三角形解答题单元练习(Word版 含答案)

【精选】八年级数学上册三角形解答题（篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现1902BOC A ︒∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，∴112ABC ∠=∠，122ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？【答案】（1）12BOC A ∠=∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠． 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠OCD =12∠ACD =12∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；【详解】（1）12BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线，∴12OBD ABC ∠=∠，12OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角，∴1122OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠ 即12BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ）∴1902BOC A ︒∠=-∠ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．2．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°．【解析】 【分析】 （1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；（2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1352ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线，所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°， 所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．（2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．3．如图，四边形ABCD ，BE 、DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=12(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=12(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=12(α+β)计算即可得出一组内错角相等．【详解】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°；（2）β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°，(3)平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．4．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH）=13（90+2∠FCH）=30+23∠FCH，∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH=22.53α+，∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5=mα+n22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.5．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .【答案】解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5【解析】试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．试题解析：解：解决问题连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．拓展延伸：解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．（2）连接AO ．∵CO =DO ，∴△BOD 的面积=△BOC 的面积=3，△AOC 的面积=△AOD 的面积．∵BO =2EO ，∴△EOC 的面积=△BOC 的面积的一半=1.5， △AOB 的面积=2△AOE 的面积．设△AOD 的面积=a ，△AOE 的面积=b ，则a +3=2b ，a =b +1.5，解得：a =6，b =4.5，∴四边形ADOE 的面积为=a +b =6+4.5=10.5．6．已知，在ABC 中，∠A =60°，（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ；（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则2_________BO C ∠=；（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=︒n BO C ，求n 的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ；（4）n=4 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋12∠ACB =12（∠ABC ＋∠ACB ） =60°∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120°故答案为：120°．（2）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋23∠ACB =23（∠ABC ＋∠ACB ） =80°∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100°故答案为：100°．（3）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1n n -∠ACB =1n n-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-⎛⎫ ⎪⎝⎭n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n 故答案为：60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n（4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n ∴6012090+=n n解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．7．（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______.（3）如图③,是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的,如果∠A ＝30°,则x ＋y ＝360°－（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ ,猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为【答案】见解析.【解析】【分析】试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C ；（2）△ABC 沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C ，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A ．试题解析：解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C ，理由如下：在△ADE 中，∠1+∠2 = 180°- ∠A在△ABC 中，∠B+∠C = 180°- ∠A∴ ∠1+∠2 = ∠B+∠C（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C ，当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A 的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．【详解】 请在此输入详解！ 8．如图，90CDE CED ∠+∠=︒，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分CDE ∠，并与EM 交于点N ．（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于 ；（2）证明以上结论．证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，∴ 12EDN CDE ∠=∠， NED ∠＝ ．（理由： ）∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．【答案】（1）45度；（2）1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 12, 45． 【解析】 试题分析：（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°； （2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可；试题解析：（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°；（2）将证明过程补充完整如下：证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，∴ 12EDN CDE ∠=∠，NED ∠＝12∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=︒， ∴EDN NED ∠+∠＝12×（∠CDE+∠CED ）＝ 12×90°＝45°．故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、12和45.9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.【解析】【分析】()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到1BAE BAC 392∠∠==；②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可； ()2由B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．【详解】解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，BAC 180723078∠∴=--=，AE 平分BAC ∠，1BAE BAC 392∠∠∴==； AD BC ⊥②，ADB 90∠∴=，BAD 90B 18∠∠∴=-=，DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；()2能．B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，C B 42∠∠∴=-，2B BAC 222∠∠∴+=，BAC 2222B ∠∠∴=-，AE 平分BAC ∠，BAE 111B ∠∠∴=-，在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，()()DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．【解析】分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．本题解析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BA E中，{AD ABDAC BAE AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAC AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。

深圳罗湖区东方学校数学三角形解答题综合测试卷（word 含答案）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．（问题探究）将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；（拓展延伸）（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.【解析】 【分析】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图，∠1=2∠A ．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．（3）如图，∠1=2∠A+∠2理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，（4）如图，根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181202∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒，∴()()180118023601122A D ∠+∠+-∠+-∠=︒， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．2．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】 【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-. 【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.3．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】（1）∵ACBD ，∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°，∴AD BC ∥；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下： 设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是∆ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°； （3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ， ∴∠ABC=∠ABD=12∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．4．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°．【解析】 【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线，所以1352ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．5．探究：（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+12∠A．（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）12∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣12∠A，理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.【详解】证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝12（180°﹣∠A），根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A；（2）12∠A＝∠P，理由如下：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线， ∴∠PBC ＝12∠ABC ，∠PCE ＝12∠ACE ． ∵∠ACE 是△ABC 的外角，∠PCE 是△BPC 的外角， ∴∠ACE ＝∠ABC +∠A ，∠PCE ＝∠PBC +∠P ， ∴12∠ACP ＝12∠ABC +12∠A ， ∴12∠ABC +12∠A ＝∠PBC +∠P ， ∴12∠A ＝∠P ． （3）∠P ＝90°﹣12∠A ，理由如下： ∵P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的平分线的交点，∠P +∠PBC +∠PCB ＝180° ∴∠P ＝180°﹣（∠PBC +∠PCB ） ＝180°﹣12（∠FBC +∠ECB ） ＝180°﹣12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ） ＝180°﹣12（∠A +180°） ＝90°﹣12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.6．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.① ②（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥【解析】 【分析】(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案. 【详解】(1)设OB=a ，则OC=4a ， ∴BC=3a ， 由题意得，134202a ⨯⨯=， 解得：a=103， ∴OB=103，OC=403， ∴10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫⎪⎝⎭； (2)设ACB α∠=， ∵90ABC ACB ∠-∠=︒， ∴90ABC α∠=︒+，∴180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠()18090αα=︒-︒+-902α=︒-，∵AD 平分BAC ∠，∴1452DAC BAC α∠=∠=︒-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=︒-+=︒； (3)FM ⊥PQ ，理由如下： 延长FM 交PQ 于点H ，.设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β， 则∠DMH=∠FMG=β，∠AQM=∠QMD+∠QDM，即α=β+45°，∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，∴∠2=∠1=90°-β，∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，∴∠MHQ=90°，即FM⊥PQ.【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.7．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。

三角形解答题达标检测卷（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得110（133-x）+x=70，求出x的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴12（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴12ADC ADB∠=∠，12AEC AEB∠=∠，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°, =85°；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴110（133-x）+x=70，∴13.3-110x+x=70，解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.2．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=12(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=12(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=12(α+β)计算即可得出一组内错角相等．【详解】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°；（2）β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°，(3)平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．3．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴∠1=∠2,∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠A+∠C=2∠P【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．4．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②【答案】(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.（）成立，理由见解析.【解析】【分析】先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=12∠BAC=12[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．【详解】解：(1)∠EFD＝12∠C－12∠B.理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝12∠BAC.由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠C＋12∠B＋12∠BAC＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.(2)成立．理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋12∠BAC，故∠B＋12∠BAC＋∠EFD＝90°①.在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即12∠B＋12∠BAC＋12∠C＝90°②.②－①，得∠EFD＝12∠C－12∠B.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．5．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF 平分∠EAB ，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°， ∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH ，∴45+α=67.5+∠FCH ，∴∠FCH=α﹣22.5①， ∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH ）=13（90+2∠FCH ）=30+23∠FCH ， ∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH ， ∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH ，② 把①代入②得：∠FPH=22.53α+， ∵∠FCH=m ∠FAH+n ∠FPH ，α﹣22.5=mα+n 22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.6．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1AFC 180βα2∠=--；（3） ()1AFC αβ2∠=-． 【解析】【分析】 (1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可；(3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：()1如图1，B 30∠=，ACB 70∠=，BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，AD 是BAC ∠的平分线，1CAD CAB 402∠∠∴==，AE BC ⊥，AEC 90∠∴=， ACB 70∠=，EAC 180907020∠∴=--=，DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，CF//AD ，AFC DAE 20∠∠∴==；()2如图2，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+．()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11BAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， ()()11ADE B BAD α90αβ90βα22∠∠∠∴=+=+-+=--， AE BC ⊥，DAE ADE 90∠∠∴+=，()1DAE 90ADE βα2∠∠∴=-=-， CF//AD ，DAE AFC 180∠∠∴+=，()1AFC 180βα2∠∴=--； ()3如图3，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+，()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11CAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+， AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB β∠=，EAC 18090β90β∠∴=--=-，()()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠⎡⎤∴=-=----=-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.7．如图，已知，在△ABC 中，∠B＜∠C，AD 平分∠BAC，E 的线段AD(除去端点A 、D)上一动点，EF⊥BC 于点F.(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C 的度数．(2)当E 在AD 上移动时，∠B、∠C、∠DEF 之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【答案】(1)∠C＝60°.(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析【解析】试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF 的度数，∠EDF 又是∆ABD 的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。

三⾓形三边关系（带答案）word版本三⾓形三边关系(带答案)【考点训练】三⾓形三边关系-2⼀、选择题（共10⼩题）1．（2011?青海）某同学⼿⾥拿着长为3和2的两个⽊棍，想要找⼀个⽊棍，⽤它们围成⼀个三⾓形，那么他所找的这根⽊棍长满⾜条件的整数解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，52．（2012?郴州）以下列各组线段为边，能组成三⾓形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm3．（2012?海南）⼀个三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根⽊棒，任取其中三根组成⼀个三⾓形，那么可以组成的三⾓形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2011?梧州）下列长度的三条线段能组成三⾓形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，76．（2012?常州）已知等腰三⾓形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三⾓形的周长为（）A．13 B．17 C．22 D．17或227．（2011?徐州）若三⾓形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm8．（2011?南通）下列长度的三条线段，不能组成三⾓形的是（）A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，89．（2012?东莞）已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．16 10．（2011?莆⽥）等腰三⾓形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定⼆、填空题（共10⼩题）（除⾮特别说明，请填准确值）11．（2007?安顺）如果等腰三⾓形的两边长分别为4和7，则三⾓形的周长为_________．12．（2004?云南）已知三⾓形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为_________．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除13．（2007?柳州）如果三⾓形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中⼀边的长相等，那么第三边的长为_________cm．14．（2006?连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟⼀确定．你认为BC的长可以是_________．15．（2005?泸州）⼀个等腰三⾓形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为_________cm．16．（2007?贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是_________．17．（2006?梧州）△ABC的边长均为整数，且最⼤边的边长为7，那么这样的三⾓形共有_________个．18．（2004?芜湖）已知等腰三⾓形的⼀边等于5，另⼀边等于6，则它的周长等于_________．19．（2004?⽟溪）已知⼀个梯形的两底长分别是4和8，⼀腰长为5，若另⼀腰长为x，则x的取值范围是_________．20．（2004?嘉兴）⼩华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根⼩⽊棒中选出三根摆成⼀个三⾓形，那么他选的三根⽊棒的长度分别是：_________，_________，_________（单位：cm）．三、解答题（共10⼩题）（选答题，不⾃动判卷）21．已知三⾓形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数．（1）请写出⼀个三⾓形符合上述条件的第三边长．（2）若符合上述条件的三⾓形共有n个，求n的值．（3）试求出（2）中这n个三⾓形的周长为偶数的三⾓形所占的⽐例．22．如果⼀个三⾓形的各边长均为整数，周长⼤于4且不⼤于10，请写出所有满⾜条件的三⾓形的三边长．23．⼀个三⾓形的边长分别为x，x，24﹣2x，（1）求x可能的取值范围；（2）如果x是整数，那么x可取哪些值？24．已知三⾓形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除25．三⾓形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x2﹣3x）cm、（﹣x2+6x﹣2）cm①求这个⾓形的周长；②x是否可以取2和3？如果可以，求出相应的三⾓形的周长；如果不可以，请说明理由．26．⼀个四边形的周长是48cm，已知第⼀条边长是acm，第⼆条⽐第⼀条边的2倍长3cm，第三条边等于第⼀、第⼆两条边的和．（1）⽤含a的代数式表⽰第四条边．（2）当a=7时，还能得到四边形吗？说说理由．28．如图，在四边形ABCD内找⼀点O，使OA+OB+OC+OD之和最⼩，并说出你的理由．29．若三⾓形三边长分别为2x，3x，10，其中x为正整数，且周长不超过30，求x的取值范围．写出这个三⾓形的三边长．30．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满⾜|a﹣4|+（b﹣1）2=0，求△ABC中c边的长．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除【考点训练】三⾓形三边关系-2参考答案与试题解析⼀、选择题（共10⼩题）1．（2011?青海）某同学⼿⾥拿着长为3和2的两个⽊棍，想要找⼀个⽊棍，⽤它们围成⼀个三⾓形，那么他所找的这根⽊棍长满⾜条件的整数解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，5考点：三⾓形三边关系．分析：⾸先根据三⾓形三边关系定理：①三⾓形两边之和⼤于第三边②三⾓形的两边差⼩于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．解答：解：设他所找的这根⽊棍长为x，由题意得：3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，∵x为整数，∴x=2，3，4，故选：C．点评：此题主要考查了三⾓形三边关系，掌握三⾓形三边关系定理是解题的关键．2．（2012?郴州）以下列各组线段为边，能组成三⾓形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm考点：三⾓形三边关系．分析：根据三⾓形的三边关系“任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边”，进⾏分析．解答：解：根据三⾓形的三边关系，知A、1+2＜4，不能组成三⾓形；B、4+6＞8，能够组成三⾓形；C、5+6＜12，不能组成三⾓形；D、2+3=5，不能组成三⾓形．故选B．点评：此题考查了三⾓形的三边关系．判断能否组成三⾓形的简便⽅法是看较⼩的两个数的和是否⼤于第三个数．3．（2012?海南）⼀个三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，则此三⾓形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm考点：三⾓形三边关系．分析：已知三⾓形的两边长分别为3cm和7cm，根据在三⾓形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．解答：解：设第三边长为x，则由三⾓形三边关系定理得7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．因此，本题的第三边应满⾜4＜x＜10，把各项代⼊不等式符合的即为答案．3，4，11都不符合不等式4＜x＜10，只有7符合不等式，故答案为7cm．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除故选C．点评：此类求三⾓形第三边的范围的题，实际上就是根据三⾓形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根⽊棒，任取其中三根组成⼀个三⾓形，那么可以组成的三⾓形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：三⾓形三边关系．专题：压轴题．分析：从4条线段⾥任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三⾓形三边关系，舍去即可．解答：解：四条⽊棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三⾓形．故选B．点评：考查了三⾓形三边关系，三⾓形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．5．（2011?梧州）下列长度的三条线段能组成三⾓形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，7考点：三⾓形三边关系．专题：应⽤题．分析：根据三⾓形的三边关系“任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边”进⾏分析．解答：解：根据三⾓形的三边关系，知A、1+2=3，不能组成三⾓形，故A错误；B、3+4＞5，能够组成三⾓形；故B正确；C、1+1＜3，不能组成三⾓形；故C错误；D、3+4=7，不能组成三⾓形，故D错误．故选：B．点评：本题考查了三⾓形的三边关系，判断能否组成三⾓形的简便⽅法是看较⼩的两个数的和是否⼤于第三个数，难度适中．6．（2012?常州）已知等腰三⾓形三边中有两边的长分别为4、9，则这个等腰三⾓形的周长为（）A．13 B．17 C．22 D．17或22考点：等腰三⾓形的性质；三⾓形三边关系．专题：分类讨论．分析：由于等腰三⾓形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进⾏讨论．解答：解：当4为底时，其它两边都为9，∵9、9、4可以构成三⾓形，∴三⾓形的周长为22；当4为腰时，其它两边为9和4，∵4+4=8＜9，∴不能构成三⾓形，故舍去．故选C．收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除点评：本题考查了等腰三⾓形的性质和三⾓形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题⽬⼀定要想到两种情况，分类进⾏讨论，还应验证各种情况是否能构成三⾓形进⾏解答，这点⾮常重要，也是解题的关键．7．（2011?徐州）若三⾓形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．16cm考点：三⾓形三边关系．专题：应⽤题．分析：已知三⾓形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三⾓形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．解答：解：设第三边长为xcm．由三⾓形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，解得3＜x＜15．故选C．点评：本题考查了三⾓形三边关系定理的应⽤．关键是根据三⾓形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．8．（2011?南通）下列长度的三条线段，不能组成三⾓形的是（）A．3，8，4 B．4，9，6 C．15，20，8 D．9，15，8考点：三⾓形三边关系．专题：计算题．分析：根据三⾓形三边关系定理：三⾓形两边之和⼤于第三边，进⾏判定即可．解答：解：A，∵3+4＜8∴不能构成三⾓形；B，∵4+6＞9∴能构成三⾓形；C，∵8+15＞20∴能构成三⾓形；D，∵8+9＞15∴能构成三⾓形．故选A．点评：此题主要考查学⽣对运⽤三⾓形三边关系判定三条线段能否构成三⾓形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和⼤于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成⼀个三⾓形．9．（2012?东莞）已知三⾓形两边的长分别是4和10，则此三⾓形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．16考点：三⾓形三边关系．专题：压轴题；探究型．分析：设此三⾓形第三边的长为x，根据三⾓形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．解答：解：设此三⾓形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选C．点评：本题考查的是三⾓形的三边关系，即任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边．10．（2011?莆⽥）等腰三⾓形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）A．15 B．12 C．12或15 D．不能确定收集于⽹络，如有侵权请联系管理员删除。