概率统计简明教程的课后习题答案

第一章一、判断题1、统计学就是数学的一个分支答:错。

统计学与数学都就是研究数量规律的,虽然两者关系非常密切,但有不同的性质特点。

数学撇开具体的对象,以最一般的形式研究数量的联系与空间形式;统计学的数据则总就是与客观的对象联系在一起,特别就是统计学中的应用统计学与各不同领域的实质性学科有着非常密切的联系,就是有具体对象的方法论。

从研究方法瞧,数学的研究方法主要就是逻辑推理与演绎论证的方法,而统计学的方法本质上就是归纳的方法。

统计学家特别就是应用统计学家需要深入实际,进行调查或试验区取得数据,研究时不仅要运用统计学的方法,而且要掌握某一专门领域的知识,才能得到有意义的成果。

从成果评价标准瞧,数学注意方法推导的严谨性与正确性;统计学则更加注意方法的适用性与操作性。

2、统计学就是一门独立的社会科学。

答、错。

统计学就是横跨社会科学领域与自然科学领域的多学科性的科学。

3、统计学就是一门实质性科学。

答:错。

实质性的科学研究该领域现象的本质关系与变化规律;而统计学则就是为研究认识这些关系与规律提供数量分析的方法。

4、统计学就是一门方法论科学。

答:对统计学就是有关如何测定、收集与分析反映客观现象总体数量的数据,以帮助人们正确认识客观世界数量规律的方法论科学。

5、描述统计就是用文字与图标对客观世界进行描述答:错。

描述统计就是对彩机的数据进行登记、审核、整理、归类,在此基础上进一步计算出各种能反映总体数量特征的综合指标,并用图标的形式表示经过归纳分析而得到的各种有用信息,描述统计不仅仅使用文字与图表来描述,更重要的就是要利用有关统计指标反映客观事物的数量特征。

6、对于有限总体不必应用推断统计方法。

答:错。

一些有限总体,由于各种原因,并不一定能采用全面调查的方法。

例如,某一批电视机就是有限总体,要检验其显像管的寿命,不可能对每一台都进行观察与试验,只能采用抽样调查方法得到样本,并结合推断统计方法估计显像管的寿命。

7、社会经济统计问题都属于有限总体的问题。

习题二一、填空题1．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈=其它，若，若，0]6,3[92]1,0[31)(x x x f若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取植范围是 ． 解：⎰+∞=≥kdx x f k X P )()(当0<k 时，10920310)()(66331100=++++==≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞dx dx dx dx dx dx x f k X P k k 当10<≤k 时，33092031)(663311kdx dx dx dx k X P k -=+++=≥⎰⎰⎰⎰+∞当31≤≤k 时，320920)(6633=++=≥⎰⎰⎰+∞dx dx dx k X P k当63<<k 时，9212092)(66kdx dx k X P k -=+=≥⎰⎰+∞当6≥k 时，00)(==≥⎰+∞kdx k X P综上，若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取植范围是]3,1[． 2．设随机变量X 服从参数为),2(p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为),3(p 的二项分布．若95)1(=≥X P ，则=≥)1(Y P ． 解：因为),2(~p B X ，所以2)1(1)0(1)1(95p X P X P --==-=≥=，从而有31=p又),3(~p B Y ，故所求为=--==-=≥3)1(1)0(1)1(p Y P Y P 27/193．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率11+=i p i （3,2,1=i ），以X 表示3个零件中合格品的个数，则==}2{X P ．解： 设i A 表示“第i 个零件是合格品”（i =1, 2, 3），则由题设知事件321,,A A A 相互独立，且434111)(,323111)(,212111)(332211=-=-==-=-==-=-=p A P p A P p A P 故所求概率为)()()()()()()()()()()()()()2(321321321321321321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A A P A A A P A A A A A A A A A P X P ++=++=++===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43132214332121433221124114．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它，，0102)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则==)2(Y P ___________． 解：一次观察中事件}21{≤X出现的该率为 412)(212/102/1===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎰⎰∞-xdx dx x f X P则由题设知)4/1,3(~B Y ，故所求概率为=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-2322341141)2(C Y P 649 5．若随机变量X 服从参数为),2(2σ的正态分布，且3.0)42(=<<X P ，则=<)0(X P ．解：因为),2(~2σN X ，所以()5.0202220)42(3.0-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<=<<=σσσσX P X P则有8.03.05.02=+=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ 故所求概率为=-=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<8.0121222)0(σσσσX P X P 2.06．设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤≤<--<=≤=3,1318.0114.01,0)()(x x x x x X P x F 若若，若，若则X 的概率分布为 ．解：由题设知X 的所有可能取值为3,1,1-，且2.08.01}3{,4.04.08.0}1{,4.0}1{=-===-===-=X P X P X P从而得X 的概率分布为7．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 ．解：设该射手的命中率为p ，X 表示四次射击中的命中次数，则由题设知),4(~p B X ，从而有()()41101)1(8180p X P X P --==-=≥= 故所求为=p 32 8．设随机变量X 服从正态分布），（2σμN )0(>σ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5，则μ= ．解：因为),(~2σμN X ，所以由题设知()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤=≥-=≥∆=σμσμσμ4440416)0(5.0X P X P X P P则有04=-σμ故所求为=μ 49．设连续型随机变量X 的分布函数为则=A ， =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<6πX P ． 解：因为X 为连续型随机变量，故其分布函数F(x)连续，所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2/12/0sin 00)(ππx x x A x x F ，若，若，11)()(sin 2lim lim lim lim 2222======⎪⎭⎫⎝⎛++--→→→→πππππx x x x x F x F x A A F 即 =A 1从而=-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<06sin 666ππππF F X P 2110．设随机变量X 服从参数为（10，0.022）的正态分布．已知μπμd ex x⎰∞--=Φ2221）（，9938.05.2=Φ）（，则X 落在区间（9.95，10.05）内的概率为 ．解：因为)02.0,10(~2N X ，所以则X 落在区间（9.95，10.05）内的概率为()()5.25.25.202.0105.2)05.1095.9(-Φ-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛<-<-=<<X P X P()=-⨯=-Φ=129938.015.22 9876.0二、单项选择题1.设）（x F 1与）（x F 2分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使F （x ）=）（x aF 1－）（x bF 2是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取[ ]（A ）53=a , 52-=b （Ｂ）32=a , 32=b （C ）21-=a , 23=b （D ）21=a , 23-=b解：根据分布函数的性质：1)(lim )(==+∞+∞→x F F x ，于是有b a x F b x F a x F x x x -=-==+∞→+∞→+∞→)(lim )(lim )(lim 121即1=-b a ．对比四个选项知，只有(A)中的a 和b 值满足1=-b a ，故正确选项为(A)．2.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN , 则随σ的增大，概率}{σμ<-X P , 则[ ] (A)单调增大 (B)单调减σ (C)保持不变 (D)增减不定解：由于),(~2σμN X ，因此)1,0(~N X Y σμ-=，于是有6826.01)1(2}1{}{=-Φ=<=<-Y P X P σμ可见所求概率不随μ和σ的变化而变化，故正确选项为(C)．3.设随机变量X 的密度函数为)(x f , 且)()(x f x f =-, )(x F 是X 的分布函数，则对任意实数a , 有[ ](A)⎰-=-adx x f a F 0)(1）（ (B)⎰-=-adx x f a F 0)(5.0）（(C)）（）（a F a F =- (D)12-=-）（）（a F a F 解： 要想最快速度作出选择，首先设法找出随机变量X 的分布函数满足哪条性质．而其密度函数)(x f 满足)()(x f x f =-，即)(x f 为偶函数．为此，先将X 退到一个特殊位置——把X 想象成服从标准正态分布的随机变量．如图，图2—1(1)中阴影部分的面积为)(a F -，图2—1(2)中阴影部分的面积为)(a F ，据此很容易选出(B)为正确答案．下面给出证明：证 由分布函数的定义得⎰-∞-=-adx x f a F )()(利用积分的可加性，有⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aa dx x f dx x f dx x f a F 00)()()()( (2.2.1)而由密度函数性质1)(=⎰+∞∞-dx x f又因为)()(x f x f =-，所以5.0)()(2)(100=⇒==⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-dx x f dx x f dx x f (2.2.2)在积分⎰-adx x f 0)(中作变量替换，令t x -=，则⎰⎰⎰⎰-=-=-⋅-=-aa a adx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()()( (2.2.3)将(2.2.2)与(2.2.3)式代入(2.2.1)式，得⎰-=-adx x f a F 0)(5.0)(故正确选项为(B)．注： 这种转化过程，其实利用的就是由“一般”退到“特殊”以利于寻求答案，待得到答案后再完成由“特殊”进到“一般”的严格推导的辩证思维．这一思想，尤其是在解决选择题上最常用．4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)4,(~2μN X , )5,(~2μN Y ;记}4{1-≤=μX P p ,}5{2+≥=μY P p ，则[ ]图2—1(2)图2—1(1)(A)对任何实数μ, 都有21p p = (B)对任何实数μ, 都有21p p < (C)只对μ个别值, 才有21p p = (B)对任何实数μ, 都有21p p > 解：由于)4,(~2μN X , )5,(~2μN Y ，因此)1,0(~5),1,0(~4N Y N X μμ--，于是有 )1(}14{1-Φ=-≤-=μX P p )1(}15{}15{2-Φ=-≤-=≥-=μμY P Y P p所以对任何实数μ, 都有21p p =，故正确选项为(A)．5．设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ，对给定的α∈(0, 1)，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于[ ](A) 2αu (B) 21α-u (C) 21α-u(D) α-1u解：由于)1,0(~N X ，因此1)(2}{-Φ=<=x x X P α于是有21)(α+=Φx 从而21)(1}{α-=Φ-=>x x X P 又αα=>}{u X P ，所以21α-=u x ，故正确选项为(B)．6．设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，随机变量Y 服从正态分布),(222σμN ，且}1{}1{21<-><-μμY P X P则必有[ ](A)21σσ< (B) 21σσ> (C) 21μμ< (D) 21μμ>解：由于),(~211σμN X , ),(~222σμN Y ，因此)1,0(~),1,0(~2211N Y N X σμσμ--，于是有112}1{}1{11111-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=<-=<-σσσμμX P X P 112}1{}1{22222-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ=<-=<-σσσμμX P X P又}1{}1{21<-><-μμY P X P所以11211221-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ2111σσ 即2111σσ>所以21σσ<，故正确选项为(A)．7．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好是他第2次命中目标的概率为[ ]（A ）2)1(3p p - （Ｂ）2)1(6p p - （Ｃ）22)1(3p p - （Ｄ）22)1(6p p -解：此人第4次射击恰好是他第2次命中目标，即此人前三次射击中只有一次命中且第四次命中目标，设X 表示“此人前三次射击中的命中次数”, 则),3(~p B X ．另设A 表示“此人前三次射击中只有一次命中”， B 表示“第四次命中目标”，于是有p B P p p p p C X P A P =-=-===)(,)1(3)1(}1{)(2213因此所求为22)1(3)()()(p p B P A P AB P -==故正确选项为(C)．8．随机变量X 的概率密度为)()1(1)(2+∞<<-∞+=x x x f π, 则X Y 2=的概率密度为 [ ]（A ）)41(12x +π （Ｂ）)4(22x +π （Ｃ）)1(12x +π （Ｄ）x arctan 1π 解：X Y 2=的分布函数⎰∞-=≤=≤=≤=2)()2()2()()(yY dx x f yX P y X P y Y P y F所以X Y 2=的概率密度为()224241121)2(21)()(yy y f y F y f Y Y +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=='=ππ 也可以写成()242)(xx f Y +==π 故正确选项为(B)．9．设随机变量X 的分布函数(),(,)1xkF x x e-=∈-∞+∞+, 则k = [ ] (A) 1 (B) 1e - (C) 2e - (D)e解：根据分布函数的性质：1)(lim )(==+∞+∞→x F F x ，于是有k e kx F xx x =+==-+∞→+∞→1lim)(lim 1即1=k ，故正确选项为(A)．10．设随机变量X 的概率分布是5/15/15/205/121012P X --则2X Y =的概率分布是 ( ) (A) 5/15/15/205/1410142P X Y =(B)25/125/125/1025/44102++=P X Y(C)25/125/125/4025/141142P X Y =(D)5/25/15/2412PX Y =解：由题设知2X Y =的所有可能取值为4,1,0，且5/2}0{}0{}0{2======X P X P Y P5/1051}1{}1{}1{}1{2=+=-=+=====X P X P X P Y P 5/25151}2{}2{}4{}4{2=+=-=+=====X P X P X P Y P从而得2X Y =的概率分布为故正确选项为(A)．三、解答题1．分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件“收到呼唤3次”、“收到呼唤次数不多于6次”；(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件“长度等于10cm”、“长度在10cm 到10.1cm 之间”；(3)检查产品5件，设A 为至少有一件次品，B 为次品不少于两件，试用随机变量表示事件AB B A B B A ,,,,+解：(1)事件“收到呼唤3次”表示为}3{=X ，“收到呼唤次数不多于6次”表示为}{}6{60k X X k ==≤= ；(2)事件“长度等于10cm ” 表示为}10{=X ；“长度在10cm 到10.1cm 之间”表示为 }1.1010{≤≤X (3)事件}0{}{===X A 没有次品}2{}{<==X B 次品少于两件}2{}{≥==X B 次品不少于两件 }1{}{≥==+X B A 至少有一件次品}2{}{<==X AB 次品数不到两件2．一袋中装有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出X 的分布律及分布函数．解：由题设得101}3{3533===C C X P ，103}4{3523===C C X P ，106}5{3524===C C X P从而得X 的分布律为X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=515452431013,0)(x x x x x F ，，，3．汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地．设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的个数的分布律．解：设X 表示“汽车在停止前进时已通过的信号灯数”，则随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4，又设i A 表示事件“汽车将通过时第i 盏信号灯开绿灯”)4,3,2,1(=i ，则由题意4.0)(,6.0)(==i i A P A P}0{=X 表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)}, 故4.0}(}0{1===A P X P}1{=X 表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯), 故4.06.0)()()(}1{2121⨯====A P A P A A P X P同理4.06.0)()()()(}2{2321321⨯====A P A P A P A A A P X P4.06.0)()()()()(}3{343214321⨯====A P A P A P A P A A A A P X P 4432143216.0)()()()()(}4{====A P A P A P A P A A A A P X P于是X 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧==⨯==4,6.03,2,1,0,4.06.0}{4k k k X P k即4．假设随机变量X 的概率密度为现在对X 进行n 次独立重复观测，以n V 表示观测值不大于0.1的次数. 试求随机变量n V 的概率分布．解：事件“观测值不大于0.1”，即事件}1.0{≤X的概率为⎩⎨⎧<<=其他，，0102)(x x x f{}01.02)(1.01.001.0===≤=⎰⎰∞-xdx dx x f X P p每次观测所得观测值不大于0.1为成功，则n V 作为n 次独立重复试验成功的次数，服从参数为)01.0,(n 的二项分布，即n V 的概率分布为()()),,2,1,0(99.001.0)(n k C k V P kn kknn ===-5．假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数)(t N 服从参数为t λ的泊松分布．（1）求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率θ．解：同时易见T 是只取非负值的随机变量，当0<t 时，0)()(=≤=t T P t F ；当0≥t 时，事件}{t T >与}0)({=t N 等价．于是有t e t N P t T P t F λ--==-=>-=1}0)({1)(1)(故T 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(t t e t F t λ 即T 服从参数为λ的指数分布．(2)由于指数分布具有“无记忆”性，因此λθ8}8{}816{-=≥=≥≥=e T P T T Pλλλθ8816}8{}16{}8{}8,16{---==≥≥=≥≥≥=e ee T P T P T P T T P6．假设测量的随机误差)10,0(~2N X ，试求在100次独立重复测量中，至少有三次误差绝对值大于19.6的概率α，并利用泊松分布求出α的近似值（要求α数点后取两位有效数字）．解：设p 为每次测量误差的绝对值大于19.6的概率，则{}05.0]975.01[2)]96.1(1[296.1106.19=-=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X P X P p设Y 为100次独立重复测量中事件}6.19{>X 出现的次数，则Y 服从二项分布，参数为05.0,100==p n ，所以()()∑=--=≥=210010095.005.01)3(k k k kC Y P α 由泊松定理知，Y 近似服从参数为505.0100=⨯==np λ的泊松分布，故所求为587.0!51205∑=-=-≈k k e k α7．某商品的次品率是0.01．现从一大批该商品中任取500个，问次品数X 不超过5个的概率．要求：(1)写出二项分布计算公式；（2）用泊松分布计算结果．解：由题设知X ～B (500, 0.01), 即500,,1,0)99.0()01.0()(500500 ===-k C k X P kk k所以(1)次品数X 不超过5个的概率为∑∑==-===≤55500500)99.0()01.0()()5(k k k k kC k X P X P(2) 由泊松定理知，X 近似服从参数为501.0500=⨯=λ的泊松分布，故所求为661.0!5)5(505∑=-=≈≤k k e k X P8．在电源电压不超过200伏、在200—240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和0.2．假设电源电压X 服从正态分布)25,220(2N ，试求：(1)该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200—240伏的概率β．解：设1A 表示“电压不超过200伏”， 2A 表示“电压在200—240伏”， 3A 表示“电压超过240伏”；B 表示“电子元件损坏” ．又)25,220(~2N X ，所以212.0)8.0(1)8.0(8.025220)200()(1=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤=X P X P A P576.01)8.0(28.0252208.0)240200()(2=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛≤-≤-=≤≤=X P X P A P212.0)8.0(18.025220)240()(3=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛>-=>=X P X P A P(1)由题设可知：2.0)(,001.0)(,1.0)(321===A B P A B P A B P ，于是由全概率公式有0642.02.0212.0001.0576.01.0212.0)()()(31=⨯+⨯+⨯===∑=i i i A B P A P B P α(2) 由条件概率公式（或贝叶斯公式）得所求为009.00642.0001.0576.0)()()()(222≈⨯===B P A B P A P B A P β9．设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间.若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为22I W =，求W 的概率密度．解：由题意I 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0119,21)(x x f 242162,119,2,2,222<<<<±===w x wx x w I W 时当 对于⎰-=≤≤-=≤=>22)(}22{}{)(,0ωωωωωdx x f I P w P w F w W由于0≥w ，所以当0<w 时，其分布函数0)(=w F W ，故ww F w f W41)()(='=综上，W 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=0,00,)]2()2([221)(w w wf w f w w f ⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅=其它,0242162,24121221w w w10．设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布．现在对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率．解：由题设知，X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=5,152,322,0)(x x x x x F设p 为每次观测中观测值大于3的概率，则{}32311)3(13=-=-=>=F X P p 设Y 为3次独立观测中事件}3{>X 出现的次数，则Y 服从二项分布，参数为5/4,3==p n ，故所求为∑=-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≥133272031321)2(k kk k C Y P 11．设随机变量X 的分布律为求2)2(2-=X Y 的分布律.解: i p121 61 31 121 92 91X 0 1 2 3 4 52)2(2-=X Y 8 2 0 2 8 18从而有91)18(,31)0(,4/112161)2(,36/1192121)8(=====+===+==Y P Y P Y P Y P 故2)2(2-=X Y 的分布律为12．设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f X +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y ．解：对任意实数y ，根据定义随机变量Y 的分布函数为⎰+∞-=-≥=≤-=≤=3)1(33)(})1({)1()()(y X Y dx x f y X P y X P y Y P y F则有23)1(3])1[()()(y y f y F y f X Y Y -⋅-='=即随机变量31X Y -=的概率密度函数])1(1[)1(3)(62y y x f Y -+-=π13．假设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Xe Y 2=的概率密度)(yf ．解：由题设知，X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它,021,1)(x x f X对任意实数y ，根据定义随机变量Y 的分布函数为)()()(2y e P y Y P y F X Y ≤=≤=(1)当0≤y 时，0)(=y F Y ，则0)()(='=y F y f Y(2)当0>y 时，⎰∞-=≤=y X Y dx x f y X P y F ln 21)()ln 21()(，则yy f y F y f X Y 21)ln 21()()(⋅='= 所以1) 当2ln 211<<y 即42e y e <<时，yy f 21)(= 2) 当20e y <<或4e y ≥时，0)(=y f综上可得，随机变量XeY 2=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0,21)(42e y e yy f14．假设随机变量X 的绝对值不大于1；P 81}1{=-=X ，P 41}1{==X ；在事件}11{<<-X 出现的条件下，X 在)1,1(-内的任一子空间上取值的条件概率与该子空间的长度成正比．试求X 的分布函数}{x X P x F ≤=）（．解：由题设可知8541811)1()1(1)11(=--==--=-=<<-X P X P X P 212)1111(1=⇒=<<-<<-=k k X X P 所以有(1)当1-<x 时，0)(=x F (2)当11<≤-x 时1675218581)111()11(81)11,1(810)1()1()1()(+=+⋅+=<<-≤<-<<-+=<<-≤<-++=≤<-+-=+-<=x x X x X P X P X x X P x X P X P X P x F (3)当1≥x 时，1)(=x F综上可得，随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F 15. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0]8,1[,31)(32x x x f ，)(x F 为X 的分布函数，求)(X F Y =的分布函数．解：⎰∞-=xdt t f x F )(）（当1<x 时，0)(=x F 当81<≤x 时，1313132-==⎰x dt t x F x）（当8≥x 时，1)(=x F综上可得，随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=8,181,11,0)(3x x x x x F对任意实数y ，根据定义随机变量Y 的分布函数为})({)()(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=当0<y 时，0)(=y F Y 当10<≤y 时y y F y X P y X P y F Y =+=+≤=≤-=])1[(})1({)1()(333当1≥y 时，1)(=y F Y 于是，)(X F Y =的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(y y y y y F Y 16. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，终调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂．现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）．求：（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ．解：对于新生产的每台仪器，设A 表示“仪器需进一步调试”，B 表示“仪器能出厂”，则A 表示“仪器需进一步调试”，AB 表示“仪器经调试后能出厂”．由题设可知，AB A B+=，80.0)(,30.0)(==A B P A P ，从而有24.080.030.0)()()(=⨯==A B P A P AB P94.024.070.0)()()(=+=+=AB P A P B P设X 表示“所生产的n 台仪器中能出厂的台数”，则X 作为n 次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为)94.0,(n 的二项分布，因此(1)n n X P 94.0)(===α(2)22206.094.0)2(⋅⋅=-==-n n C n X P β(3))()1(1)2(n X P n X P n X P =--=-=-≤=θn n n C 94.006.094.0111-⋅⋅-=-17. 某种型号的电子管的寿命X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000,01000,1000)(2x x x x f现从一大批中任取5只，问其中至少有两只寿命大于1500小时的概率．解：3/210001000)()1500(1500150021500=-===>⎰⎰⎰+∞+∞+∞dx xdx x dx x f X P设Y 表示 “寿命大于1500小时的电子管只数”，则Y ～B (5, 2/3), 从而所求为)1()0(1)2(1)2(=-=-=<-=≥Y P Y P Y P Y P243232)31()32(1515=-=-=∑k k k k C 18. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分）服从参数为51的指数分布．该顾客在窗口等待服务超过10分钟则离开．他一个月到银行5次．以Y 表示未等到服务的次数，试求（1）Y 的概率分布；（2）)1(≥Y P ．解：21051051051)()10(-∞+-∞+-∞+=-===>⎰⎰e e dx e dx xf X P xxX(1)由题设),5(~2-e B Y ，即Y 的概率分布为5,1,0)1()()(5225 =-==---k e e C k Y P kk k(2) 52)1(1)0(1)1(1)1(---==-=<-=≥e Y P Y P Y P19. 设随机变量K 在]5,0[上服从均匀分布，试求一元二次方程02442=+++K Kx x 有实根的概率．解：由题设知 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0)5,0(,51)(~y y f K K , 从而所求为{})02(0)2(1616)0(22≥--=≥+-=≥∆k k P k k P P⎰⎰⎰⎰∞++∞-∞-=++=+=≥+-≤=55221530510)()()2()1(dy dy dyy f dy y f k P k k k20. 设随机变量X 在]1,0[上服从均匀分布，试求：(1)Xe Y =；(2)X Y ln 2-=的概率密度函数．解：由题设 可知⎩⎨⎧∈=其它,0]1,0[,1)(~x x f X X(1) )()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=i)当0≤y 时，0)(=y F Y ，从而有0)()(='=y F y f Y Y ii)当0>y 时，⎰∞-=≤=yX Y dx x f y X P y F ln )()ln ()(，从而有yy f y F y f X Y Y 1)(ln )()(⋅='=a)当0ln <y 即10<<y 时，0)(=y f Y b)当1ln 0≤≤y 即e y <≤1时，yy f Y 1)(= c)当y ln 1<即y e <时，0)(=y f Y 综上，可得Xe Y =的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它011)(e y y y f Y(2) )ln 2()()(y X P y Y P y F Y ≤-=≤=)(2y e X P -≥=⎰+∞-=2)(y eX dx x f所以有)()(y F y f Y Y '=)(2122yX y e f e --=i) 当12>-y e即0<y 时，0)(=y f Yii) 当102≤<-y e即0≥y 时，)(y f Y 221ye -=综上，可得X Y ln 2-=的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,00,21)(2y y e y f yY21. 某汽车从起点驶出时有30名乘客，设沿途有4个停靠站，且该车只下不上．每个乘客在每个站下车的概率相等，并且乘客与乘客在各个站下车与否相互独立，试求：（1）全在终点站（即第4个停靠站）下车的概率； （2）至少有2个乘客在终点站下车的概率；（3）该车驶过2个停靠站后乘客人数降为15的概率； （4）至少有一个站无人下车的概率．解：设X 表示 “在终点站（即第4个停靠站）下车的人数”，则X ～B (30, 1/4), 从而所求为（1）3041)30(⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P（2）)1()0(1)2(1)2(=-=-=<-=≥X P X P X P X P303030130431041143411⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-=∑kk k k C（3）设Y 表示 “在 前2个停靠站下车的人数”，则Y ～B (30, 1/2), 从而所求为3015301515153022121)15(C C Y P =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅== （4）设Z 表示 “无人下车的站数”，则所求为30303031414426434)()1(⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯===≥∑=k k Z P Z P22. 设甲、乙两人进行投篮比赛，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.7，规定每人投篮两次，谁投进的球数多谁就为优胜者．若投进的球数同样多，则每人再加投一次以决胜负，如仍为同样则为平局．试求：甲获胜，乙获胜，平局的概率各为多少？解：设X 表示“前两次甲投中的次数”，则X ～B (2, 0.6)；设Y 表示 “前两次乙投中的次数”，则Y ～B (2, 0.7)；3A 表示“第三次甲投中”，3B 表示“第三次乙投中”；A 表示“甲获胜”，B 表示“乙获胜”，C 表示“平局”，从而所求为297864.03.06.07.06.03.06.03.07.04.06.03.06.03.04.03.07.06.03.06.03.04.06.0),2,2(),1,1(),0,0()1,2()0,2()0,1()(2212122212222212333333=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅===+==+==+==+==+===C C C C B A Y X P B A Y X P B A Y X P Y X P Y X P Y X P A P490672.07.04.07.06.07.04.03.07.04.06.07.04.03.04.07.04.06.07.04.03.07.04.0),2,2(),1,1(),0,0()2,1()2,0()1,0()(2212122221222122333333=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅===+==+==+==+==+===C C C C B A Y X P B A Y X P B A Y X P Y X P Y X P Y X P B P211464.0)()(1)(=--=B P A P C P23. 设X 服从正态分布)2,3(2N ，试求：(1)}52{≤<X P ； (2)}72{<<-X P ； (3)}2|{|>X P ；(4)}3{>X P ； (5)确定c 使得}{}{c X P c X P ≤=>．解：(1)1)5.0()1()5.0()1()1235.0(}52{-Φ+Φ=-Φ-Φ=≤-<-=≤<X P X P 5328.016915.08413.0=-+=(2)1)5.2()2()5.2()2()2235.2(}72{-Φ+Φ=-Φ-Φ=≤-<-=<<-X P X P 9710.019938.09772.0=-+=(3))5.2()5.0(1)5.0235.2(1}2{1}2{Φ-Φ+=-≤-≤--=≤-=>X P X P X P 6977.09938.06915.01=-+=(4)5.05.01)0(1)023(}3{=-=Φ-=>-=>X P X P 6977.09938.06915.01=-+=(5)由}{}{c X P c X P ≤=>，}{}{1c X P c X P ≤+>=知5.0}{}{=≤=>c X P c X P从而有)23()2323(}{5.0)0(-Φ=-≤-=≤==Φc c X P c X P 故有3023=⇒=-c c24. 一个工厂生产的电子管寿命X (以小时计)，服从参数160=μ，2σ的正态分布，若要求80.0}200120{≥≤<X P ，允许σ最大为多少？解：由题设可得1)40(2)40()40()4016040(}200120{8.0-Φ=-Φ-Φ=≤-<-=≤<≤σσσσσσX P X P 从而有 )28.1(90.0)40(Φ=≥Φσ 所以25.3128.140≤⇒≥σσ故允许σ最大为31.25．25. 设随机变量X 的概率密度函数为)()(+∞<<-∞=-x Aex f x ，求：(1) A ; (2)(01)P X <<; (3)分布函数()F x ．解：(1)由⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞--====022)(1A dx e A dx e A dx x f x x 得 2/1=A(2) ⎰⎰---===<<10110)1(2121)()10(e dx e dx x f X P x (3) ⎰∞-=xdt t f x F )()(ⅰ)当0<x 时，⎰∞-==x x t e dt e x F 2121)( ⅱ) 当0≥x 时，⎰⎰∞----=+=002112121)(x x t t e dt e dt e x F 综上，可得X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-0,2110,21)(x e x e x F x x 26．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤-+-<=xa a x a a x B A a x x F 1arcsin 0)( 其中0>a , 求: (1) A 和B ； (2) X 的分布密度函数)(x f ．解：（1）因为X 为连续型随机变量，所以)(x F 连续，故有1)()0()0(),2()()0()0(==-=+-⋅+=-=--=+-a F a F a F B A a F a F a F π而0)()0()2(]arcsin [)()0(lim lim lim lim ===---⋅+=+==+---++-→-→-→-→a x a x a x a x x F a F B A a x B A x F a F π 2]arcsin [)0(11)()0(lim lim lim π⋅+=+=-===+-++→→→B A a x B A a F x F a F a x a x a x从而有 ⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=-⋅+πππ/12/1120)2(B A B A B A （2）⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=其它,0,1)()(22a x a x a x F x f π27．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤+= , 0 20 , 1)(其他x kx x f 试求: （1）系数k ；（2）)5.25.1(<<X P ；（3）X 的分布函数()F x .解：(1)由⎰⎰+∞∞-+=+==2022)1()(1k dx kx dx x f 得21-=A (2) ⎰⎰=+-==<<5.25.125.1161)121()()5.25.1(dx x dx x f X P (3) ⎰∞-==xdt t f x F 0)()(ⅰ)当0<x 时，0)(=x Fⅱ)当20≤≤x 时，x x dt t x F x+-=+-=⎰2041)121()( ⅲ)当2>x 时，1)(=x F综上，可得X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤+-<=2,120,410,0)(2x x x x x x F28. 设随机变量X 在]53[]20[，，上服从均匀分布, 求X 的分布函数()F x ． 解：由题设可知⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0]5,3[]2,0[,41)(~ x x f X X 所以⎰∞-==x dt t f x F 0)()( ⅰ)当0<x 时，0)(=x Fⅱ)当20≤≤x 时，441)(0x dt x F x⎰== ⅲ)当32<<x 时，2141)(20⎰==dt x F ⅳ)当53≤≤x 时，414141)(203-=+=⎰⎰x dt dt x F x ⅴ)当5>x 时，1)(=x F综上，可得X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<<≤≤<=5,153,4132,2120,40,0)(x x x x x x x x F29. 设随机变量X 具有对称的概率密度)(x f ，即)(x f 为偶函数，)()(x f x f =-，证明：对任意0>a 有：(1) )](1[2}|{|a F a X P -=>；(2) 1)(2}|{|-=<a F a X P ．证明：(1))]()([1}{1}|{|1}|{|a F a F a x a P a x P a x P ---=≤≤--=≤-=>)](1[2)(22)(1)(1)]](1[)([1a F a F a F a F a F a F -=-=-+-=---=(2))()(}{}{}|{|a F a F a x a P a x a P a x P --=≤<-=<<-=<1)(2)](1[)(-=--=a F a F a F30. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：X eY 21--=在区间），（10上服从均匀分布．证：由题设可知⎩⎨⎧>=-其它,00,2)(~2x e x f X x X 所以)1()1()()(22y e P y e P y Y P y F X X Y -≥=≤-=≤=-- i)当01≤-y 即1≥y 时，1)(=y F Y ，从而有0)()(='=y F y f Y Yii)当1<y 时，⎰--∞-=--≤=)1ln(21)()}1ln(21{)(y X Y dx x f y X P y F ，从而有 )()(y F y f Y Y '=)]1ln(21[)1(21y f y X ---= 于是可得a )当0)1ln(21>--y 即10<<y 时，1)(=y f Y b )当0≤y 时，0)(=y f Y综上，可得X e Y 21--=的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,1)(y y f Y即X e Y 21--=在区间），（10上服从均匀分布．。

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率. 解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.(2)当Y=51时,X的条件分布律为P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为表(a)表(b)解答：由X与Y相互独立知P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55∼8:00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它,求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z的相同值的概率要合并.于是(1)(2)Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.。

吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。

（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。

解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。

解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。

解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。

4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。

A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。