2000高考数学全国卷及答案理

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式l S )c c (21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合},43,2,1{=A ，那么A 的真子集的个数是：（A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是： （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是：（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）已知sinα＞sin β，那么下列命题成立的是（A ）若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β （B ）若α、β是第二象限角，则tgα＞tg β（C ）若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β （D ）若α、β是第四象限角，则tg α＞tg β （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A ）800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元（7）若a ＞b ＞1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ，则 （A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q（8）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ （C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=（D ）x y 33-= （11）过抛物线)0(2 a ax y =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则p 1+q1等于 （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆雏底面中心O 互母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（A ）321（B ）21 （C ）21 （D ）n 212000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至8页共150分考试时间120分钟B 第Ⅰ卷（选择题共60分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”试卷试题对于有2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上（3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式：三角函数的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式l S )c c (21+'=台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不畏其身辛苦憔悴化学教案诚恐神智滑昏化学教案学殖荒落化学教案抱无穷之志而卒事不成1．已知集合{1,2,3,4}A =，那么A 的真子集的个数是： A ．15B ．16C ．3D ．42．在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：A ．23B ．i 32-C ．3i 3-D ．3+i 33．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是：A ．23B ．32C ．6D ．6景仁是太傅安孙试卷试题及4．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 A ．若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B ．若α、β是第二象限角，则tg α＞tg β C ．若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D ．若α、β是第四象限角，则tg α＞tg β 5．函数x x y cos -=的部分图象是6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分5% 超过500元至2000元的部分10% 超过2000元至5000元的部分15% … …A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元7．若a ＞b ＞1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ，则 A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q 8．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是A ．⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2πθρ C ．()1cos 2-=θρC ．()1sin 2-=θρ9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10．过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则p 1+q1等于A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4D ．a412．如图，OA 是圆雏底面中心O 互母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为A ．321B ．21 C ．21 D ．n212000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号 题号 二 三 总分17 18 19 20 21 22 分数得分评卷人二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上1313．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）苞迩者欲穷治诸经化学教案破旧说之藩篱化学教案而求其所以云之意试卷试题虽冒风雪化学14．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是日月迅迈化学教案惟各勖励以慰索居试卷试题苞顿首试卷试题注：褐甫：戴名世化学教案字15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且（n+1）01221=+-++n n n n a a na a (n=1，2，3，…)，则它的通项公式是=n a丙说：“专业没有好坏之分化学教案只有16．如图，E 、F 分别为正方体面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 （要求：把可能的图序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（得分 评卷人17．（本小题满分12分）已知函数R x x x y ∈+=,cos sin 3（Ⅰ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？得分 评卷人18．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数例，n n n a a a n na T ++-+=-1212)1( ，已知11=T ，42=T（Ⅰ）求数列{}n a 的首项和公比； （Ⅱ）求数列{}n T 的通项公式得分 评卷人19．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 上菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ，（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ； （Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明得分评卷人20．（本小题满分12分）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0a >（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数得分 评卷人21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示C（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）得分 评卷人22．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为伪点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率c 的取值范围普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则潮菜进一步走向成熟化学教案潮菜的独特健康的饮食理念受到越来越广泛的关注和喜爱化学教案所以在二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分苞迩者欲穷治诸经化学教案破旧说之藩篱化学教案而求其所以三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分化学教案想了好久化学教案老板终于想A型卷答案（1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A（10）C （11）C （12）DB 型卷答案（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8）A （9）C （10）A （11）A （12）D （1） n 元素的真子集有12-n 个，本题结果为124-=15.答（C ）.（2） ()i i i i cox i 32)2321)(33()3sin()3(33-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--ππ.答（B ）. （3） 设长方体三度为,,,z y x 则.6,3,2===xy zx yz 三式相乘得.6123,1,2,3,6,6222222=++=++=====z y x z y x xyz z y x 答（B ）.（4） 若α、β同属于第一象限，则20παβ≤<≤，βαcos cos <；第二象限，则πβαπ≤<≤2，βαtg tg <；第三象限，则23πβαπ≤<≤，βαcos cos <； 第四象限，则παβπ223≤<≤，βαtg tg >.（均假定α≤0，πβ2≤.）答（D ）. （5） 设),(x f y =则),(cos )(x f x x f -==-)(x f 为奇数；又20π<<x 时,0)(<x f 故答（D ）.设收入为S 元，税款为M 元，则800≤S 时，M=0；]1300,800[∈S 时，]2800,1300(;25%5500∈=⋅≤S M 时，.175%10150025=⋅+≤M 题设78.26=M ，故.8.1317%10)2578.26(1300=÷-+=S 答（A ）.（7） 由平均不等式知.),2lg(lg ,2R Q ba ab b a ab <+<+<同理.,2lg lg lg lg Q P ba b a <+<⋅答（B ）. （8） 所求方程是(),1)sin sin (cos cos 22=-+-l l θρθρ化简得).1cos(2-=θρ答（A ）. （9） 设圆柱底面积半径为r,则高为,2r π全面积，侧面积()).2/()12()2/(]22[222πππππ+=+=r r r 答（C ）.（10） 圆方程为,1)2(222=++y x 圆心为A （-2，0），半径为1，.33,6,21sin ===θπθθtg 答（A ）. （11） 设PQ 直线方程是,41kx ay =-则21,x x 是方程akx ax 412+=的两根，,)()41(121212121r x kx x ay x p -=+=-+=其中.12k r +=同理.2r x q =从而.441414)(4)()(112222121221212122112a r aa a k r x x x x x x r x x x x r x x r x x pq q p q p =⋅⋅+=--+=-=--=+=+答（A ）.（另解）按选择题4选1的规定，本题中4个选择支都是常数，故应有 =+qp 11 常数.过F 作PQ ∥x 轴，则易得.411,21),41,21(),41,21(a qp a q p a a Q a a p =+==-答（A ）.（12）如图，设,1=OB 则=OD,cos 3131,3,cos sin cos ,sin ,42''2θπθπθπθθθθθ⋅=⋅===⋅⋅=ctg AC DO V ctg V OD AD AC ctg OAA DBB 圆锥圆锥 由题意知,21cos 4=θ故知.21cos 4=θ答（D ）.二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分C （13）252 （14）3355x -<< （15）n 1（16）②③（13）.252671232733=⋅⋅⋅⋅=P P 正确答案是252.（14）如图，设),,(y x p 则),0,5(),0,5(21F F -且21PF F ∠是钝角5)91(410520)5()5(222222222212221<-+⇔<++⇔<+-+++⇔<+⇔x x y x y x y x F F PF PF .3535592<<-⇔<⇔x x 正确答案是.3535<<-x （15）n n n a n n a n n n a 1)1(2)1(4111+=+++±-=+（另解n a -不合题意舍去），,21...12312=⋅-n n a a a a a a 即.,2,1,1,11⋅⋅⋅===n n a n a a n n 正确答案是.1n（16）平行四过形E BFD 1投影于左、右两侧得图③，投影于上、下、前、后四侧面都得图②.正确答案是②③.三、解答题 （17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力满分12分21.解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=6sin cos 6cos sin 2 cos 21sin 232 cos sin 3ππx x x x xx yR x x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,6sin 2π …………3分γ取得最大值必须且只需即,,23,,226Z k k x Z k k x ∈+=∈+=+πππππ所以，使函数γ取得最大值的自变量x 的集合为},,23|{Z k k x x ∈+=ππ…………6分（Ⅱ）变换的步骤是：（1）把函数x y sin =的图象向左平移,6π得到 …………9分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx y 的图象；（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πx y 的图象；经过这样的变换就得到函数x x y cos sin 3+=的图象…………12分（18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分问题事关重（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 以比为q ，则2(2,121211q a a a T a T +=+== …………2分∵4,121==T T ，∴,11==q a …………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知2,11==q a ，故1112--==n n n qa a , 因此，1221222)1(1--⋅+⋅++⋅-+⋅=n n n n n T ， …………6分∴22- 21222- 2222 ]21222)1(1[- 21222)1(2 21121-n 212-+=⋅+=+++++=⋅+⋅++⋅-+⋅⋅+⋅++⋅-+⋅=-=+---n nnn n n n nn n n ~-n -n n n n n T T T2)2(+++-=n n …………12分解法二：设n a a a S +++= 21由（Ⅰ）知2-=n n a∴12 2211-=+++=-nn n S …………6分∴分分12 22 21222 222121212 10 S )()(a 2)1(121121211121 n n)-n( )-()-()(S S a a a a a a a a a n na T n n n n n n n n n nn n --=--⋅-=+++=++++=+++=++++++++=+++-+=+--（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分畴试（Ⅰ）证明：连结1A 1C 、AC 和BD 交于O ，连结O C 1∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BC 1C =∠1DCC ，C C 1=C C 1， ∴DC C BC C 11∆≅∆， ∴1C B=1C D ， ∵OB DO =∴BD O C ⊥1， 3分但O O C AC BD AC =⊥1, ， ∴⊥BD 平面1AC又⊂C C 1平面1AC ，∴⊥C C 1BD …………6分（Ⅱ）当11=CC CD时，能使⊥C A 1平面BD C 1 证明一：∵11=CC CD， ∴C C CD BC 1==，又CD C CB C BCD 11∠=∠=∠， 由此可推得C B C BD 11==∴三棱锥BD C C 1-是正三棱锥 …………9分设C A 1与O C 1相交于G∵AC C A //11，且11C A ：2=OC ：1， ∴G C 1：GO =2：1又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线， ∴点G 是正三角形BD C 1的中心， ∴⊥CG 平面BD C 1，即⊥C A 1平面BD C 1 …………12分证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵⊂C A 1平面1AC ，∴C A BD 1⊥ …………9分当11=CC CD时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同C A BD 1⊥的正法可得A BC 11⊥ 又B BC BD =1 ，∴⊥C A 1平面BD C 1 …………12分（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力，满分12分情化学教案特指题材狭小、没有广泛社会意义的微小事件试卷试题十室九空：形容天灾人祸使得人民流离（Ⅰ）解：不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数a > 所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x …………3分 所以，当01a <<时，所给不等式的解集为}120|{2aax x -≤≤； 当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x …………6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取21,x x 使得12x x <分9 .11)( )(11 )(11)()(22212121212221222121222121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=--+++-=--+-+=-a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f1,a 1<≥且，0a -<，又120x x -<， ∴12()()0f x f x ->， 即12()(f x f x >所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数 …………12分（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分（解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为300, 0t 200,()2300 200t 300t f t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 分2 由图二可得种植成本与时间的函数关系为t 0 ,100)150(201)(2≤≤+-=t t g …………4分 （Ⅱ）设t 时刻的纯收益为)(t h ，则由题意得)(t h =)(t f )(t g -，即)(t h =2211175, 0t 200,20022171025-, 200t 30020022t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ …………6分 当2000≤≤t 时，配方整理得)(t h =)50(20012+--t 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间[0，200]上的最大值100； 当200300t <≤时，配方整理得)(t h =100)350(20012+--t ， 所以，当300=t 时，)(t h 取得区间（200，300）上的最大值87．5 (10)分综上，由10087.5>可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大…………12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分1.解：如图，以AB 的垂直平分线为γ轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系γxO ，则γ⊥CD 轴同后面的“孩童”重复；因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于γ轴对称，…………2分依题意，记()),(,,),0,(002y x E h C c A c-，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得.1,)1(2)2(1020λλγλλλλ+=+-=++-=h c c x c设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =，由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E坐标和ace =代入双曲线的方程，得14222=-bh e ，①1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ． ② …………7分由①式得14222-=e bh ， ③将③式代入②式，整理得λλ21)44(42+=-e ， 故2312+-=e λ …………10分由题设4332≤≤λ得，4231322≤+-≤e 解得107≤≤e ，所以，双曲线的离心率的取值范围为[10,7]， …………14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至8页共150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上，同时将才生号条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”2．每小题选出答案后，用铅笑把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式：三角函数的积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台的侧面积公式l S )c c (21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{1,2,3,4}A =，那么A 的真子集的个数是： A ．15B ．16C ．3D ．42．在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：A ．23B ．i 32-C ．3i 3-D ．3+i 33．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是：A ．23B ．32C ．6D ．64．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是A ．若α、β是第一象限角，则cos α＞cos βB ．若α、β是第二象限角，则tg α＞tgβC ．若α、β是第三象限角，则cos α＞cos βD ．若α、β是第四象限角，则tg α＞tg β5．函数x x y cos -=的部分图象是6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 A ．800~900元 B ．900~1200元 C ．1200~1500元 D ．1500~2800元 7．若a ＞b ＞1，⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ，则A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q8．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2πθρC ．()1cos 2-=θρC ．()1sin 2-=θρ9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10．过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-=11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则p 1+q 1等于 A ．a 2 B ．a 21C ．a 4D ．a412．如图，OA 是圆雏底面中心O 互母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 A ．321B ．21 C ．21D ．n 212000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并在试卷右上角填上座位号二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）14．椭圆14922=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且（n+1）01221=+-++n n n n a a na a (n=1，2，3，…)，则它的通项公式是n a16．如图，E 、F 分别为正方体面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 （要求：把可能的图序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数R x x x y ∈+=,cos sin 3（Ⅰ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？18．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数例，n n n a a a n na T ++-+=-1212)1( ，已知11=T ，2=T（Ⅰ）求数列{}n a 的首项和公比； （Ⅱ）求数列{}n T 的通项公式19．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 上菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ，（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ； （Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明20．（本小题满分12分）设函数ax x x f -+=1)(2，其中a >（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f p =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 222．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为伪点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率c 的取值范围2000年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不局，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分A 型卷答案（1）A （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A（10）C （11）C （12）D B 型卷答案（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）A （7）B （8）A （9）C （10）A （11）A （12）D（1） n 元素的真子集有12-n 个，本题结果为124-=15.答（C ）.（2） ()i ii i cox i 32)2321)(33()3sin()3(33-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--ππ.答（B ）. （3） 设长方体三度为,,,z y x 则.6,3,2===xy zx yz 三式相乘得.6123,1,2,3,6,6222222=++=++=====z y x z y x xyz z y x 答（B ）.（4） 若α、β同属于第一象限，则20παβ≤<≤，βαcos cos <；第二象限，则πβαπ≤<≤2，βαtg tg <；第三象限，则23πβαπ≤<≤，βαcos cos <； 第四象限，则παβπ223≤<≤，βαtg tg >.（均假定α≤0，πβ2≤.）答（D ）. （5） 设),(x f y =则),(cos )(x f x x f -==-)(x f 为奇数；又20π<<x 时,0)(<x f 故答（D ）.（6） 设收入为S 元，税款为M 元，则800≤S 时，M=0；]1300,800[∈S 时，]2800,1300(;25%5500∈=⋅≤S M 时，.175%10150025=⋅+≤M 题设78.26=M ，故.8.1317%10)2578.26(1300=÷-+=S 答（A ）. （7） 由平均不等式知.),2lg(lg ,2R Q ba ab b a ab <+<+<同理.,2lg lg lg lg Q P ba b a <+<⋅答（B ）. （8） 所求方程是(),1)sin sin (cos cos 22=-+-l l θρθρ化简得).1cos(2-=θρ答（A ）.（9） 设圆柱底面积半径为r,则高为,2r π全面积，侧面积()).2/()12()2/(]22[222πππππ+=+=r r r 答（C ）.（10） 圆方程为,1)2(222=++y x 圆心为A （-2，0），半径为1，.33,6,21sin ===θπθθtg 答（A ）. （11） 设PQ 直线方程是,41kx a y =-则21,x x 是方程akx ax 412+=的两根，,)()41(121212121r x kx x ay x p -=+=-+=其中.12k r +=同理.2r x q =从而.441414)(4)()(11222121221212122112a r aa a k r x x x x x x r x x x x r x x r x x pq q p q p =⋅⋅+=--+=-=--=+=+答（A ）.（另解）按选择题4选1的规定，本题中4个选择支都是常数，故应有=+qp 11常数.过F 作PQ ∥x 轴，则易得.411,21),41,21(),41,21(a qp a q p a a Q a a p =+==-答（A ）. （12）如图，设,1=OB 则=OD,cos 3131,3,cos sin cos ,sin ,42''2θπθπθπθθθθθ⋅=⋅===⋅⋅=ctg AC DO V ctg V OD AD AC ctg OAA DBB 圆锥圆锥 由题意知,21cos 4=θ故知.21cos 4=θ答（D ）.二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分（13）252 （14）x << （15）n 1 （16）②③（13）.252671232733=⋅⋅⋅⋅=P P 正确答案是252. （14）如图，设),,(y x p 则),0,5(),0,5(21F F -且21PF F ∠是钝角5)91(410520)5()5(222222222212221<-+⇔<++⇔<+-+++⇔<+⇔x x y x y x y x F F PF PF .3535592<<-⇔<⇔x x 正确答案是.3535<<-x （15）nn n a n n a n n n a 1)1(2)1(4111+=+++±-=+（另解n a -不合题意舍去），,21...12312=⋅-n n a a a a a a 即.,2,1,1,11⋅⋅⋅===n n a n a a n n 正确答案是.1n（16）平行四过形E BFD 1投影于左、右两侧得图③，投影于上、下、前、后四侧面都得图②.正确答案是②③. 三、解答题 （17）本小题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力满分12分解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=6sin cos 6cos sin 2 cos 21sin 232 cos sin 3ππx x x x xx yR x x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,6sin 2π …………3分γ取得最大值必须且只需即,,23,,226Z k k x Z k k x ∈+=∈+=+πππππ所以，使函数γ取得最大值的自变量x 的集合为},,23|{Z k k x x ∈+=ππ…………6分（Ⅱ）变换的步骤是：（1）把函数x y sin =的图象向左平移,6π得到 …………9分 ⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y 的图象；（2）令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 2πx y 的图象；经过这样的变换就得到函数x x y cos sin 3+=的图象…………12分（18）本小题主要考查等比数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 以比为q ，则2(2,121211q a a a T a T +=+== …………2分∵4,121==T T ，∴,11==q a …………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知2,11==q a ，故1112--==n n n q a a ,因此，1221222)1(1--⋅+⋅++⋅-+⋅=n n n n n T ， (6)分∴22- 21222- 2222 ]21222)1(1[- 21222)1(2 21121-n 212-+=⋅+=+++++=⋅+⋅++⋅-+⋅⋅+⋅++⋅-+⋅=-=+---n nnn n n n nn n n ~-n -n n n n n T T T2)2(+++-=n n …………12分解法二：设n a a a S +++= 21由（Ⅰ）知2-=n n a∴12 2211-=+++=-nn n S …………6分∴分分12 22 21222 222121212 10 S )()(a 2)1(121121211121 n n)-n( )-()-()(S S a a a a a a a a a n na T n nn n n n n n n nn n --=--⋅-=+++=++++=+++=++++++++=+++-+=+--（19）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分（Ⅰ）证明：连结1A 1C 、AC 和BD 交于O ，连结C 1∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，BC =又∵∠BC 1C =∠1DCC ，C C 1=C C1， ∴DC C BC C 11∆≅∆，∴1C B=1C D ，∵OB DO =∴BD O C ⊥1， 3分但O O C AC BD AC =⊥1, ，∴⊥BD 平面AC又⊂C C 1平面1AC ，∴⊥C C 1BD…………6分 （Ⅱ）当11=CC CD时，能使⊥C A 1平面C 1证明一：∵11=CC CD，∴C C CD BC 1==，又CD C CB C BCD 11∠=∠=∠，由此可推得C B C BD 11==∴三棱锥BD C C 1-是正三棱锥…………9分 设C A 1与O C 1相交于G∵AC C A //11，且11C A ：2=OC ：1， ∴G C 1：GO =2：1又O C 1是正三角形BD C 1的BD 边上的高和中线，∴点G 是正三角形BD C 1的中心，∴⊥CG 平面BD C 1， 即⊥C A 1平面C 1…………12分 证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵⊂C A 1平面1AC ，∴A BD 1⊥…………9分 当11=CC CD 时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同C A BD 1⊥的正法可得A BC 11⊥ 又B BC BD =1， ∴⊥C A 1平面C 1 …………12分（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力，满分12分（Ⅰ）解：不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数a >所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x …………3分 所以，当01a <<时，所给不等式的解集为}120|{2aa x x -≤≤； 当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x …………6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取21,x x 使得12x x <分9 .11)( )(11 )(11)()(22212121212221222121222121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-=--+++-=--+-+=-a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f1,a1<≥且，a<，又12x x-<，∴12()()0f x f x->，即12()(f x f x>所以，当1≥a时，函数)(xf在区间),0[+∞上是单调递减函数…………12分（21）本小题主要考查由函数图建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为300, 0t200,()2300 200t300tf tt-≤≤⎧=⎨-<≤⎩分2由图二可得种植成本与时间的函数关系为300t,100)150(201)(2≤≤+-=ttg…………4分（Ⅱ）设t时刻的纯收益为)(th，则由题意得)(t h=)(t f)(tg-，即)(t h=2211175, 0t200,20022171025-, 200t30020022t tt t⎧-++≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩…………6分当2000≤≤t时，配方整理得)(t h=100)50(20012+--t所以，当50=t时，)(th取得区间[0，200]上的最大值100；当200300t<≤时，配方整理得)(t h=100)350(20012+--t，所以，当300=t时，)(th取得区间（200，300）上的最大值87．5 (10)分综上，由10087.5>可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 …………12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分解：如图，以AB 的垂直平分线为γ轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系γxO ，则γ⊥CD 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于γ轴对称，…………2分 依题意，记()),(,,),0,(002y x E h C c A c -，其中||21AB c =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得.1,)1(2)2(1020λλγλλλλ+=+-=++-=h c c x c 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =，由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 坐标和ac e =代入双曲线的方程，得 14222=-b h e ，① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b h e λλλλ． ② …………7分 由①式得14222-=e bh ， ③将③式代入②式，整理得 λλ21)44(42+=-e ， 故2312+-=e λ …………10分 由题设4332≤≤λ得，4231322≤+-≤e解得107≤≤e ，所以，双曲线的离心率的取值范围为[10,7]， …………14分。

【2006高考试题】一、选择题（共11题）2．（北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3．（福建卷）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是 A.ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =04．（广东卷）若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.22±22-22i - D. 22i ± 解析：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D. 5．（江西卷）已知复数z 33i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．3322 B. 3344 C. 3322 D.3344i 解：3333312433i i i z i（－）＝＝＝＋故选D 。

6．（全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C 2D ．2- 解析：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.8．(陕西卷)复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i 解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11ii i i i=+=-+-，选C ．11．（浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。

解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-mn n 101 ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。