热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答_第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律

第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律

3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 2 4 6 8 2 速率Vi（m/s） 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

试求(1)平均速率V；（2）方均根速率2V（3）最可几速率Vp 解：（1）平均速率： 18.32864200.5200.4800.3600.2400.12V(m/s)

(2) 方均根速率

37.322iiiNVNV(m/s) 3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。 解：smRTVP/395103230031.8223

smRTV/446103214.330031.8883

smRTV/483103230031.83332

3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。 解：RTVP2代入数据则分别为： T=100K时 smVP/1028.22 T=1000K时 smVP/1021.72 T=10000K时 smVP/1028.23 3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。 解：因RTV32 28RTV 由题意得： RT328RT ∴T2/T1=83

3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s） 解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：

△ N=VVe

KTmNVKTm22232)2(4



∵ Vp2= 2KTm ，代入上式 △N=VVVppeVVVN222214





因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，

又smVP/402102827331.823 △V=1m/s

（vvp =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个

3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1

与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。

解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得： △V1=12212214VVVpppeVVVN

△N2=22222214VVVpppeVVVN

∴ △N/△N2=2121)(21)(21)()(pppVVVVpeVVeVV 其中VP=331018.210257331.82m/s v1vp =1.375，v2vp =0.687 ∴ 969.0687.0375.122687.02375.1221eeNN 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2

dN=dVVVVpPeVN22234 △N1=122100VVVVdNdNdN △N2=344300VVVVdNdNdN

令Xi=vivp i=1、2、3、4利用16题结果: 22)([0iixiiVexxerfNdN



∴ △N1=]2)([]2)([2122112xxiexxerfNexxerfN （1）

△N2=]2)([]2)([23243344xxexxerfNexxerfN （２） 其中VP=smRT/10182.223 375.111PVVx 379.122PVVx 687.033PVVx 6722.044PVVx 查误差函数表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722 将数字代入（１）、（２）计算，再求得：

703.021N

N

3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间vp～1.0vp1内 （2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内 （3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内 解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=

122100VVVVdNdNdN

令v2=1.01vp，vi=vp，piivvx，则111pvvx，01.122pvvx，利用16题结果可得； 21221122

1

2)(2)(xxexxerfexxerfNN



查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468 ∴008.01NN （2） 由麦氏速率分布律： xvvpxdvevNdNpx221

∴xvvvpxvvvpdvevNdvevNNpxpx2122)(01)(012

)(])(exp[1)(])(exp[12020212pxpxvvpxpxvvvvdvvvvdvvNNpp

令pxvvx， 111pvvx，01.122pvvx

∴dxedxeNNxxxx212200211 利用误差函数： dxxxpexerfx)(2)(20

%21.0]8427.08468.0[21)()([21122xerfxerfN

N

（3）令pxvvx，由麦氏速度分布律得： zyxvvvvpdvdvdvevNdNpzyx

222233

1



833230033108.0)002.0()(][)1(211222NNdxedxeNNxxxx



3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：

22232)2(4veKTmNdvdNvKT

m

 将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：

A=eKTmNA23)2(4 KTmB2 ∴22VAedvdNBV （1） 为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论： 由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令22VAedvdNyBV则

0)]2(2[222BVeVVeAdv

dyBVBV

得BVVP1 又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0 又mKTBVP11121 mKTBVP22221 ∵T1=100K＜T2=400K ∴1PV＜2PV 由此作出草图

3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v1。 解：VKTmemKTKTmVKTmdVemKTKTmVdVeKTmdvVfVvKTmVKTmKTmv42)()2(4)2()()2(4)2(4)(1102232202230223022 3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。 （1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？

解：（1）)/(1098.11020114.337331.88823smRTV （2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：tsVnN41

其中KTVPVn4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(ds是小孔面积，t=3600s，故tsVKTPN41，代入数据得： N=4.05×1019（个）

∴)(1035.11005.41002.610201219233gNNmNMA

3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：

)(221PPARTM

