2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)
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试卷第1页，总17页 2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合𝐴＝{𝑥|−1<𝑥<3, 𝑥∈𝑁}，𝐵＝{𝐶|𝐶⊆𝐴}，则集合𝐵中元素的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
2. 设𝑥∈𝑅，则“𝑥2−2𝑥−3>0”是“𝑥>4”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3. 已知𝑎＝30.4，𝑏＝log432，𝑐＝log550，则𝑎，𝑏，𝑐在大小关系为（ ）
A.𝑐>𝑏>𝑎 B.𝑏>𝑐>𝑎 C.𝑎>𝑐>𝑏 D.𝑏>𝑎>𝑐
4. 在等差数列{𝑎𝑛}中，若𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6+𝑎7＝750，则𝑎2+𝑎8＝（ ）
A.150 B.160 C.200 D.300
5. 函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜋6)的图象向右平移2𝜋3个单位后与原图象重合，则正数𝜔不可能是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.9
6. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A.214 B.213 C.2313 D.2413
7. 若函数𝑓(𝑥)＝(𝑥−𝑎)3−3𝑥+𝑏的极大值为𝑀，极小值为𝑁，则𝑀−𝑁( )
A.与𝑎有关，且与𝑏有关
B.与𝑎无关，且与𝑏有关
C.与𝑎无关，且与𝑏无关
D.与𝑎有关，且与𝑏无关
8. 函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑒−𝑥−𝑒𝑥)4𝑥2−1的部分图像大致是( )
A.
B.
试卷第2页，总17页
C.
D.
9. 已知命题𝑝：函数𝑦=√𝑥2−𝑎𝑥+1的定义域为𝑅，命题𝑞：存在实数𝑥满足𝑎𝑥≤ln𝑥，若𝑝∧𝑞为真，则实数𝑎的取值范围是（ ）
A.[−2, 1𝑒] B.[1𝑒, 2] C.(−∞, −2] D.[2, +∞)
10. 定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)＝−𝑓(𝑥)，且对任意不相等的实数𝑥1，𝑥2∈[0, +∞)有(𝑥1−𝑥2)（𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)）>0，若关于𝑥的不等式𝑓(𝑎sin𝑥)+𝑓(1)>0在实数𝑅上恒成立，则实数𝑎的取值范围是（ ）
A.0<𝑎<1 B.−1<𝑎<0
C.𝑎<1 D.−1<𝑎<1
11. △𝐴𝐵𝐶是边长为2的正三角形，𝐷、𝐸、𝐹分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶上三点，且𝐴𝐷＝𝐷𝐹，∠𝐴𝐷𝐸＝∠𝐹𝐷𝐸，则当线段𝐴𝐷的长最小时，∠𝐴𝐷𝐸＝（ ）
A.𝜋3 B.5𝜋6 C.5𝜋12 D.3𝜋4
12. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥22−1，若𝑓(𝑥)≥𝑘𝑥在𝑥∈[0, +∞)时总成立，则实数𝑘的取值范围是（ ）
A.(−∞, 1] B.(−∞, 𝑒] C.(−∞, 2𝑒] D.(−∞, 𝑒2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
若实数𝑥，𝑦满足{𝑥≤2𝑦≥−2𝑥−𝑦+2≥0 ，则2𝑦−𝑥的最大值是________．
若tan𝛼=−23，则sin(2𝛼+𝜋4)=________．
设函数𝑓(𝑥)={4𝑥−2,𝑥≤2𝑙𝑜𝑔2(𝑥−2),2<𝑥<3 ，若𝑓(𝑥)≤3−𝑎𝑥恒成立，则实数𝑎的取值范围是________．
试卷第3页，总17页
已知函数𝑓(𝑥)是(−𝜋2,𝜋2)上的奇函数，其导函数为𝑓′(𝑥)，且𝑓(1)＝0，当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)tan𝑥−𝑓(𝑥)>0，则不等式𝑓(𝑥)>0的解集为________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：60分
已知函数𝑓(𝑥)=√3sin𝑥cos𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥．
（1）求函数𝑓(𝑥)的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数𝑓(𝑥)的图象上每一点向右平移𝜋6个单位得到函数𝑔(𝑥)的图象，求函数𝑔(𝑥)在区间[0, 5𝜋12]上的值域．
在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐．已知𝑎𝑐＝4(𝑐2−𝑎2−𝑏2)，sin(𝐴+𝐵)+2cos(3𝜋2−𝐵)=0．
（1）求cos𝐶；
（2）若△𝐴𝐵𝐶的面积为2716√15，求△𝐴𝐵𝐶的周长𝐿．
在等差数列{𝑎𝑛}和正项等比数列{𝑏𝑛}中，𝑎1＝1，𝑏1＝2，且𝑏1，𝑎2，𝑏2成等差数列，数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆3＝14．
（1）求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；
（2）令𝑐𝑛=𝑎𝑏𝑛，(−1)𝑛𝑑𝑛＝𝑛𝑐𝑛+𝑛，求数列{𝑑𝑛}的前项和为𝑇𝑛．
为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神．某地大力加强生态综合治理．治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标在一定范围内波动．如图是治理开始后12个月内该地该项污类物指标随时间𝑥（单位：月）变化的大致曲线，其近似满足函数：
𝑓(𝑥)={𝑒𝑘𝑥+𝑏+𝑎,(0≤𝑥≤3)𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)+𝐵,(3<𝑥≤12) 其中𝑒＝2.71828…，𝐴>0，𝜔>0，−𝜋<𝜑≤𝜋
（1）求𝑓(𝑥)的表达式；
试卷第4页，总17页
（2）若该项污染物指标不超过2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的12个月内，该地环境良好的时间长度大约有几个月[精确到整数，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)？
已知函数𝑓(𝑥)＝𝑒𝑥−𝑎+1，𝑔(𝑥)＝ln(𝑎𝑥+1)+1．
（1）证明：当𝑎＝1时，𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)在𝑥＝0处有公共的切线；
（2）对任意𝑥∈[0, +∞)均有𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)，求实数𝑎的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=4𝑡𝑦=4𝑡2 （𝑡为参数），以坐标原点为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌cos(𝜃+𝜋4)=2√2．
（1）求曲线𝐶1的普通方程和曲线𝐶2的直角坐标方程；
（2）若点𝑃，𝑄分别是曲线𝐶1，𝐶2上的点，求|𝑃𝑄|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数𝑓(𝑥)＝2|𝑥+1|+|𝑥−2|，𝑓(𝑥)的最小值为𝑀．
（1）求𝑀；
（2）若𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏＝𝑀，求13𝑎+𝑏+1𝑎+3𝑏的最小值．
试卷第5页，总17页 参考答案与试题解析
2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
先根据题意解出集合𝐴，再根据题意分析𝐵中元素为𝐴中的子集，可求出．
【解答】
因为集合𝐴＝{𝑥|−1<𝑥<3, 𝑥∈𝑁}，
所以𝐴＝{0, 1, 2}，
因为𝐵＝{𝐶|𝐶⊆𝐴}，
所以𝐵中的元素为𝐴的子集个数，即𝐵有23＝8个，
2.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
解出集合，根据集合的包含关系判断充要性．
【解答】
𝑥2−2𝑥−3>0即为𝑥<−1或𝑥>3，
故“𝑥2−2𝑥−3>0”是“𝑥>4”的必要不充分条件，
3.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】
𝑎＝30.4∈(1,√3)，𝑏＝log432=52，𝑐＝log550＝2+log52<2+12=52．
故𝑎<𝑐<𝑏．
4.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
结合等差数列的性质可求𝑎5，进而即可求解．
【解答】
试卷第6页，总17页 由等差数列的性质可知𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6+𝑎7＝5𝑎5＝750，
∴ 𝑎5＝150，
则𝑎2+𝑎8＝2𝑎5＝300．
5.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用函数𝑦＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，诱导公式，求出𝜔的表达式，可得结论．
【解答】
把函数𝑦=sin(𝜔𝑥+𝜋6)的图象向右平移2𝜋3个单位后，可得𝑦＝sin[𝜔(𝑥−2𝜋3)+𝜋6]＝sin(𝜔𝑥−2𝜔𝜋3+𝜋6]的图象，
再根据所得图象与原图象重合，则−2𝜔𝜋3=2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，即𝜔＝−3𝑘，
正数𝜔不可能等于2，
6.
【答案】
B
【考点】
数列的函数特性
【解析】
根据题意，设这个等比数列为{𝑎𝑛}，设其公比为𝑞，由等比数列的通项公式可得𝑞的值，进而计算可得答案．
【解答】
根据题意，设这个等比数列为{𝑎𝑛}，设其公比为𝑞，
又由𝑎1＝1，𝑎13＝2，则𝑞12=𝑎13𝑎1=2，
插入的第四个数应𝑎5＝𝑎1𝑞4＝𝑞4=213，
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
先求函数𝑓(𝑥)的导数，令导数等于0，得到函数的极值点，再判断极值点两侧导数的正负，即可求得极大值为𝑀，极小值为𝑁，即可判定𝑀−𝑁与𝑎无关，且与𝑏无关．
【解答】
𝑦′＝3(𝑥−𝑎)2−3，令𝑦′＝0，得，𝑥＝𝑎−1，或𝑥＝𝑎+1，
当𝑥变化时，𝑓′(𝑥)的正负如下表：
𝑥 (−∞, 𝑎−1) 𝑎−1 (𝑎−1, 𝑎+1) 𝑎+1 (1+𝑎, +∞)
𝑓′(𝑥) + 0 _ 0 +
