问题解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程,借助根与系数的关系是解答此类问题的关键.22.(本小题满分12分)已知曲线 ()()()ln f x x a x a R =+∈在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直.(1)求a 的值;(2)若[)()()21,,1x f x m x ∀∈+∞≤-恒成立,求实数m 的取值范围;(3)求证:11111ln 1...,2223n n N n n+++≤++++∈. 【答案】(1)1y x =-;(2)12m ≥;(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)求导数,曲线 ()()ln f x x a x =+在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直,即可求解a 的值;(2)设()1ln g x x m x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭,则()'g x ,分类讨论,利用()()1,,0x g x ∀∈+∞≤恒成立,结合函数的单调性,即可求解实数m 的取值范围;(3)由(2)知,当1x >时,12m =时, 11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立,不妨令21,21k x k N k *+=∈-,进而得到221121214ln 212212141k k k kk k k k ++-⎛⎫∴<-= ⎪--+-⎝⎭,由此可得证.(3) 当1n =时,11≤, 当2n ≥时, 在11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭中, 令1k x k =-得()11ln2,121k k k k k k ⎛⎫<+≥ ⎪--⎝⎭()()()22111111ln 2,1ln 112211221n nk k k k k k k k k k k k k ==⎡⎤+-<≥++-<+⎢⎥----⎣⎦∑∑, 即11111ln 1...,2223n n N n n*++≤++++∈. 考点:利用导数研究曲线在某点处的切线方程;利用导数研究函数的单调性与极值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值,其中解答中涉及到导数的运算、函数恒成立问题的求解、不等关系的证明等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,同时解答中注意转化思想的应用,试题有一定的难度,属于难题.。