苏教版八年级数学上册第二章勾股定理与平方根测试卷附答案(苏教版八年级数学上册第二单元测试卷)

第3章《勾股定理》综合测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列三条线段能组成直角三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．93.下列说法正确的是（ ）A ．若，，是的三边，则B ．若，，是的三边，则C ．若，，是的三边，，则D ．若，，是的三边，，则4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm 的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一艘轮船从A 港向南偏西方向航行到达B 岛，再从B 岛沿方向航行到达8,15,16a b c ===9,12,15a b c ===9,40,42a b c ===::2:3:4a b c =a b c ABC V 222+=a b c a b c Rt ABC V 222+=a b c a b c Rt ABC V 90A ∠=︒222+=a b c a b c Rt ABC V 90C ∠=︒222+=a b c a 56a ≤≤34a ≤≤23a ≤≤12a ≤≤48︒100km BM 125kmC 岛，A 港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C 岛沿返回A 港所需的时间是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线上有三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，己知，则面积为的正方形的边长为（ ）．AB ．C ．D ．127．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a ，b 及h ，则a ，b ，h 的数量关系是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB ＝90°，AB ＝13cm ，BE ＝5cm ，则阴影部分的面积是（ ）A ．169cm 2B ．25cm 2C ．49cm 2D ．64cm 29．如图，三角形纸片ABC 中，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着直线AD 翻折，得BM 60km 25km /h CA 5h 4h 3.5h 3h1357S S ＝，＝2S a b h -=222a h b +=222111a b h +=222111a b h-=到△AED ，DE 交AC 于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG ＝EG ，AF ＝4，AB ＝5，△AEG 的面积为92，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．1010．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；④若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，≠，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m与n 之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11．直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的______倍．12．已知一个直角三角形的两条直角边分别为、，那么这个直角三角形斜边上的高为______．13．如图，∠C ＝90°，将直角△ABC 沿着射线BC 方向平移5cm ，得△A'B'C'，若BC ＝3cm ，AC ＝4cm ，则阴影部分的周长为______．14．把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ，若AB ＝3cm ，BF ＝5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是_____cm 2．2BD 11a b 22a b 7cm 24cm cm15．如图，已知等腰的直角边长为，以它的斜边为直角边画第二个等腰，再以斜边为直角边画第三个等腰，…，依此类推，长为，第个等腰直角三角形斜边长为___________，第个等腰三角形斜边长为__________，则第个等腰直角三角形斜边长为__________．16．如图，已知中，，D 是的中点，于点E ；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)①；②当E 为中点时，﹔③若，则； ④若，则面积的最大值为2．三、解答题（本大题共10题，共68分）17．（6分）如图，已知等腰三角形ABC 底边上的高AD 为4，的周长为16，求三角形ABC 的面积．Rt ABC V 1AC Rt ACD △AD Rt ADE △AC AD 23AE 4AF n ABC V 90ACB ∠=︒AB AE CD ⊥BE 2ADC CAE ∠=∠CD BC =60BED ∠=︒4BE DE =4AB =ABE △ABC V18．（6分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）19．（6分）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，求的长．70/h km A 30m C 2s 50m 1m /s 3.6/h km =ABC V 90ACB ∠=︒CD AB CE AB 3AD =6CE =CD20．（6分）一个四边形零件的形状如图，工人师傅量得∠A ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝13，DC ＝12，请你求出零件中的∠BDC 的度数．21．（6分）如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D 、E ．(1)若，求证：；(2)若，，，求的长．ABC V AD BE 、BC AC 、BC AC 、4,3,10CD CE AB ===90C ∠=︒90C ∠=︒6AD =8BE =AB22．（6分）如图：和都等腰直角三角形，，，，的顶点A 在的斜边DE 上，(1)求证：；(2)试探究线段AC 、AD 、AE三条线段之间的数量关系，证明你的结论．ACB △ECD V 90ECD ACB ∠=∠=︒AC CB =CE CD =ACB △ECD V AE BD =23．（6分）在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点（与点B ，C 不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作．QH 上AP 于点H ，交AB 于点M ．(1)若∠PAC ＝α，则∠AMQ ＝______（用含有α的式子表示）；(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．24．（6分）如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段上的一点，连接，将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若，连接、，当运动到使得时，求的面积．ABC V 90ACB ∠=︒6AC BC ==D BC E AD CE CE C 90︒CF BF AE BF 15BAD ∠=︒EF DF E 30ACE ∠=︒DEF V25．（10分）【情景呈现】画，并画的平分线．(1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）(2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由．【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______．【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．90AOB ∠=︒AOB ∠OC OC P AOB ∠OA OB E F ______PE PF P PE PF P GH OC ⊥OA OB G H GE FH EF 60AOB ∠=︒AOB ∠OC OC P 120EPF ∠=︒EPF ∠OA OB E F PE PF26．（10分）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．(1)发现①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．(2)探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用：如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC CD＝1，求线段DE的长．答案一、选择题1．B【解析】解：A．∵82+152≠162，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵92+122=152，∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵92+402≠422，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．设a=2k，b=3k，c=4k，∵（2k）2+（3k）2≠（4k）2，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．2．A【解析】解：如图所示：．故选：A ．3．D【解析】解：A 、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意；B 、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；C 、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；D 、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意．故选：D ．4．A【解析】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，则OA=3，AB=4，由勾股定理得：，∴a=10-5=5；当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6；综上，直吸管露在罐外部分a 的长度范围为．故选：A ．5．D5AB ==ABC V 90C ∠=︒222+=a b c a b c Rt ABC V 90C ∠=︒222+=a b c a b c Rt ABC V 90A ∠=︒222b c a +=a b c Rt ABC V 90C ∠=︒222+=a bc 5OB ===56a ≤≤【解析】解：由题意，得：AD=60km ，在Rt △ABD 中，AB=100km ，AD=60km ，∴(km)．∴CD=BC-BD=125-80=45（km ）．∴在Rt △ACD 中，（km ）．75÷25=3（h ）．答：从C 岛沿CA 返回A 港所需的时间为3h ．故选：D ．6．B【解析】解：如图所示，由题意可知，AC=EC ，，，∴．在和中，，∴，∴BC=DE ．∵，即，．在中，，∴，即面积为的正方形的边长为故选：B ．7．C【解析】解：设高为a 对应的直角边的长为x ，高为b 对应的直角边的长为y ，斜边为z ，80===90ABC CDE ∠=∠=︒90ACB ECD ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒BAC ECD ∠=∠ABC V CDE △BAC ECD ABC CDE AC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩()≌V V ABC CDE AAS 1357S S ＝，＝25AB =227DE BC ==Rt ABC △222AB BC AC +=212AC =AC ==2S∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选C ．8．C【解析】解：在中，，个直角三角形是全等的，，小正方形的边长，阴影部分的面积，故选：C ．9．A【解析】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF ，在△BAF 和△EAF 中，，∴△BAF ≌△EAF(SAS)，∴BF=EF ，∴AF ⊥BE ，又∵AF ＝4，AB ＝5，∴，在△ADE 中，EF ⊥AD ，DG ＝EG ，设DE 边上的高线长为h ，111222ax by cz ==ax by hz ==hz hz x y a b ==，222x y z +=2222222h z h z z a b+=222111a b h +=Rt ABE △12AE ===4 5AH BE ∴==∴1257AE AH =-=-=∴()22749cm ==AB AE =AB AE BAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩3BF ==∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，在Rt △BDF 中，，，∴，故选：A ．10．C【解析】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；③若，则，，c 2为“整弦数”，则c 为正整数”，不符合题意；④∵m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，≠，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数， ∴m 与n 之积为“整弦数”，符合题意；⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n 为正整数），∵（2n+1）2=4n 2+4n+1且等于两个连续正整数的和，∴较小的正整数为2n 2+2n ，较小的正整数为2n 2+2n+1，∵（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n ）2+4n 2+4n+1=（2n 2+2n ）2+2（2n 2+2n ）+1=（2n 2+2n+1）2，111222ADE S AD EF DG h EG h =⋅=⋅+⋅△12ADG AEG S S AD EF +=⋅△△1922AEG S GE h =⋅⋅=△ADG AEG S S =△△99922ADG AEG S S +=+=△△1932AD =⋅6AD =642FD AD AF =-=-=3BF =2FD =222223213BD BF FD =+=+=2222024==+257+=5c =225c =222591634=+=+11a b 22a b ∴()()22221122mn a b a b =++2222222212121212a a b a a b b b =+++()()2212121221a a b b a b a b =++-∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C ．二、填空题11．3【解析】解：设直角三角形直角边为a 、b ，斜边为c ，则a 2+b 2=c 2；扩大3倍后，直角三角形直角边为3a 、3b ，则根据勾股定理知斜边为．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的3倍．故答案为3．12．【解析】解：设这个直角三角形斜边上的高为，由勾股定理得，直角三角形斜边长，由三角形的面积公式得，，解得，，故答案为：．13．【解析】解：在Rt△ACB 中，∵AA ′=BB ′=5cm ，∴CB ′=BB ′-BC=5-3=2（cm ），∴阴影部分的周长=AC+CB ′+A ′B ′+AA ′=4+2+5+5=16（cm ）．故答案为：16cm ．14．【解析】解：∵AB ＝3cm ，BF ＝5cm ，由折叠的性质可得，， ，在中，由勾股定理得：∴，，16825cm x 25==117242522x ⨯⨯=⨯⨯16825x =1682516cm 5(cm)==152BF FD =3A D AB cm '==CDF Rt △222FC BF CD =-4FC =9BC =设DE ＝x ，则＝（9−x ） cm ，在中，由勾股定理得：，∴（9−x ）2＋9＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5（cm ），∴△DEF 的面积是：×5×3＝（cm 2）．15．【解析】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：第一个等腰三角形斜边长为：，第二个等腰三角形斜边长为：，第三个等腰三角形斜边长为：，第四个等腰三角形斜边长为：，……依此类推，第个等腰三角形斜边长为：．故答案为：；．16．①②③④【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，∴CD=BD=AD ，∴∠DCB=∠DBC ，∴∠ADC=2∠DCB ，∵AE ⊥CD 于点E ，∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠DCB=90°，∴∠CAE=∠DCB ，∴∠ADC=2∠CAE ，故①正确；当E 为CD 中点时，∵AE ⊥CD ，AE A E ='DF Rt △E 222A E A D ED '+'=121524n 1AC ===22AD ===3AE ===44AF ===n n 4n∴△ACD 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴，故②正确；作BM ⊥CD ，交CD 的延长线于点M ，则AE ∥BM ，∴∠DAE=∠DBM ，∵∠ADE=∠BDM ，AD=BD ，∴△ADE ≌△BDM （AAS ），∴DE=DM ，若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE ，故③正确；∵△ADE ≌△BDM ，∴AE=BM ，DE=DM ，∴S △ABE=S △BEM=•BM •EM=•AE •2DE=AE •DE ，若AB=4，则AD=2，在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2，即的最大值值为1，∴△ABE 面积的最大值为2，故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题17．解：∵AD 是底边BC 上的高，∴，1212222AE DE AE DE+≥⨯ ()2221111244AE ED AE DE AD ∴⋅≤+==ADE S V 12BD BC =∵△ABC 的周长为16，∴AB+BD ＝8，AB ＝8－x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，∴，解得：，∴BC ＝2BD ＝6，∴．18．解：根据题意，，，∴在中，，∴小汽车的速度为，∵，∴这辆小汽车超速行驶．19．解：∵，为边上的中线∴，∴∵∴∴在中．20．解：∵∠A ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，∴BD＝5．∵BC ＝13，DC ＝12，，∴，2224(8)x x +=-3x =11641222ABC S BC AD ∆=⨯=⨯⨯=AC BC ⊥30m AC =50m AB =Rt ABC V ()40m BC ===()()4020/72/h 2v m s km ===72/h 70/h km km >90ACB ∠=︒CE AB 212AB CE ==AE EB CE==162AE AB ==3AD =3DE AE AD =-=Rt CDE △CD ===22251213+=222BD DC BC +=∴△BDC 是直角三角形，∠BDC ＝90°．21．（1）证明：∵AD 、BE 分别为边BC 、AC 的中线，CD ＝4，CE ＝3．∴AC ＝6，BC ＝8．∵．∴．∴△ABC 是直角三角形．∴．（2）解：∵∠C ＝90°，AD ＝6，BE ＝8，∴，．∵AD 、BE 分别为边BC 、AC 的中线．∴，．∴，．∴．∴．∴22．（1）∵，∴∴∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴（2）线段AC ，AD ，AE 三条线段的数量关系是∵△ECD 是等腰直角三角形，∴∠E=∠EDC=45°由（1）知：∴即， 10AB ＝222AB AC BC +＝90C ∠︒＝222AC CD AD +＝222BC CE BE +＝12CD BC ＝12CE AC ＝221362AC BC +（）＝221642BC AC +（）＝225510044AC BC +＝2280AC BC +＝AB ==AC CB =CE CD=90ACB DCE ∠=∠=︒ACE BCD∠=∠AE BD=2222AE AD AC =+45E CDB ∠=∠=︒90BDE ∠=︒22222A D A D D B A B AE +=+=又为等腰直角三角形，且，∴，即．23．（1）∵∠PAC=α，△ACB 是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，∵QH ⊥AP ，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；故答案为：∠AMQ=45°+α（2）；理由如下：连接AQ ，作ME ⊥QB ，如图所示：∵AC ⊥QP ，CQ=CP ，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ ，∴AP=AQ=QM ，在△APC 和△QME 中，，∴△APC ≌△QME （AAS ），∴PC=ME ，∵△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ=22MB ．即．Rt ACB △AC BC =222AC AB =2222AE AD AC =+MQE PAC ACP QEM AP QM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PQ =24．（1），，证明：如图1，延长交于点，∵将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即．（2）如图2，作于点，于点，∵在等腰直角中，，，∴．∵，AE BF =AE BF ⊥AD BF M CE C 90︒CF 90ECF ∠=︒CE CF =90ACB ∠=︒90ACE ECD BCF ECD ∠+∠=∠+∠=︒ACE BCF ∠=∠AC BC =()ACE BCF SAS V V ≌AE BF =CAE CBF ∠=∠ADC BDM ∠=∠90AMB ACD ∠=∠=︒AM BF ⊥AE BF ⊥FH BC ⊥H EG BC ⊥G ABC V 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB ∠=︒15BAD ∠=︒∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，，∴，在中，，∴，即，∴，∵，，∴是等边三角形，∴∵，即，∴，∴，∴25．（1）解：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC ，∵PE ⊥OA ，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90°∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP30CAE ∠=︒30ACE ∠=︒AE EC =ACE BCF≌△△BFAE =CF CE =CF BF=30FCB CBF ∠=∠=︒FC FB =FH BC ⊥3CH BH ==Rt CHF V 2CF HF =222CF HF CH -=2249HF HF -=HF =CF =60CED CAE ACE ∠=∠+∠=︒903060ECD ∠=︒-︒=︒ECD V EC CF CD ===EG CD ⊥90EGC ∠=︒30CEG ∠=︒CG =3EG =EDF ECD CDF ECFS S S S =+-△△△△111222CD EG CD HF CE CF =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯1113222=⨯+⨯⨯3=-又∵∠AOC=∠BOC ，OP=OP∴△OEP ≌△OFP （AAS ），∴PE=PF ，故答案为：=；（2）解：PE=PF ，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂足是M ，N ，∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，与（1）同理可证PM=PN ，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN ，在△PEM 和△PFN 中，，∴△PEM ≌△PFN （ASA ），∴PE=PF ；（3）解：GE 2+FH 2=EF 2，理由如下：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH ⊥OC ，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH ，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，90AOB ∠=︒PME PNF PM PNMPE NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∠GPE=∠OPF ，在△GPE 和△OPF 中，，∴△GPE ≌△OPF （ASA ），∴GE=OF ，同理可证明△EPO ≌△FPH ，∴∴FH=OE ，在Rt △EOF 中，OF 2+OE 2=EF 2，∴GE 2+FH 2=EF 2，故答案为：GE 2+FH 2=EF 2；（4）解：PE=PF ；理由：作PG ⊥OA 于G ，PH ⊥OB 于H ．在△OPG 和△OPH 中，，∴△OPG ≌△OPH ，∴PG=PH ，∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF ，∴∠GPE=∠FPH ，在△PGE 和△PHF中，PGE POF PG POGPE OPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩PGO PHO POG POH OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PGE ≌△PHF ，∴PE=PF ．26.（1）发现解：①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD=AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，，∴△BAD ≌△CAE(SAS)，∴∠ACE ＝∠B ，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACE=60°，∴∠DCE ＝∠ACE+∠ACB ＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE ，∴BC ＝BD+CD ＝EC+CD ，∴CA ＝BC ＝CE+CD ；故答案为：CA ＝CE+CD ．（2）探究∠DCE ＝90＝CD+CE ．理由：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ．∴△BAD ≌△CAE(SAS)．∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ．∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC ）=45°，∴∠ACE=45°，PGE PHF PG PHGPE FPH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．∵在等腰直角三角形ABC中，CB，且CB＝CD+DB＝CD+CE，＝CD+CE．（3）应用∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝ACCD＝1，∴，AD=AE，∴BD=BC+CD=3，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，∴∠ACE=45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴2BC==DE。

第2章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】解：A.为轴对称图形；B.为轴对称图形；C.为轴对称图形；D.不是轴对称图形。

故答案为：D.2.【答案】D【解析】解：A60，AEF AFE18070110，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，AED AFD2(AEF AFE)2110220，121802220360220140.故答案为：D.3.【答案】B【解析】解：点P在AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点P到OB的距离为6，点Q是OB边上的任意一点，PQ≥6.故答案为：B.4.【答案】D【解析】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360可知，BAD360909050130，即123130①，由作图可知，1G，3H，△AGH的内角和为180，则2132180②，又①②联立方程组，解得280.故答案为：D.5.【答案】D【解析】解：过点D作DH OB于点H，如图，是AOB的角平分线，DP OA，DH OB，DH DP4，△ODQ的面积OC初中数学九年级上册1/81 1= OQ DH 4 3 6.故答案为：D.2 26.【答案】D【解析】解：ME、NF分别为AB、BC 的垂直平分线，AM MB，NB NC ，△MEB的周长=BM MN NB AM MN NC AC ，△BMN的周长等于24，故答案为：B.7.【答案】D【解析】解：如图，根据轴对称的性质可知，1OP2OP ，P ，1 OP2 OP1OP2 60 △P是等边三角形.故答案为：D.8.【答案】D【解析】解：连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，l，D为BC中点，AD BC，20AB AC△，BC 4 ，AD 10 ，则S BC ADABC2△CDM周长=CM MD CD ，EF垂直平分AC ，CM AM，又BD 4，D为BC 中点，CD 2 ，△CDM周长=AD CD 12 ，故答案为：D.9.【答案】C【解析】解：CE 为外角ACD的平分线，BE平分ABC，1DCE ACD，21BE ABC，又△DCE是△BCE的外角，D21 1，故①正确；BO，CO分别平分ABC，2 BCE DBE( ACD ABC) 12 21OBC ABC，21OCB ACB，21 1 1BOC 180(OBC OCB) 180(ABC ACB) 180(1801) 901，故②、2 2 2初中数学九年级上册2/ 8③错误；OC平分ACB，CE平分ACD，1ACO ACB，21ACE ACD，21 1，BOC是△COE的外角，OCE B ACD 18090AC2 2BOC COE 2 90 2 ，故④正确；故答案为：C.10.【答案】D【解析】解：①AD CD，AB CB，BD BD ，△ABD≌△CBD，①符合题意；②AD CD，AB CB，1BD垂直平分AC ，AC BD，②符合题意；③AC BD ，四边形ABCD的面积AC BD③符2合题意；故答案为：D.二、11.【答案】20 或22【解析】解：①腰长为6 cm，满足三角形三边关系，这个三角形的周长=6+6+8=20 cm ，②腰长为8 cm ，满足三角形三边关系，这个三角形的周长=6+8+8=22 cm ，故答案为：20 或22.12.【答案】25【解析】解：如图：△ABC中，AB AC，BD是边AC上的高.A 70，且AB AC，ABC C 18050265；在Rt△BDC中，BDC 90，C 65；DBC 906525.故答案为：2513.【答案】30或150【解析】解：解△ABC中，AC BC，BD 是高，BDC 90当△ABC时钝角三角形时，在Rt△BDC中，BC 2BD ，BCD 30，ACB 180BCD 18030150；当△ABC是锐角三角形时，初中数学九年级上册3/ 8在Rt△BDC中，BC 2BD ，C 30.该等腰三角形的顶角为30或150.故答案为：30或150.14.【答案】10【解析】解：Rt△ABC 中，ACB 90，A 50，B 90A 905040，将△ABC折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD，A DA'C 50；DA'C B A'DB，40A'DB 50A'DB 504010.故答案为：10.15.【答案】2：3：4【解析】解：如图：过点O作OD AC于D，OE AB于E，OF BC于F，三条角平分线将△ABC分为三个三角形，OE OF OD，11 1S△:S△:S△AB OE:BC OF:AC OD AB:BC:AC=2:3:4.ABO BCO CAO22 216.【答案】4【解析】解：过点C作CE AB于点E，交BD于点M，过点M作MN BC于N，平分ABC，ME AB于点E，MN BC于N ，MN ME ，CE CM ME CM MN的BD1最小值.三角形ABC的面积为15，AB 10，10CE 20，CE 4.即CM MN的最小值为4.2故答案为：417.【答案】60【解析】解：△ABC 为等边三角形，CAE ABD 60，AC BA.在△ACE和△BAD中，AC BA，△ACE≌△BAD SAS ，ACE BAD.DPC CAP ACP，CAE ABDAE BDBAD CAP ACP CAP 60，DPC 60.故答案为：60.18.【答案】32a【解析】解：如图所示：初中数学九年级上册4/8△是等边三角形，A1B1 A2B1 ， 3 4 12=60，2=120，MON=30，A1B1A2，又3=60， 5 1806030=90，MON =1=30，1 180 120 30 =30，△A B A、△A3B3 A4 是等边三角形，1110 60，13 60，OA A B a A B a，1 1 12 1 2 2 3，A1B1∥A2B2∥A3B3 ，B1A2∥B2 A3 ，1 6 7 30， 5 8 90，4 12 60A B B A， 3 3 4 1 2 42 2 2 1 2 B3 A3 2B2 A3 ，A B B A a，A B B A a，4 4 8 1 2 8A B B A a，以此类5 5 16 1 2 16推：A6B6 32B1A2 32a.故答案是：32a.三、19.【答案】（1）解：如图1，△A'B'C'即为所求；（2）解：如图2，点P即为所求.【解析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可.（2）连接AB，作线段AB的垂直平分线与COD的平分线，其交点即为点P.初中数学九年级上册5/ 820.【答案】（1）证明：AF是DAC的角平分线，DAF FAC，又AF∥BC，FAC ACB，DAF B，ACB B，△ABC是等腰三角形.（2）解：CG平分ACE，ACG GCE，又B40，△ABC是等腰三角形，BCA40，ACE180BCA 140，1ACG GCE ACE70，BCG BCA+ACG110，又2AF∥BC，ACG BCG70.【解析】（1）根据角平分线的性质得到DAF FAC，再结合平行线的性质即可得出答案.（2）根据角平分线的相知得出ACG GCE，再根据等腰三角形的性质得出BCA和ACG，最后结合平行线的性质即可得出答案.21.【答案】（1）证明：△ABC是等边三角形，AB AC，BAC C60，又AE CD，△≌△，BE AD.ABE CAD SAS（2）解：△ABE≌△CAD，ABE CAD，BFD ABE BAD CAD BAC60. 【解析】（1）根据等边三角形的性质可得AB AC，BAC C60，然后根据SAS可证△ABE≌△CAD，再根据全等三角形的性质即得结论.（2）由全等三角形的性质可得ABE CAD，然后根据三角形的外角性质和角的和差即可得出结果.22.【答案】（1 ）l是边AB的垂直平分线，DA DB.l2 是边AC的垂直平分线，1EA EC.BC BD DE EC DA DE EA 6 cm .（2）如图，是边AB的垂直平分线，OA OB.l2 是边AC的垂直平分线，OA OC.OB OC BC16 cm ，l1OA OB OC 5 cm .（3 ）BAC120，ABC ACB60.DA DB，EA EC，BAD ABC，EAC ACB.DAE BAC BAD EAC60.【解析】（1）根据AB边的垂直平分线l交BC于D，AC边的垂直平分线l交BC于E，l与l相交于点O，1 2 1 2可得AD BD，AE CE，继而可得BC△ADE的周长.（2）连接OA，由AB边的垂直平分线l交BC于D，AC边的垂直平分线l交BC于E，l与l相交于点O，1 2 1 2可得OA OB OC，继而求得答案.（3）由BAC120，可求得ABC ACB60，根据DA DB，EA EC，得出BAD ABC，EAC ACB，即可求解.初中数学九年级上册6/ 823.【答案】（1）解：E是AOB的平分线上一点，EC OB，ED OA ，DE CE，OE OE，△≌△，OD OC ，△DOC 是等腰三角形，OE是AOB 的平分线，OE是CD的Rt ODE Rt OCE垂直平分线.（2）解：OE是AOB的平分线，AOB 60，AOE BOE 30，EC OB，ED OA，OE 2DE，ODF OED 60，EDF 30，DE 2EF ，OE 4EF.【解析】（1）先根据E是AOB的平分线上一点，EC OB，ED OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD OC，DE CE，OE OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线.（2）先根据E是AOB的平分线，AOB 60可得出AOE BOE 30，由直角三角形的性质可得出OE 2DE，同理可得出DE 2EF即可得出结论.24.【答案】（1）证明：连接DB、DC，且平分BC，DB DC.AD为△BAC的平分线，DE AB，DF AC，DG BCDB DCDE DF.AED BED ACD DCF 90在Rt△DBE和Rt△DCF中，，DE DFRt△DBE≌Rt△DCF HL ，BE CF.AD AD，（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE DFRt△ADE≌Rt△ADF HL.AE AF.AC CF AF，AE AC CF.AE AB BE，，AB 8，AC 6，6BE 8BE ，BE 1，AE 817.即AE 7，AC CF AB BEBE 1【解析】（1）根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，再由直角三角形的判定方法HL得到Rt△DBE≌Rt△DCF，得到对应边BE CF.（2）根据直角三角形的判定方法HL得到Rt△ADE≌Rt△ADF，再由线段的和差求出AE、BE的长.25.【答案】（1）证明：AD是△ABC的角平分线，DE A于E，DF AC于F ，DE DF（角平分线的性质）（2）解：垂直.理由如下：是△ABC的角平分线，EAD FAD，DE AB，DF AC，AED AFD90，在AD初中数学九年级上册7/8EAD FADRt△AED和Rt△AFD中，AED AFDAD AD，Rt△AED≌Rt△AFD AAS ，AE AF ，点A在线段EF的垂直平分线上，同理点D也在线段EF 的垂直平分线上，AD EF.（3）解：设S△x，则S△BDE 2x ，S△ACD 1，且△AED≌△AFD，S△AED S△AFD 1x，CDFS△S△S△x x x ，又21 1ABD BDE AED1 1S AB DE△，S AC DF△，且AB c，AC b，ABD ACD2 2112x 2c DE x 1，b DF 1，DE，22 c DF22x 2 2 ，又由（1）可知DE DF ，，b c bc解得1，△AED≌△AFD，S AED S AFD S ACD S CDF 1x x△△△△，bc 2c 2cS四边形2S2(1x)2114，即四边形AEDF的面积为.4AEDF AED△b b b【解析】（1）由角平分线的性质直接可得到DE DF.（2）可证明△AED≌△AFD，可知AE AF，利用线段垂直平分线的判定可证明AD是EF的垂直平分线，可证得结论.（3）设△CDF的面积为x，则可分别表示出△BED、△ADE的面积，利用三角形的面积可分别表示出DE和DF，根据DE DF可得到关于x的方程，可求得x的值，进一步可求得四边形AEDF的面积.初中数学九年级上册8/8第2章综合测试一、单选题1.图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）.A B C D2.如图，△ABC中，A70，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中1 2 的和等于（）A.70B.90C.120D.1403.点P在AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（）A.PQ＞6B.PQ≥6C.PQ＜6D.PQ≤64.如图，在四边形ABCD中，C50，B D90，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，EAF的度数为（）A.50B.60C.70D.805.如图，射线OC是AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP OA于点P，DP4，若点Q是射线OB上一点，OQ3，则△ODQ的面积是（）A.3B.4C.5D.66.如图，在△ABC中，BA BC，ABC120，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC24，则△BMN的周长是（）初中数学八年级上册1/6A.36B.24C.18D.167.已知AOB30，点P在AOB的内部，点P和点P关于OA对称，点1 P和点P关于OB对称，则2P、1O、P三点构成的三角形是（）2A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8.如图，在△ABC中AB AC，BC4，面积是，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（）.A.6B.8C.10D.129.如图在△ABC中，BO，CO分别平分ABC，ACB，交于O，CE为外角ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记BAC1，BEC2，则以下结论①122，②BOC32，③BOC901，④BOC902正确的是（）A.①②③B.①③④C.①④D.①②④10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD CD，AB CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC BD；③1四边形ABCD的面积AC BD，其中正确的结论有（）2初中数学八年级上册2/6A.①②B.①③C.②③D.①③②二、填空题11.已知等腰三角形的其中两边长为6 cm 和8 cm ，则这个三角形的周长为________cm .12.等腰三角形的顶角是50，则它一腰上的高与底边的夹角为________.13.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2 ，则该等腰三角形顶角的度数为________.14.如图，Rt△ABC中，ACB90，A50，将其折叠，使点A落在边CB上A' 处，折痕为CD，则A'DB________度.15.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是40、60、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△: S△: S△等于________.ABO BCO CAO16.如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB10 ，BD平分ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM MN的最小值为________.17.如图，等边△ABC中，D，E分别是AB、BC边上的一点，且，则DPC________.18.如图，已知：MON=30，点A、A、A在射线ON上，点B、B、B…在射线OM上，△A B A、1 2 3 1 2 3 1 1 2△A B A、△A B A…均为等边三角形，若OA a，则△A B A的边长为________.2 23 3 34 1 6 6 7初中数学八年级上册3/ 6三、综合题19.作图题（保留作图痕迹，不写画法）.（1）请在坐标系中，画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.（2）如图（2），A与B是两个居住社区，OC与OD是两条交汇的公路，欲建立一个超市M，使它到A、B两个社区的距离相等，且到两条公路OC、OD的距离也相等.请利用尺规作图，确定超市M的位置.20.如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作DAC的平分线AF，若AF∥BC.（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作ACE的平分线交AF于点G，若B40，求ACG的度数.初中数学八年级上册4/621.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE CD，AD与BE相交于点F.（1）求证：BE AD；（2）求BFD的度数.22.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l交BC于点D，AC边的垂直平分线l交BC于点E，l与l1 2 1 2 相交于点O，联结OB、OC，若△ADE的周长为6 cm ，△OBC的周长为16 cm .（1）求线段BC的长；（2）联结OA，求线段OA的长；（3）若BAC120，求DAE的度数.23.如图，已知：E是AOB的平分线上一点，EC OB，ED OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F.（1）求证：OE是CD的垂直平分线；（2）若AOB60，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论.初中数学八年级上册5/ 624.如图，△ABC中，AD平分BAC，DG BC且平分BC，DE AB于E，DF AC于F.（1）求证：BE CF；（2）如果AB8，AC6，求AE、BE的长.25.如图，在△ABC中，AB c，AC b.AD是△ABC的角平分线，DE A于E，DF AC于F，EF 与AD相交于O，已知△ADC的面积为1.（1）证明：DE DF；（2）试探究线段EF和AD是否垂直？并说明理由；（3）若△BDE的面积是△CDF的面积2倍.试求四边形AEDF的面积.初中数学八年级上册6/6。

2019-2020年八年级数学上册第二章勾股定理与平方根 2.1 勾股
定理名师教案苏科版
讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。

）
赵爽在《勾股圆方图注》一书中给出的证明：弦图中四个直角三角形涂朱色，它的面积叫做“朱实”，中间的一个小正方形涂黄色，它的面积叫做“中黄实”，也叫做“差色”，以弦为边的正方形叫“弦实”，“按弦图，又可以勾股相乘为中黄色，加差色，亦弦实”即：
（朱实四） （中黄实）（弦实） （3）完成课本P46探索
a b
E
c
c
b
a
D C
B
A
提示：
利用梯形面积－两个小三角形面积=虚线三角形面积
3、勾股定理是数学上有证明方法最多的定理，美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图得出：c 2
= a 2
+ b 2
证明勾股定理的。

他的证法在数学史上被传为佳话。

他是这样分析的，如图所示：
教师活动内容、方式
学生活动方式 设计意图
四、课堂小结：
从“面积到乘法公式”一章的学习中，我们把几
个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算得到了
许多有用的式子，这节课同样地我们用多种方法拼图验
证了勾股定理，你有什么感受？
M35646 8B3E 謾33945 8499 蒙X26439 6747 杇_$H31266 7A22 稢32074 7D4A 絊38048 94A0 钠~36093 8CFD 賽35200 8980 覀。

苏科版八年级上册数学 第3章《勾股定理》单元测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12(单位:cm).若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为( )A. 2，4，8B. 4，8，10C. 6，8，10D. 8，10，122.若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为( )A. 56B. 48C. 40D. 323.在ABC ∆中，已知17,10AB AC ==.若边BC 上的高8AD =，则边BC 的长为( )A. 21B. 15C. 6或9D. 9或214.如图，每个小正方形的边长为1，若,,A B C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为( )A. 90ºB. 60ºC. 45ºD. 30º5.如图，一架云梯长25 m,斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m.如果梯子的顶端下滑4 m ，那么梯子的底部在水平方向上滑动了( )A. 4 mB. 6mC. 8 mD. 10 m6.如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 上，3BD =，1DC =，P 是AB 上的动点，则PC PD +的最小值为( )A. 4B. 5C.6D.77.如图，在长方形ABCD 中，4,6,AB BC E ==为BC 的中点，将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( )8.如图①，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123,,S S S ;如图②，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为456,,S S S .其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +为( )A. 86B. 64C. 54D. 48二、填空题(每题2分，共20分)9. 如果三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长为 .10.已知两条线段的长分别为15 cm 和8 cm ，则当第三条线段的长取整数 cm 时，这三条线段能组成一个直角三角形.11.若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60 cm ，则它的面积为 cm 2.12.如图，长为12 cm 的弹性皮筋拉直放置在一轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升8 cm 至点D ，则弹性皮筋被拉长了 m.13.如图，在四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =.若90ABC ∠=︒，则DAB ∠= .14.如图，在ABC ∆中，5,3AB AC ==.若中线2AD =，则ABC ∆的面积为 .15.如图，在四边形ABCD 中，30ABC ∠=︒，将D C B ∆绕点C 顺时针旋转60º后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE ∆，若3,4AB BC ==，则BD = .16.在四边形A B C D 中，90ABC ∠=︒，4,2,6AB BC CD AD ====，则B C D ∠= .17.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm ，3 dm ，2 dm ， A 和B 是这个台阶两个相对的端点，点A 处有一点蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程是 .18.如图，一个圆柱形容器的高为1.2 m ，底面周长为1m.在容器内壁离容器底部0.3 m 的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0. 3 m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m(容器厚度忽略不计).三、解答题(共56分)19. (6分)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，,AC BC D <为边BC 上一点，且到,A B 两点 的距离相等.(1)利用尺规，作出点D 的位置(不写作法，保留作图痕迹);(2)连接AD ，若5,3AB AC ==，求CD 的长.20. ( 6分)如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，过点C 作//CF AB 交AE 的延长线于点F .(1)求证: ADE FCE ∆≅∆;(2)若120DCF ∠=︒，2DE =，求BC 的长.21. (6分)如图，等腰三角形ABC 的底边20BC =cm ，D 是腰AB 上一点，且16CD =cm ，12BD =cm ，求ABC ∆的周长.22. ( 6分)如图，在直角三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，6,8AC BC ==，折叠ABC ∆的一角，使点B 与点A 重合，展开得折痕DE ，求BD 的长.23. ( 8分)如图，90ABC ∠=︒，6AB =cm ，24AD =cm ，34BC CD += cm ，C 是直线l 上一动点，请你探索:当点C 离点B 多远时，ACD ∆是一个以CD 为斜边的直角三角形?24. (8分)如图，在一棵树CD 离地10 m 的B 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处.距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，请问:这棵树有多高?25. ( 8分)如图，将Rt ABC ∆ (其中,,AB c AC b BC a ===)绕其锐角顶点A 逆时针旋转90º得到Rt ADE ∆，连接BE ，延长,DE BC 相交于点F ,则有90BFE ∠=︒，且四边形ACFD 是一个正方形.(1)判断ABE ∆的形状，并证明你的结论;(2)用含b 的代数式表示四边形ABFE 的面积;(3)求证: 222a b c +=.26. ( 8分)如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20 cm ，点B 到点C 的距离是5 cm ，自点A 至点B 的长方体表面的连线距离最短是多少?参考答案1-8 CBDCCBDC 9. 5210. 1711. 12012. 813. 135°14. 615. 516. 135°17. 25dm18. 1.319.(1)作线段AB 的垂直平分线，交BC 于点D ,即为所求;(2)7820.(1)BAF AFC ∠=∠(2) 4BC =21.三角形的周长为1603cm. 22. 254 23. 8cm24.树高15m25.(1) 等腰直角三角形；(2) 面积为2b ;(3) 四边形面积为2211()()22c b a b a b +-+=，即222a b c += 26.最短是25cm苏科版八年级上册数学第3章《勾股定理》单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A.3B.2+2C.10D.42.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A.16B.17C.18D.193.如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）A.（32+8）cmB.10cmC.82cmD.无法确定4.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（）A.2mB.3mC.4mD.5m5.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（）A.5B.7C.4D.5或76.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）A.0.6米B.0.7米C.0.8米D.0.9米7.一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（）A、4B、C、4或D、28.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A.100cmB.50cmC.140cmD.80cm9.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A、3cm2B、4cm2C、5cm2D、6cm210.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．二、填空题（共8题；共24分）11.若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________12.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为________13.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64厘米2，则x的长为________厘米．14.一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________．16.已知在三角形ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，则AB的长等于________．17.如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是10，B的面积是11，C的面积是13，则D的面积之为________．18.如图，Rt△ABC中，分别以它的三边为边长向外作三个正方形．S1，S2，S3分别为三个正方形的面积，若S1=36，S2=64，则S3=________．三、解答题（共5题；共35分）19.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？20.如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？21.如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）22.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，BC=2，CD=1，求AD的长．23.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．四、综合题（共1题；共10分）24.一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？答案解析一、单选题1、【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【解答】解：如图，AB=．故选C．【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．2、【答案】B【考点】勾股定理【解析】【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°=BCAC=22 ，即AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，∴AC=2BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD=63=2，∴EC2=22+22，即EC=22；∴S1的面积为EC2=22×22=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=2BC，BC=CE=2CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=22；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．3、【答案】B【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，①矩形的长和宽分别为6cm和8cm，故矩形对角线长AB=62+82=10cm；②矩形的长和宽分别为3cm和11，故矩形对角线长AB=32+112=130cm．即蚂蚁所行的最短路线长是10cm．故选B．【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．4、【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，AB=4m，BC=3m，AC为梯子的长度，可知△BAC为Rt△，有AC=AB2+BC2=42+32=5（m）．故选：D．【分析】如下图所示，AB=4m，BC为梯子底端到建筑物的距离，有BC=3m，AC为梯子的长度，可知△ABC为Rt△，利用勾股定理即可得出AC的长度．5、【答案】D【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵a2-6a+9+|b﹣4|=0，∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，∴a=3，b=4，∴直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7 ，∴直角三角形的第三边长为5或7 ，故选D．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．6、【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，首先根据勾股定理求得AC=2.4，则A′C=2.4﹣0.4=2，在直角三角形A′B′C中，根据勾股定理求得B′C=1.5，所以B′B=1.5﹣0.7=0.8，故选C．【分析】在本题中，运用两次勾股定理，即分别求出AC和B′C，求二者之差即可解答．7、【答案】C【考点】勾股定理【解析】【解答】解：①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 = ．故选C．【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论．8、【答案】A【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，∵正北方向和正东方向构成直角，∴由勾股定理得602+802 =100，∴其距离为100cm．故选A．【分析】由已知两只鼹鼠打洞的方向的夹角为直角，其10分钟内走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．9、【答案】C【考点】勾股定理【解析】【解答】解：由勾股定理得：=5（cm），∴阴影部分的面积=5×1=5（cm2）；故选：C．【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．10、【答案】2π【考点】勾股定理【解析】【解答】解：S1= π（）2= πAC2，S2= πBC2，所以S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．故答案为：2π．【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．二、填空题11、【答案】和3【考点】勾股定理【解析】【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是=；当5是斜边时，则第三边是3．故答案为：和3．【分析】考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边．根据勾股定理进行求解．12、【答案】12米【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= 4.52+62 =7.5（米）．故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案是：12米．【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是4.5米和6米．利用勾股定理解题即可．13、【答案】17【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵正方形的面积为64厘米2，∴正方形的边长为8厘米，x= 152+82 =17（厘米），故答案为：17．【分析】首先计算出正方形的边长，再利用勾股定理计算出x即可．14、【答案】5+【考点】勾股定理【解析】【解答】解：根据勾股定理可知：斜边= = ，∴三角形周长=3+2+=5+ ．故答案是：5+ ．【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长．15、【答案】12【考点】勾股定理的证明【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF•NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12，故答案是：12．【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12．16、【答案】25【考点】勾股定理【解析】【解答】解：如图，∵△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，∴AB= ==25．故答案为：25．【分析】根据题意画出图形，再由勾股定理求解即可．17、【答案】30【考点】勾股定理【解析】【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：C与D的面积的和是P的面积；A与B的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，是正方形D的面积为x，∴10+11+13+x=64，∴x=30故答案为：30．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．18、【答案】100【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，又由正方形面积公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，∴S3=S1+S2=100．故答案为：100．【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．三、解答题19、【答案】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB=AD2+BD2=122+122=122（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程=122+12+42=20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．20、【答案】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB= AD2+BD2=122+122=122（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是122cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程= 122+12+42=20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．21、【答案】解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400 （米），答：直线L上距离D点400 米的C处开挖【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．22、【答案】解：分别延长AD、DC交于点E，在Rt△ABE中，∵∠A=60°，∴∠E=30°，在Rt△CBE中，∵∠E=30°，BC=2，∴EC=4，∴DE=4+1=5，在Rt△ABE中，∠E=30°，AE=2AD，AE2=AD2+DE2，4AD2=AD2+52，解得：AD= ．【考点】勾股定理【解析】【分析】延长AD，DC交于点E，可得直角三角形ABE，易得CE长，在Rt△CBE中，利用30°的三角函数可得EC，DE的长，进而利用勾股定理可得AD长．23、【答案】解：设BD=x，则AD=2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2=CD2，在Rt△BCD中，BC2﹣BD2=CD2，∴AC2﹣AD2=BC2﹣BD2，即62﹣（2x）2=42﹣x2，解得，x= ，则BD= ．【考点】勾股定理【解析】【分析】设BD=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．四、综合题24、【答案】（1）解：由题意，得AB2=AC2+BC2，得AC= = =24（米）（2）解：由A′B′2=A′C2+CB′2，得B′C= = ==15（米）．∴BB′=B′C﹣BC=15﹣7=8（米）．答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】应用勾股定理求出AC的高度，以及B′C的距离即可解答．苏科版八年级上册数学第3章《勾股定理》单元测试卷一、选择题（24分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122.直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm3. 在△ABC中，三边长满足b ²-a ²=c ²，则互余的一对角是（）A．∠A与∠B B．∠C与∠A C．∠B与∠C D．∠A、∠B、∠C4. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米5.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或336. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm²B．4cm²C．6cm²D．12cm²第6题第8题第12题二、填空题（24分）7. △ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=8. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，•所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形F的边长为8cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是cm2。