切线的性质和判定最新课件 2

切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。

切线的判定和性质切线是数学中一个重要的概念，尤其在微积分和几何学中使用得非常广泛。

本文将讨论如何判定一条直线是否为曲线的切线以及切线的一些性质。

切线的判定判定一条直线是否为曲线的切线，有以下两种常见的方法：1. 函数导数法设曲线的方程为 y = f(x)，如果某一点 (a, f(a)) 处的函数导数f’(a) 存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。

2. 函数极限法设曲线的方程为 y = f(x)，如果点 (a, f(a)) 处的函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。

需要注意的是，以上两种方法得到的切线方程并不一定相同，因为函数在某一点处的导数和极限不一定相等。

但是当函数是可导的时候，两种方法能得到相同的结果。

切线的性质切线作为曲线的一条特殊直线，具有以下一些性质：1. 切点切点是切线与曲线相交的点，切线与曲线通常只有一个交点。

切点坐标为 (a, f(a))，其中 a 是曲线上的一点，f(a) 是曲线在点 a 处的函数值。

2. 切线的斜率切线与曲线在切点处的斜率是相等的。

切线的斜率可以通过上述判定切线的两种方法得到。

3. 切线方程切线方程可以使用点斜式或一般式表示。

点斜式为 y - f(a) = k(x - a)，其中 k 是切线的斜率。

一般式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是切线方程的系数。

4. 切线与曲线的关系切线与曲线在切点处相切，因此切线方程所表示的直线与曲线在切点处重合。

切线与曲线在切点处的函数值相等，即切线方程与曲线方程在切点处相等。

5. 切线的几何意义切线可以看作曲线在切点处的局部近似，切线的斜率表示曲线在切点处的变化速率。

当切线的斜率为正时，曲线在切点处向上增长；当切线的斜率为负时，曲线在切点处向下增长；当切线的斜率为零时，曲线在切点处取极值。

④t△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝3 cm，BC
(1)求△ABC 内切圆的半径； (2)若移动内切圆心 O 的位置，使⊙O 保持与△ABC 的边 AC、BC 都相切． ①求半径 r 的取值范围； 12 ②当⊙O 的半径为 cm 时，求圆心 O 的位置． 7
分析：本题考查圆的切线的求法及三角形内切圆的 有关性质的应用．解答本题需要搞清直线与圆相切的条件 以及从“变”中找到“不变”，从而找到解决问题的突破口．
[读教材·填要点] 1．直线与圆的位置关系 直线与圆有 两个 公共点，称直线与圆相交；直线与 圆只有 一个 公共点，称直线与圆相切；直线与圆 没有 公 共点，称直线与圆相离．
2．切线的性质定理 圆的切线 垂直于 经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ． 3．切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
恰与腰AB相切． 求证：以腰AB为直径的圆O2也与腰CD相切．
证明：连接O1O2，作O2E⊥O1D于E， DF⊥O1O2于F.
∵O1C＝O1D，O2B＝O2A，
∴O1O2∥AD∥BC. ∴AB⊥O1O2，DF＝O2A. ∵AB与⊙O1相切，∴O1O2＝O1D. ∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E＝DF.
证明：如图，连接BC交AE于F点．
∵AB∥CD，∴∠1＝∠3. 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2，即AF＝BF. ①
AB为⊙O的直径，BE为⊙O的切线，
∠2＋∠4＝90° ∴ ∠1＋∠5＝90°
， ② ③
∴∠4＝∠5，即 FE＝BF. 由①②得 AF＝FE. 又 AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AG. 又 EG⊥AG， ∴BC∥EG. 由③④得 AC＝CG.

观察平面图，由此你能得出直线 和圆的位置关系吗？
l l l
关于切线
怎样判定切线？ 切线有什么特征？
直
线
l
和
．O
⊙
O
相
r d
切
l切
切点
外端，并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
注意
． 圆的切线有无数条．
小练习
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
作法： （1）连接OA． （2）过点A作OA的垂线l． l 即为所求的切线．
课堂小结
1． 直线和圆的五种位置关系
图形
直线与圆的位 置关系
公共点的个数 圆心到直线的 距离d与半径r
的关系 公共点的名称
直线名称
Ｏ
d
r ┐
l
相离
0
d>r
O d ．┐r l A
相切
1
d=r
切点 切线
O
．r B
┐d
． C
l
相交
2
d<r
交点 割线
2． 切线的判定定理
经过半径的外端，并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
知识要点
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
．
C
定理证明
O．
A M
证明：假设OA与CD不垂直， D
过点O作一条半径垂直于CD，垂足为M，
则OM＜OA，
即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，
因此CD与⊙O相交，
这与已知条件“直线CD与⊙O相切” 矛盾，
所以OA与CD垂直．
即圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定和性质
新课导入
直线与圆有怎 样的位置关系？