专题练习数形结合思想在几何中的应用首师大版

专题练习数形结合思想在几何中的应用

一. 填空题

1. 若A（-5，3）、B（3，3），则以AB为底边、腰长为5的等腰三角形ABC的顶点C（点C不在坐标轴上）的坐标是______________。

应填入：（-1，6）

2. 已知：半径为的圆与两坐标轴都相切，圆心在第二象限，则圆心坐标是

5_____ ___________。

应填入：() -55

，

3. 若第四象限点A到坐标原点O的距离为2，OA与x轴正半轴夹角为30°，则A点坐标是__________________。

应填入：() 31

，-

4. 已知：A（3，-5），|AB|=13，点B在x轴负半轴上，则B点坐标是_____________。

应填入：() -90

，

5. 已知：如图所示，△ABC中，A为坐标原点，AB在x轴上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m，则C点坐标（用α的三角函数及m表示）是_____________。

y

C

α

O A

B x

应填入：(cos sin) -m m

αα

，

6. 如图所示，在矩形ABCD中，BD=10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB=________________，AD=_______________。

E

B C

应填入：6，8

二. 解答题

7. 已知：如图所示，矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，A（0，

4），∠OAB=60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标。（利用点到轴的距离等于点坐标的绝对值沟通形与数）

解：()232，-

8. 如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，BD=4，AD=BC ，

cos ∠=

ADC 3

5，求：

（1）DC 的长；

（2）sinB 的值。（图形中线段和差作为等量关系）

A

B D C

解：（1）

Rt ACD ADC CD AD ∆中，cos ∠=

=3

5

设CD=3k ，∴AD=5k 又， BC AD k k =∴+=345

∴=∴==k CD k 236，

（），，23464104822

BC k AC AD CD k =+=+==-== ∴=

+=+=AB AC BC 2222810241

∴===

sin B AC AB 8241441

41 9. 已知：如图所示，在矩形ABCD 中，以AB 为直径作圆O 切CD 于F ，连AC 交圆O 于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=a ，求PE 的长。（利用几何定理构造方程组）

D F C

B

略解：

依题意，，设，，则FC BC a PE x CP y AC a y ==

===-1252

∴⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫

⎭⎪=-==⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪a y a x a a y

a PE x a 2522525

2252，解得

10. 已知：如图所示，△ABC 内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E 。求证：

tan tan B C AE

DE ⋅=

。（构造直角三角形，将三角函数值转化为线段比，等比代换）

D

略证：

作于，交圆于，AG BC F O G ⊥

tan tan B AF BF C AF FC =

=，

∴⋅=⋅⋅=⋅⋅==

tan tan B C AF AF BF FC AF AF AF FG AF FG AE

DE 11. 边长为2的正方形ABCD 的对角线交于O 点，若CD 、BA 同时分别绕C 点、B 点逆时针旋转到如图所示位置形成四边形A ′BCD ′，设A ′C 交BD ′于点O ′，若旋转60°时，点O 运动到O ′所经过的路径是线段还是曲线？长度是多少？（图形运动中的相关计算）

D

C

分析与解答：如图所示，当D 以C 为圆心，CD 为半径逆时针旋转60°到达D ′点时，A 同样地旋转到A ′点，此时O 以BC 中点M 为圆心，OM 长为半径，旋转到O ′

点，边长，，运动的路径是弧，

OM OMO O OO ==∠=⋂12160''

∴⋂=⨯=

OO'的长度6011803ππ

B

C

M

D

12. 如图所示，∠ABC=30°，D 为切点，FG ⊥AB 于F ，圆O 圆心在AB 上，连结

ED BD OF x S y EDGF ，且。设，四边形===3.

（1）求y 与x 的函数关系式；

（2）若S 四边形EDGF =5S △BED ，确定FG 与圆O 的位置关系，并说明理由。 （线段、面积作为函数中的变量，图中面积和差作为等量关系）

B D G C

解：（）连结，于，1OD OD BC D ∴⊥

OD BD =⋅=⋅

=tan 3033

31 ，

∴===OB OE OD 21。由

()

∴==⋅=+BE FC BF x 130233，tan

()

S S BE EO BDE BDO ∆∆===1

21 ，等底等高

∴=⨯⋅=⨯⨯=

S BD OD BDE ∆121214313

4

由四边形S S S BF FG EDGF BGF BDE =-=⋅-

∆∆123

4 =+⋅+⋅-

12

223334()()x x

∴=+-

2y x 3623

4() 化简：y x x =++362335

123

2

（）若四边形25S S EDGF BED

=∆

∴=S S BFG BDE ∆∆6

∴+=⨯==-32663415

212()x x x ，解得，

当x=1时，即OF=1时，F 为圆上一点，且FG ⊥AB ，所以F 为切点，GF 为圆O 切线；当x=-5，不满足题意，舍。

初三数学模拟练习（一）

一. 选择题：（1~8题各3分，9~12题各4分） 1. 如果||||a b >，那么一定有（ ） A. a b >

B. a b =

C. a b <

D. a b ≠

2. 下面计算正确的是（ ）

A.

62622-=-=

B.

23235+=+=

C.

323

36

3-=

- D.

53

2106-=-

3. 当

-<<++-111122

a a a 时，化简得（）()()

A. 2

B. -2

C. 2a

D.

-2a

4. 若关于x 的一元二次方程

k x x x x ()22

2120-+-+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）