2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
绝密★启用前【百强校】2016学年浙江省温州中学高二下学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：149分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数是定义在R 上的奇函数，在上是增函数，且，给出下列结论： ①若且，则；②若且，则；③若方程在内恰有四个不同的实根，则或8；④函数在内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有 。
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C试卷第2页，共21页【解析】 试题分析：∵是奇函数且，∴∴函数为周期的周期函数，根据题意可画出这样的图形：如图所示，∵定义在上的奇函数，在上是增函数，∴在上是增函数，即上是增函数，①若且，则，∴，又∵，∴，即，故①正确；②若且，则，观察可知，故②正确；③若方程在内恰有四个不同的实根，当时(如上方虚线所示)，可知,左边两个交点之和为（因为两个交点关于对称，一个交点可表示为，另一个交点可表示为）。
轴右边的两个交点之和为，则，同理时，故③正确；④函数在内有个零点，故④不正确，结论正确的有①②③，故选：C 。
考点：1.根的存在性及根的个数判断；2.奇偶性与单调性的综合。
【方法点睛】本题主要考查函数奇偶性周期性和单调性的综合运用，综合性较强题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性的性质，解答此题的关键在于由已知等式得到函数对称轴方程和周期，先由“是奇函数且”转化得到，即函数为周期8的周期函数，然后按照条件求解即可。
2、已知点P 为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，I 为三角形的内心，若成立，则的值为 。
A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，，故，故选：D 。
绝密★启用前【百强校】2016届江西师大附中高三上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：214分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．2、过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．3、不等式对于任意及恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．≤B ．≥C ．≤D ．≤4、已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．206、定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A ．B ．C ．D ．7、若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．8、若纯虚数满足，则实数等于（） A ． B ．或 C ．D ．9、已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图，当输入，时，图中程序运行后输出的结果为（ ）A ．3； 33B ．33；3C ．-17；7D ．7；-1711、若关于的不等式组，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或12、已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知中，，点在平面内，且，则的最大值为．14、将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使直线，平行的概率为，不平行的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是．15、已知,那么的值是．16、已知函数的图象在点处的切线方程是，则．三、解答题（题型注释）17、如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。
2015-2016学年贵州省遵义市高三（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则M∩N（）A．{﹣1，0} B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅2．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C．4 D．13．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ的值为（）A． B．C．D．5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．126．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．167．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为（）A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值为（）A．13 B．12 C．11 D．109．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．过平面区域内一点作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（）A．B．C．D．11．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1）和f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），且+=，当数列{}的前n项和大于62时，n的最小值是（）A．9 B．8 C．7 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若a=x2dx，则二项式（a﹣）6的展开式中的常数项为．14．已知正方形ABCD的坐标分別是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：k MB•k MD=﹣，则动点M所在的轨迹方程为．15．设数列{a n}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）是等差数列，则数列{a n}的通项公式为．16．定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，（2）若a=3，△ABC的面积为，求的值．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A 8 12 40 32 8产品B 7 18 40 29 6（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．21．已知函数f（x）=cosx+﹣1，g（x）=e ax．（Ⅰ）当x≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意x≥0，不等式g（x）≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形为边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于C，F，连接CF并延长交AB于点E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段EF的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C1交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若，求直线的普通方程．【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年贵州省遵义市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则M∩N（）A．{﹣1，0} B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，列举出N中的元素确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≤0，解得：﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，由题意得：N={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}，故选：A．2．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C．4 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得z的值，可得，从而求得z•的值．【解答】解：z====﹣i，则=i，则则z•=1，故选：D．3．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．4．函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ的值为（）A． B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得实数φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）为偶函数，故+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．6．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A7．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是16，利用列举法写出满足条件的事件数，得到结果．【解答】解：直线l1的斜率，直线l2的斜率．a，b∈{1，2，3，4}的总事件数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种．若直线l1与直线l2没有公共点，则l1∥l2，即k1=k2，即b=2a．满足条件的实数对（a，b）有（1，2）、（2，4）、共2种情形．∴对应的概率P==．故选：C8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值为（）A．13 B．12 C．11 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=时，根据题意，求得此时k的值，应该满足条件k＞a，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1不满足条件k＞a，S=1+=2，k=2不满足条件k＞a，S=1++=2，k=3不满足条件k＞a，S=1++=2，k=4不满足条件k＞a，S=1+++=2﹣，k=5不满足条件k＞a，S=1++++=2，k=6不满足条件k＞a，S=1+++++=2﹣，k=8…最后一次循环，不满足条件k＞a，S=2﹣=，k=x+1满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为．可解得：x=12，即由题意可得a的值为11．故选：C．9．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．10．过平面区域内一点作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到P，联立方程组求得P的坐标，进一步求出sin，代入二倍角余弦公式求得cosα的值．【解答】解：如图，联立，解得P（﹣4，﹣2），|OP|=，∴sin=．则cosα=．故选：A．11．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．【解答】解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1）和f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），且+=，当数列{}的前n项和大于62时，n的最小值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】数列的求和；利用导数研究函数的单调性．【分析】通过对f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1）变形可知a x=（a＞0，且a≠1），利用f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0）可知a＞1，进而利用+=可知a=2，通过等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），∴a x=（a＞0，且a≠1），又∵f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），∴=＞0，∴y=a x为增函数，即a＞1，∵+=，∴a+=，解得：a=2或a=（舍），∴=2x，数列{}是首项、公比均为2的等比数列，∵＞62，∴2n+1＞64，即n＞5，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若a=x2dx，则二项式（a﹣）6的展开式中的常数项为﹣．【考点】定积分．【分析】由定积分可得a值，由二项式定理可得．【解答】解：求定积分可得a=x2dx=x3=，∴（a﹣）6=（﹣）6，展开式通项T k+1=（）6﹣k（﹣）k=（﹣1）k•（）6﹣k x3﹣k，令3﹣k=0可得k=3，代入可得常数项为（﹣1）3•（）3=﹣故答案为：﹣14．已知正方形ABCD的坐标分別是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：k MB•k MD=﹣，则动点M所在的轨迹方程为=1（x≠0）．【考点】轨迹方程．【分析】利用直接法求出动点M的轨迹方程．【解答】解：设点M的坐标为（x，y），∵动点M满足：k MB•k MD=﹣，∴．整理，得=1（x≠0），故答案为：=1（x≠0）．15．设数列{a n}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）是等差数列，则数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．【考点】等差数列的通项公式．【分析】先求出数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）的首项和公差，然后求出数列{a n+1﹣a n}的通项公式，然后利用叠加法可求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：a2﹣a1=4﹣6=﹣2a3﹣a2=3﹣4=﹣1∴d=（a3﹣a2）﹣（a2﹣a1）=﹣1﹣（﹣2）=1∵数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）是等差数列∴数列{a n+1﹣a n}的首项为﹣2，公差为1的等差数列=n﹣4则a n+1﹣a n=n﹣3，则a2﹣a1=4﹣6=﹣2，a3﹣a2=3﹣4=﹣1，…a n﹣a n﹣1相加得a n=6+（﹣2）+（﹣1）+…+（n﹣4）=故答案为：a n=（n∈N*）16．定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是{m|m＜﹣1或0＜m＜3} ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据，然后用代换x便可得到，再用代换x便可得出f（x+3）=f（x），从而便得到f（x）是以3为周期的周期函数，这样即可得到f（1）＞﹣2，，从而解不等式便可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵；用代换x得：；用代换x得：；即f（x）=f（x+3）；∴函数f（x）是以3为周期的周期函数；∴f（4）=f（1）＞﹣2，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）＜2；∴；解得m＜﹣1，或0＜m＜3；∴实数m的取值范围为{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．故答案为：{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，（2）若a=3，△ABC的面积为，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到B；（Ⅱ）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合向量的数量积的定义，即可计算得到．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinB•cosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴2cosB=1，cosB=，又0＜B＜π，∴B=；（2）法一：∵a=3，△ABC的面积为，∴•3c•sin=，∴c=2，b2=22+32﹣2×2×3cos=7，∴b=，∴cosA==，∴•=bccos（π﹣A）=2×（﹣）=﹣1．法二：•=（﹣）=||•||•cos＜，＞﹣=2×3×﹣22=﹣1．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A 8 12 40 32 8产品B 7 18 40 29 6（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由检测结果统计表，利用等可能事件概率计算公式能估计产品A，产品B为正品的概率．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由检测结果统计表，得产品A为正品的概率为：=，产品B为正品的概率为：=．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，P（X=180）==，P（X=90）==，P（X=60）==，P（X=﹣30）==，∴X的分布列为：X 180 90 60 ﹣30PE（X）==132．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可证明AG∥平面BDE；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．【解答】解：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD．…根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0）G（0，2，1）…．（Ⅰ）设平面BDE的法向量为，∵，∴，即，∴x=y=z，∴平面BDE的一个法向量为…..∵∴，∴，∵AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE．…．（Ⅱ）设平面BAG的法向量为，平面BDE和平面BAG所成锐二面角为θ…．因为，，由得，…．∴平面BAG的一个法向量为，∴．故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为…．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得∠POF=30°，从而a=．由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=，直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（），由此入手结合已知条件能求出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为y=．因为两渐近线的夹角为60°且，所以∠POF=30°．所以．所以a=．因为c=2，所以a2+b2=4，所以a=，b=1．所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）因为l⊥l1，所以直线l的方程为y=，其中c=．…直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（）．…设=λ，则=．…因为点F（c，0），设点A（x0，y0），则有（x0﹣c，y0）=λ（，）．解得，y0=．…因为点A（x0，y0）在椭圆上，所以+=1．即（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．等式两边同除以a4，得（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），所以=﹣（2﹣e2+）+3≤=3﹣2=（）2．…所以当2﹣e2=，即e=时，λ取得最大值．故的最大值为．…21．已知函数f（x）=cosx+﹣1，g（x）=e ax．（Ⅰ）当x≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意x≥0，不等式g（x）≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x﹣sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）根据函数的单调性分别证明+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立，设F（x）=e x﹣﹣x﹣1，得到F（x）≥F（0）=0即可；（Ⅲ）解法一：证明以+x+1≥sinx﹣cosx+2，设G（x）=e x﹣﹣x﹣1，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a的取值范围；解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx+﹣1，（x≥0），则f′（x）=x﹣sinx，设h（x）=x﹣sinx，则h′（x）=1﹣cosx，当x≥0时，h′（x）=1﹣cosx≥0，即f′（x）为增函数，所以f′（x）≥f′（0）=0，即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得x≥0时，f（x）≥f（0）=0，f′（x）≥f′（0）=0，∴sinx≤x，cosx≥﹣+1，即x≥sinx， +1≥﹣cosx+2，∴x≥0时， +x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立，设F（x）=e x﹣﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=0，∴F（x）是增函数，F（x）≥F（0）=0，∴对任意x≥0，e x≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，cosx≥﹣+1，所以+x+1≥sinx﹣cosx+2，设G（x）=e x﹣﹣x﹣1，则G'（x）=e x﹣x﹣1，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x≥0时g'（x）=e x﹣1≥0，所以g（x）=e x﹣x﹣1为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．又x≥0，a≥1时，e ax≥e x，所以a≥1时e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．当a＜1时，设h（x）=e ax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=ae ax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0，所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则g′（x）=a﹣，可求∈[﹣1，1]，所以当a≥1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即e ax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即e ax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，综上所述，a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形为边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于C，F，连接CF并延长交AB于点E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段EF的长．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．然后利用勾股定理在直角三角形BFE中求EF即可．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO=∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以EB=OC=AB．所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，∴BF=a．∵BE=a，∴EF====．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C1交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若，求直线的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（Ⅱ）设A（2+t A cosθ，1+t A sinθ），B（2+t B cosθ，1+t B sinθ）．把直线的参数方程代入曲线C1的方程，根据t的几何意义即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ∴曲线C1的直角坐标方程是x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4（Ⅱ）设A（2+t A cosθ，1+t A sinθ），B（2+t B cosθ，1+t B sinθ）由已知，注意到M（2，1）是直线参数方程恒过的定点，∴t A=﹣2t B①联立直线的参数方程与曲线C1的直角坐标方程得：t2cos2θ+（1+tsinθ）2=4，整理得：t2+2tsinθ﹣3=0，∴t A+t B=﹣2sinθ，t A•t B=﹣3，与①联立得：，∴直线的参数方程为，（为参数）或，（为参数）．消去参数得的普通方程为或【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…2016年8月12日。
