不等式的证明方法习题精选精讲

不等式的证明及著名不等式一、知识梳理1.三个正数的算术一几何平均不等式⑴定理如果a, b, c均为正数，那么智必当II仅当___________________________时，等号成立.即三个正数的算术平均________ 它们的几何平均.（2）基本不等式的推广对于n个正数⑦，血，…，如，它们的算术平均__________ 它们的几何平均，即血+血十…+给—勺*2…S当且仅当____________________ 时，等号成立.2.柯西不等式一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式若％C,d都是实数则（tr+/72）（c2+J2）>（tzc+M2当且仅％〃=加朮等号成立二维形式的柯西不等式的变式：⑴如+戸・牯+〃2 > \ac + bd\（2）J/+方2 • ^J e2+d2 > kd + \hd\定理2 （柯西不等式的向量形述设a,0是两个向量则Q・0 < a p・当且仅当B是零向量或存在实数I,使5 =帀时，等号成立平面向量坐标代入得二维形式的柯西不等乂卧+&）（斤+比）>（a{b^a2b2）2 当且仅当=勺勺时，等号成立将空间向量的坐标代入得三维形式的柯西不等心（a； + + a；）（b「+ + b?） n+ ajbr +当且仅车，族线时，即p = 或存在一个数:，使得=他（心1,2,3）时，等号成立定理3 （二维形式的三角不等式i^x1,y1,x2,y2 eR,那么JX： + ）彳 + J兀;+ y； 2 J（X] —兀2）2 +（歹| 一力）2二、一般形式的柯西不等式定理(一般形式的柯西不等式设q,如刎…卫小勺厶,$,•••&是实数则(a； +& +・・・+a；)(q2 +b；+・・・b：)X(a l bi +・・・a血尸当且仅当勺=0(/= 1,2,•••,«)或存在一个数t,使得q =純Q = 1,2,…,兀)时,等号成立三、排序不等式定理(排序不等式或称排序原1)设坷<a2 5・・・£a n,b\ <b2<•••</?,,为两组实数eg,…,c”是勺厶,…,b”的任一排列那么a}b n 4- a2b n_{ + • • • + a n b} < a x c x + a2c2 + • • • + a n c n < a}b} + a2b2 + • • • + a n b n,即反序和5 乱序和S 顺序和, 当且仅当Q] =0 =••• = %或勺二/?2二…二〃“时,反序和等丁•顺序和3.贝努利不等式f “若xUR,且x>—1,好0, n>\, nGN,则(1+兀)">1+ .4 •证明不等式的方法⑴比较法①作差：知道a>b<^a—b>0, a<b<^ci~b<Q,因此要证明a>b,只要证明__________即可，这种方法称为求差比较法.②作商：由a>b>0<^> 1 K a>0, b>0,因此当a>0, b>0时要证明a>b,只要证明_____ 即可，这种方法称为求商比较法.(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法.对于一个与白然数相关的命题集合，如果：①正明起始命题n = /?()成立；②®设n = k时命题成立，证明n = k + l也成立；那么可以断定该命题对一切自然数成立.二.练习1.(2013-陕西)己知a, b, m, n均为正数，且a+h=l f mn = 2,贝I」(am+bn)(bm+an)的最小值为__________ .答案2解析由柯西不等式(a1+/?2)(<?2+^}>{ac+hd)2,当且仅当ad=hc时成立，得(a 加+bn)(bm+寸頑・込^ + 书办网)？ = mn{a+/?)?=2.2.［2014-陕西卷］设d, b, m, M ER,且a2+b2=5f ma+nb=5,则的最小值为_______ ・［解析］由柯西不等式可知(/+/?2)(m2+n2)>(mf/+nbf,即5(m2+n2)>25,当且仅当an=bm吋,等号成立，所以寸屏+/养卩.3.若G,b,c€(0, +oo),且a+b+c=i f则辺+观+&的最大值为____________________ .答案萌解析(辺+观+讥)2=(1><&+ lx 远+ lxV?-)2<(l2+12+ 12)(6/+Z?+C)=3.当且仅当a=b=c=^时，等号成立.4.(2012-福建)已知函数Xx)=m-|x-2|,朋R,且/x+2)>0的解集为［一1,1］・(1)求加的值;(2)若a, b, cGR+,且方+五+±=加'求证：a+2b+3c>9.审题破题⑴从解不等式Xx+2)>0出发，将解集和［一1,1］对照求加；(2)利用柯西不等式证明.⑴解因为Xx+2)=m-M， X^+2)>0 等价于\x\<m.由|尤曰72有解，得陀0,且其解集为｛%| —又Ax+2)>0的解集为［一1,1］,故m=\.⑵证明由⑴知»+寺+圭T，又°,方，ceR ,由柯西不等式得。

三反证法与放缩法一、选择题1.设M=+…+,则( )A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不确定解析:分母全换成210,共有210个单项.答案:B2.设x>0,y>0,A=,B=,则A与B的大小关系为( )A.A≥BB.A=BC.A>BD.A<B解析:∵x>0,y>0,∴A==B.答案:D3.用反证法证明“如果a>b,那么”的假设内容应是( )A. B.C. D.答案:D4.已知a,b∈R+,下列各式中成立的是( )A.cos2θlg a+sin2θlg b<lg(a+b)B.cos2θlg a+sin2θlg b>lg(a+b)C.=a+bD.>a+b解析:cos2θlg a+sin2θlg b<cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).答案:A5.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:对于①,假设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,这时a=b=c,与已知矛盾,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正确.对于②,假设a>b与a<b及a≠c都不成立,这时a=b=c,与已知矛盾,故a>b与a<b及a≠c 中至少有一个成立,故②正确.对于③,显然不正确.答案:C二、非选择题6.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<.那么它的假设应该是.答案:|f(x1)-f(x2)|≥7.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的条件.解析:必要性是显然成立的;当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:充要8.设a,b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥成立.解：证明:假设对一切0≤x≤1,0≤y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|<.令x=0,y=1,有|b|<.令x=1,y=0,有|a|<;令x=y=1,得|1-a-b|<.这与|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1-矛盾,故假设不成立,原命题结论正确.9.已知数列{b n}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{a n}的通项a n=log a(其中a>0,且a≠1),记S n是数列{a n}的前n项和,试比较S n与log a b n+1的大小,并证明你的结论.解:(1)设数列{b n}的公差为d,由题意,得∴b1=1,d=3.∴数列{b n}的通项公式为b n=3n-2.(2)当a>1时,S n>log a b n+1(n∈N+);当0<a<1时,S n<log a b n+1(n∈N+).证明如下:∵b n=3n-2,∴a n=log a=log a.∴S n=a1+a2+…+a n=log a.又log a b n+1=log a.∴比较S n与log a b n+1的大小,即比较×…×的大小.记A n=×…×,B n=.∵>1,∴对任意n∈N+,都有>0.∴,从而×…××…×=3n+1= .∴A n>B n(n∈N+).由对数的单调性,可得当a>1时,S n>log a b n+1(n∈N+);当0<a<1时,S n<log a b n+1(n∈N+).三、备选习题1.求证:1++…+<3.解：证明:由(k是大于2的自然数),得1++…+<1+1++…+=1+=3-<3.故原不等式成立.2.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:中至少有一个小于2.解：证明:假设都不小于2,即≥2,且≥2.因为x>0,y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x.把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),从而x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.因此,都不小于2是不可能的,即原命题成立.。

几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。

人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。

我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

考点6、数学归纳法对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立.例1、 已知：+∈R b a ,，N n ∈，1≠n ，求证：11--+≥+n n n n ab b a b a . 考点7、判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例2、 设R y x ∈,，且122=+y x ，求证：21a ax y +≤-.练习、C B A ,,为ABC ∆的内角，z y x ,,为任意实数，求证：.cos 2cos 2cos 2222C xy B xz A yz z y x ++≥++考点8、标准化法形如n n x x x x x x f sin sin sin ),,,(2121 =的函数，其中π≤<i x 0，且 n x x x +++ 21为常数，则当i x 的值之间越接近时，),,,(21n x x x f 的值越大（或不变）；当n x x x === 21时，),,,(21n x x x f 取最大值，即nx x x x x x x x x f n n n n +++≤= 212121sin sin sin sin ),,,(. 标准化定理：当B A +为常数时，有2sin sin sin 2B A B A +≤. 例3、 设C B A ,,为三角形的三内角，求证：812sin 2sin 2sin ≤C B A . 考点9、等式法应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例4、c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：444222222222c b a c b c a b a ++>++. 考点10、构造法在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数、向量等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.例5、已知：122≤+y x ，222≤+b a ，求证：22)(22≤+-axy y x b . 例6、 设2,,0≤≤c b a ，求证：ca bc ab abc c b a 222422++≥+++.构造向量法证明不等式：根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系||||n m n m ⋅≤⋅，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．例7、 设+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：.225)2()2(22≥+++b a 构造解析几何模型证明不等式: 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．例8、设1,0,0=+>>b a b a ，求证：.221212≤+++b a练习1、已知ABC ∆的三边长是c b a ,,，且0>m ，求证：.mc c m b b m a a +>+++ 练习2、已知e a b >>，求证：.a b b a >考点11、导数法当x 属于某区间，有0)(≥'x f ，则)(x f 单调递增；若0)(≤'x f ，则)(x f 单调递减.推广之，若证)()(x g x f ≤，只须证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'即可.例9、证明不等 x e x +>1，.0≠x参考答案：例1、证明 （1）当2=n 时，ab ab ab b a 222=+≥+，不等式成立；（2）若k n =时，11--+≥+k k k k ab b a b a 成立，则111111)()(+--++++-+≥+-+=+k k k k k k k k k k b ab ab b a a b ab b a a b a =k k k k k k k k k k ab b a b a b ab b a b ab b a ab b a +≥-++=+-++-+-21112)()2(， 即k k k k ab b a b a +≥+++11成立.根据（1）、（2），11--+≥+n n n n ab b a b a 对于大于1的自然数n 都成立. 例2、证明 设ax y m -=，则m ax y +=代入122=+y x 中得 1)(22=++m ax x ，即 0)1(2)1(222=-+++m amx x a因为R y x ∈,，012≠+a ，所以0≥∆，即 0)1)(1(4)2(222≥-+-m a am ，解得 21a m +≤，故21a ax y +≤-练习、证明 构造函数，令 )cos 2()cos cos (2)cos 2cos 2cos 2()(222222A yz z y C y B z x x C xy B xz A yz z y x x f -+++⋅-=++-++=为开口向上的抛物线)sin sin (4)sin sin 2sin sin (4)]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [4)cos 2cos cos 2sin sin (4)cos 2(4)cos cos (42222222222222222≤--=-+-=-+-+-=++--=-+-+=∆C y B z C B yz C y B z C B C B yz C B yz C y B z A yz C B yz C y B z A yz z y C y B z 无论z y ,为何值，0≤∆ ，所以0)(,≥∈x f R x ，故.cos 2cos 2cos 2222C xy B xz A yz z y x ++≥++例3、证明 由标准化定理得，当C B A ==时， 212sin 2sin 2sin===C B A ， 2sin 2sin 2sin C B A 取最大值81， 故 812sin 2sin 2sin ≤C B A . 例4、证明 由海伦公式))()((c p b p a p p S ABC ---=∆，其中)(21c b a p ++=. 两边平方，移项整理得 4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=∆而0>∆ABC S ,所以 444222222222c b a c b c a b a ++>++. 例5、证明 依题设，构造复数yi x z +=1，bi a z +=2，则11≤z ，22≤z 所以 i axy y x b bxy y x a bi a yi x z z ]2)([]2)([)()(22222221+-+--=++=⨯ 2)Im(2)(22122122≤⨯≤⨯=+-z z z z axy y x b故 22)(22≤+-axy y x b . 例6、证明 视a 为自变量，构造一次函数 )2()422(2224)(2222bc c b a c b bc cabc ab abc c b a a f -+++--=---+++=由,20≤≤a 知)(a f 表示一条线段．又0)(2)0(222≥-=-+=c b bc c b f ，0)2()2(844)2(2222≥-+-=+--+=c b c b c b f . 可见上述线段在横轴及其上方,所以0)(≥a f ,即ca bc ab abc c b a 222422++≥+++.例7、证明 构造向量)1,1(),2,2(=++=n b a m .设m 和n 的夹角为α，其中πα≤≤0． 2||,)2()2(||22=+++=n b a m ,ααcos 2)2()2(cos ||||22⋅⋅+++=⋅=⋅∴b a n m n m ;另一方面，,541)2(1)2(=++=⋅++⋅+=⋅b a b a n m 而1|cos |0≤≤α, 所以52)2()2(22≥⋅+++b a ，从而.225)2()2(22≥+++b a例8、证明 所证不等式变形为：221212≤+++b a . 这可认为是点)12,12(++b a A 到直线 0=+y x 的距离． 但因,4)12()12(22=+++b a 故点A 在圆)0,0(422>>=+y x y x 上． 如图所示:,BC AD ⊥ 半径AD AO >， 即有：221212≤+++b a , 所以.221212≤+++b a练习1、证明 令函数).0(,)(>+=x m x x x f 由mx m m x m m x x f +-=+-+=1)(，知)(x f 在),0(∞+上是增函数. 因为c b a >+，所以)()(c f b a f >+， 即mc c c f b a f m b a b m b a a m b b m a a +=>+=+++++>+++)()(. 练习2、证明 令),(,ln )(e x x x x f >= 因为,0ln 1)(2<-='x x x f 所以)(x f 在),(∞+e 上是减函数，因为,e a b >>所以),()(a f b f < 即,ln ln a a b b < 所以a b b a ln ln <，,ln ln b a a b <故.a b b a >例9、证明 设,1)(x e x f x --=则.1)(-='x e x f 故当0>x 时，f x f ,0)(>'递增；当f x f x ,0)(,0<'<递减.则当0≠x 时， ,0)0()(=>f x f从而证得 .0,1≠+>x x e xy x x ＋y = 0 2A BD C O。