概率论第七章习题解答1、随机地取8只活塞，测得它们的直径为（以mm 计）74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 试求总体均值μ及方差2σ的矩估计值，并求样本方差2s 。
解 1()E X μμ==22222()()[()]E X D X E X μσμ==+=+解得 1μμ=，2221σμμ=-又 81118i i A X X ===∑令 1A X μ== （一阶矩估计量）2222A X σμ==-（二阶矩估计量）代入样本值，1(74.00174.00574.00374.0018x =+++74.00073.99874.00674.002)++++74.002=ˆ74.002μ=，（一阶矩估计值） 82211ˆ()8i i x x σ==-∑ 22222221[(0.001)0.0030.001(0.001)0.002(0.004)(0.004)0]8=-+++-++-++ 即 26648ˆ106108σ--=⨯=⨯ （二阶矩估计值） 因为样本方差22211()1n i i S X X n ==--∑ 当8n =时，822211()7ii S X X ==-∑ 所以 22661148ˆ()10 6.861077n i i sx x --==-=⨯=⨯∑ 2、设12,,,n X X X 为总体的样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，求下列总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值。
（1）(1),()0,c x x cf x θθθ-+⎧>=⎨⎩其它，其中0c >为已知，θ为未知参数。
（2）1,01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其它，其中0θ>，θ为未知参数。
（3）{}(1)x x m xm P X x C p p -==-，0,1,2,,x m =，其中01p <<，p 为未知参数。
概率论与数理统计习题7参考答案习题7参考答案7.1解：因为:是抽自二项分布B （m ，p ）的样本，所以总体的期望为mp X E =)(，用样本均值X 代替总体均值()E X ，得p 的矩估计为m Xp=ˆ。
似然函数为1111()()(1)(1)()(1)mmii m mi i x m x x m x x m x p p p m mmmL p C p p C p p C pp ==---∑∑=--=-，对它们两边求对数可得11ln(())ln()ln ()ln(1),m mp miii i L p m C x p m x p ===++--∑∑对p 求导并令其为0得11ln(())/()/(1)0mmi i i i L p x p m x p p ==∂=---=∂∑∑，得p 的极大似然估计为1ˆnii xXm pm m ===∑7.2解：01()xE X xdx eλλλ+∞-=•=⎰，令()X E X =，则λ的矩估计为λˆ11()E x X== 由概率密度函数可知似然函数为：e e e x x x L n λλλλλλλ---••••=21)(eni i x n∑==-1λλ对它们两边求对数可得∑-=∑==-=ni inx en x L ni i 1ln )ln())(ln(1λλλλλ对λ求导并令其为0得0))(ln(1=∑-=∂∂=ni i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111ˆ1=∑==λ7.3解:记随机变量x 服从总体为[0,]上的均匀分布，则220)(θθ=+=X E ， 令()X E X =，故的矩估计为X 2ˆ=θ。
X 的密度函数为θ1)(=x p 故它的似然函数为IIX X L n inni n}{1}0{)(11)(θθθθθ≤=≤<==∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θn1尽可能大。
由于θn1是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计=θˆ（示性函数I=，=min{} ,=max{}）7.4解:记随机变量x 服从总体为[,]上的均匀分布，则2322)(θθθ=+=X E , 令()X E X =,所以的矩估计为X 32ˆ=θX 的密度函数为θ1)(=x p 故它的是似然函数为()(1)()(1){2}{2}{}21111()x xx x n in nnnni L X I I Iθθθθθθθθθ≤≤≤<≤≤≤====∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θn1尽可能大。
第七章参数估计1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。
n2 6(X i x) 6 10i 1S 2 6.86 10 6。
ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹(1) f (x)e c e x (e 1},x c0,其它其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。
(2) f(x)、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。
(5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。
解：（ 1) E(X)xf(x)dxce c e x e dxe c ece 1e 1 e c 令 e c Xe 1, 令 e 1XX c(2) E(X)xf (x)dxe x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )22.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。
得e1e (5)-e 1 解：（1）似然函数 nL (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2i 1X n )mm 计)解：U,b 2的矩估计是X 74.002E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
ln x i 0（解唯一故为极大似然估计量）In X i nln ci 1⑵ L(B ) n n_f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1,ln L(B )n2~nln( 0) (0 1) In X ii 1dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i0,i 1? （nIn x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然估2.一 0 计量。
nm m n X i nmn 召 (5) L(p) P{X X i }p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X nn n nIn L(p) In m X i x i In p (mnX i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x ii 10 1 pn X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。
专业 班级 学号 姓名第七章练习题（解答各题必须写出必要步骤）1．设总体X 的μ与方差2σ均为未知参数，21,X X 为样本。
试证：221)(21X X -为2σ的无偏估计。
2．设总体X 服从]2,[θθ上的均匀分布，其中0>θ为未知参数，又n X X X ,,,21 为样本，记∑==ni i X n X 11，试证：X 32ˆ=θ是θ的无偏估计。
3．设总体X 服从],[θθ-上的均匀分布，其中0>θ为未知参数，又n X X X ,,,21 为样本，试证：∑==n i i X n 1223ˆθ是2θ的无偏估计。
4．设总体X 服从参数p 的两点分布（0－1分布），n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，证明：∑==ni i X n p11ˆ是参数p 的极大似然估计量。
5．设总体X 的分布中有未知参数θ，n X X X ,,,21 （2≥n ）是取自总体X 的样本，),,,(ˆˆ2111n X X X θθ=和),,,(ˆˆ2122n X X X θθ=是两个统计量，并且 θθ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n E 11)ˆ(1，()θθn E +=1)ˆ(2 证明：统计量n nnn 1111ˆˆˆ21θθθ=是θ的无偏估计量。
6．设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本，1X ，2X 分别为两样本均值。
试证：如果b a ,满足1=+b a ，则21X b X a Y +=是μ的无偏估计量并确定b a ,，使)(Y D 最小。
答案：211n n n a +=，212n n n b +=7．设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-00);(x x e x f xλλλ，n X X X ,,,21 为X 的一个样本，求参数λ的矩估计和极大似然估计，它们是否是λ的无偏估计？答案：X ME1ˆ=λ，XMLE1ˆ=λ；有偏估计8．已知某电子设备的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-00);(x x e x f xλλλ，λ未知。
