高等数学D2试题(A)2011春

高等数学练习题二一、填空题:1•设z=f(x.y),其中/具有连续的二阶偏导数，则2-将二次积分 I = j (V2 dy^ /(x, y)dx + j\〉/(x, y)dx 变为423•设幕级数在"0处收敛，而在“2处发散，则幕级数w=0岸的收敛域为[-1,1).;?=04.函数/(兀)= —关于兀的幕级数展开式为x + 无一25・微分方程dx- (xcos )' + sin 2y)dy = 0满足y(-2) = 0的特解为x = -2(1 4-sin y)・二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。

6・函数z = /(x,y)在点(心，沟)处两个偏导数(兀o ，)b )，/；(勺‘沟)存在是f^y)在该点可微分的【B ](A)充分条件(B)必要条件极坐标系下的二次积分后可得心加&加(厂COS& 4,rsin 0)rdrOOZ /?=0(-1严。

舁+132zdxd y(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件7•设厶是曲线＞' = -71^7上点A(l,0)与点3(0,-1)间的一段弧，则曲线积分[/(x, y)ds =(A) J ；；f (cos&,sin 0)d0T(C) Jo 2/ (cos 0,sin &)d& 8.下列级数中条件收敛的是oo(C) zn=l 9.曲面2” + y2 + 3z2 = 6在点(1,1,_1)处的切平面方程为(D) x+ y-3z = 610.微分方程嘤-3字+ 2尸(兀+1)0的一个特解可设为【D ]ax" dx(A) Axe 2x(B) (Ax-\-B)e 2x(C) Ax 2e 2x(D) (Ax+B)xe-X三、计算下列各题：11・求原点到曲面z 2 =xy-^x-y-^4的最短距离。

【解】设点M (兀,y,z)为曲面 z 2=xy + x- y + 4上任一点，则该点与原 点距离的平方和为:f(x,y\z) = d 2=x 2 + y 2 + z 2只要求距离的平方和最小即可，约束条件： xy + x-y + 4-z 2=0 设 F(x,y,z) = x 2+ y 2+z 2+2(小 + 兀一 y + 4-z?)⑻Jl 一兀$ 側(D) J jd&J ；/(厂cos0,厂sin&)厂d 厂(A ) £(-ir//=! n n+\(—1)"(A) x + 2y-3z = 6(B) x + 4y-3z = 6(D ) £(-irn=]xy + x-y^A-z 1=0故，原点到曲面 z 2 =xj + x-y + 4的最短距离为：V3 ■原式訂MM ：：；牛2血M几兀(、(7、=—(4cos 2(p-sec 2^jsin (pd(p = — --2^213.计算曲面积分 / = JJ 2xz 2dydz + y(z? +1)dz</r + (9-z 3)dxdy ,其中工是曲面z = x 2 + r+i 被平面*2所截下部分的下侧。

xdx
(2)设xy ln y
0，求
dy
|x 0，
d2y
|x 0
dx
dx2
（3）设y(1x2)sin x，求y.
9/14
二、求下列函数的导数：
(1)设xln cot
，y
tan，求
dy
与
d
2y
；
dx
dx2
(2)设x
f (t )，y tf (t )
f (t)，又f
(t )存在且不为零，求
dy与d2y
；
dx dx2
0
g(x)
在x
0处二阶可导。
四、设xg( y)是yf ( x)的反函数，问如何由f ( x), f(x)算出g ( y)？
8
高等数学习题集
§6隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
必作习题
P138-1401，2，3，7，8，11
必交习题
一、 求下列函数的导数
(1)设arctanylnx2y2，求dy；
与相对误差。
12
高等数学习题集
习题课(二)
必作习题
P1579，10，11，12，13
必交习题
一、用简便方法求下列函数的导数：
x(1
x)
；
(1)y ln
x2
1
x
(2)yxx；
x
t (1
t)
0
0相应的点处的切线方程。
二、求曲线
y
1
在t
tey
0
13/14
三、 设曲线yf ( x)与ysin x在原点相切，求limxf (2)。
x
1
3/14
二、设f ( x)(axb)sin x(cxd ) cos x，确定a, b, c,d使f (x)x cos x。

第 1 页 共 2 页陇东学院2011——2012学年第一学期物电学院非物理学专业高等数学课程期末试题答案(A)一、选择题（每小题2分，共20分）.1．若函数()y f x =在点0x 处连续，则0lim ()x x f x →（ B ）A .不存在；B .等于0()f x ；C .存在但不等于0()f x ；D .不确定.2. 1lim (1)xx x→∞-=（ D ）A .１；B .e ；C .∞；D ．1e.3. =∞→xx x sin lim（ B ）A .1；B .0；C .∞；D .不存在但不为∞.4．下列说法正确的是（ C ）A .有界数列必收敛；B .单调数列必收敛；C .收敛数列必有界；D .发散数列必无界.5. 若函数()sin f x x =，则()f x 在点0x =处（ A ）A .连续但不可导；B .连续且可导；C .可导但不连续；D .不连续也不可导.6．若函数()f x 在区间[],a b 上连续,在区间(,)a b 内可导,则在区间(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得()f ξ'= ( C )A ．0；B ．1；C .()()f b f a b a--； D .()()f b f a -7. 下列各式正确的是( A )A .()()f x dx f x C '=+⎰； B .22()()x a df x dx f x dx=⎰； C .()()x ad f x dx f x dx'=⎰； D .()()bad f x dx f x dx=⎰8.121arctan 1x dx x-=+⎰( D ）A .2π； B .4π； C . 2； D . 0 .9．若0()0f x '=，0()0f x ''>，则0x 为函数()f x 的 ( A )A . 极小值点；B .极大值点；C .非极值点；D . 不一定是极值点.10．若广义积分1padx x+∞⎰收敛，则（ B ）A .1p ≤；B .1p >；C .0p ≤；D .01p <<．二、填空题（每小题３分，共1５分）.11．420sin xdx π=⎰316π；12．设2ln(1)y x =+, 则微分dy =221x dx x+；13．曲线22tx t y e⎧=⎨=⎩在1t =相应的点处的切线方程y ex e =+； 14. 函数xy e =的n 阶麦克劳林公式为231()1!2!3!!nxnx xxxe o x n =+++++；15．微分方程2dy xy dx=的通解2xy Ce=．三、计算题（每小题5分，共４０分）.16．解：32322111323363limlimlim6221321x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===---+--；或3232211132(1)(2)23limlimlim121(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-++===+--+-+17．解：22cos limlim cos 1x x x t dt x x→→==⎰；试 卷 密 封 装 订 线院 系 班 级 姓 名 学 号第 2 页 共 2 页18．解： 两端取对数 ln sin ln y x x =，再求导1cos ln sin y x x x yx'=+，得 sin sin (cos ln )x x y x x x x'=+19．解：两端求导 0y e y y xy ''++=，从而yy y x e'=-+20．解：21143()(2)(3)3256x x dx dx dx x x x x x x ++==------+⎰⎰⎰=434ln(3)3ln(2)32dxdxx x x x -=-----⎰⎰21．解：22ln ln (sin cos )sin cos x x x x dx dx x xdx xx+=+⎰⎰⎰22311ln (ln )sin (sin )ln sin 23xd x xd x x x C =+=++⎰⎰22．解：11111000222222ttt tt te dt tee dt e e=-=-=⎰⎰⎰23．解：2111arctan lim arctan arctan 12441x dx x x xπππ+∞+∞→+∞==-=-=+⎰四、应用题(共２0分)24．讨论函数1y x x=+的性态，描绘函数图象.（８分）解：(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，函数是奇函数 221x y x-'=， 32y x''=，令0,0y y '''==，得1x =±1lim lim ()x x y x x→→=+=∞ ∴有铅直渐近线0x =又21limlim (1)1x x y k xx→→==+= ，1lim ()lim ()0x x b y kx x x x→∞→∞=-=+-=∴有斜渐近线y x =25．求抛物线2y x =与直线1x =所围平面图形的面积A 以及此图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积V ．（６分）解：13124433A x ===⎰，11222V xdx xπππ===⎰26．求二阶常系数齐次微分方程230y y y '''--=的通解．（６分）解：特征方程2230r r --=，特征根121,3r r ==，通解为2312x xy C e C e =+五、证明题(５分)选做一题27．证明当0x >时，ln(1)x x >+证：令()ln(1)f x x x =-+，则当0x >时，1()1011x f x xx'=-=>++故()f x 在[)0,x 上单调增加，因此当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =-+>= 即 当0x >时，ln(1)x x >+28．证明方程510x x +-=只有一个正根．证：令5()1f x x x =+-，则()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>，由零点定理知，()f x 在(0,1)内至少有一个零点．又4()510f x x '=+>，所以5()1f x x x =+-只有一个零点，在(0,1)内，故方程510x x +-=只有一个正根．。

《高等数学》练习题参考解答专业 姓名 学号 成绩 一、填空题1. 'y e x =微分方程的通解为(ln 1).y x x C =-+2. 方程x e y y y -=+'+''23的特解的具有形式为x xAe - .3.微分方程0=+'y y 满足初始条件01x y ==的特解是 x y e -=.4.函数(,)f x y={}(,)|0,0x y y x x y ≤≥+>5．设x z e =11xx y z =='=()11ln 22e +. 6．设(2)x z x y =+，则在点(1,0)处的全微分dz =2dx dy +.7．函数22z x y =+在条件1x y +=下的极值为12. 二、选择题1. 函数x y cos =是微分方程（ C ）的解。

A . 0=+'y yB .02=+'y yC .0=+''y yD .x y y cos =+'' 2．下列曲面中，旋转曲面是( A . )．A . 22z x y =+B . z x y =+C . 22z x y =+D .222231x y z ++=3．下列曲面中，( D ) 是平行x 轴的柱面．A . 223x y +=B . 22x z y =+C . 22z x -=D .22231y z +=4．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的充分条件是（ D ）.A .(),f x y 在点()00,x y 处连续B .(),f x y 在点()00,x y 处存在偏导数C .()()00000lim ,,0,x y z f x y x f x y y ρρ→''⎡⎤∆-∆-∆==⎣⎦ D . ()()00000,,lim0,x y z f x y x f x y yρρρ→''∆-∆-∆==5．已知3222(cos )(1sin 3)axy y x dx by x x y dy -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，则a 和b 的值分别是（ B ）.A . – 2和2B . 2和– 2C . – 3和3D . 3和– 3三、计算题1. 求方程x y x y y x tan=-'的通解及满足初始条件2|1π==x y 的特解. 解: 将原方程化为tan y yy x x'-=令y u x =，y ux =，dy dux u dx dx =+ 2分 tan du x u u u dx+-=，这是一个变量可分离的方程，得 cos sin u dxdu u x= 4分 上式两端积分得ln sin ln ln u x C =+变量还原可得原方程的通解为Cx xy=sin6分 将初始条件2|1π==x y 代入上式得，1C =故满足初始条件的特解为 x xy=sin . 7分2. 求微分方程 2y y x '''-=的通解.解: 设y u '=则y u '''=方程变为 2u u x '-= 2分2()dx dxy u e x e dx c -⎰⎰'==+⎰222()(22)22x x xxx x x e x e dx c e c x exe e ce x x ----=+=---=---⎰ 5分32123xx y c e x x c =---+ 7分3．求22()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+.解: 因为 22()0()x y x y e -+≤+ 3分22220x y x y x y x y x y e e e e++=+≤+→ 6分 故 22()lim ()0x y x y x y e -+→+∞→+∞+=． 7分4． 设22(,)()f x y x y x y x y ϕ+-=-++且(0)f x x =，，求(0,1)x f '. 解: 令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩，则1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（）（） 2分从而 2211(,)()()()44f u v u v u v u ϕ=+--+()uv u ϕ=+即 (,)()f x y x y x ϕ=+ 4分 将(,0)f x x =代入上式，有()x x ϕ=, 从而 (,)(1)f x y x y =+ 则 (0,1)(0,1)(1)2x f y '=+=． 7分5．设()()x y z yf xg y x =+，其中f 和g 具有二阶连续导数，求222z zx y x x y∂∂+∂∂∂．解: 因为z yf g g x x∂''=+-∂ 2分所以 2222223311z y y y y f g g g f g x y x x x y x∂''''''''''=-++=+∂ 4分 2222211∂''''''''''=-+--=--∂∂z x y x yf g g g f g x y x x y x y x6分 于是 2220z zx y x x y ∂∂+=∂∂∂． 7分6．设,)++F x z y z （可微，且120''+-≠F F z ，求方程2221,)()22++-++=F x z y z x y z （所确定的函数(,)=z z x y 的微分dz ．解: 令2221(,,),)()22=++-++-G x y z Fx z y z x y z （，则 1212'''''''=-=-=+-x y z G F x G F y G F F z ，， 3分于是 111212'''--∂=-=-=∂'''''+-+-x z G F x x F z x G F F z F F z221212'''--∂=-=-=∂'''''+-+-y z G F y y F zy G F F z F F z6分 故 1212()()''-+-∂∂=+=∂∂''+-x F dx y F dy z zdz dx dy x y F F z． 7分7．求函数333z x y xy =+-的极值．解: 233x z x y '=-，233y z y x '=-，6xx z x ''=，3xy z ''=-，6yy z y ''=．由方程组 22330330⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩xy z x y z y x ， 解得驻点(0,0),(1,1)． 3分对于驻点(0,0)：(0,0)0xx A z ''==，(0,0)3xy B z ''==-，(0,0)0yy C z ''==，290B AC -=>故(0,0)不是函数的极值点． 5分对于驻点(1,1)：(1,1)6xx A z ''==，(1,1)3xy B z ''==-，(1,1)6yy C z ''==，2270B AC -=-<故(1,1)是函数的极小值点，极小值(1,1)1z =-． 7分四、应用题设生产某种产品必须投入两种要素，x 和y 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为2Q x y αβ=，其中0,0αβ>>，且1αβ+=。